En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticasse han resuelto ejercicios de la relación 43 sobre resolución de problemas en espacios de estados. Los problemas resueltos son el del dominó, el de la suma cero y el de las jarras.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
Read More “I1M2018: Resolución de problemas mediante búsqueda en espacios de estados”
En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticasse han resuelto ejercicios de la relación 42 sobre el problema del granjero mediante búsqueda en espacio de estado.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
Read More “I1M2018: El problema del granjero mediante búsqueda en espacio de estado.”
En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos se ha estudiado cómo definir desarrollar en Isabelle/HOL teorías axiomáticas como las de monoides, semigrupos, grupos, órdenes y órdenes lineales.
La clase se ha basado en la siguiente teoría Isabelle
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chapter {* T11: Desarrollo de teorías formalizadas *} theory T11_Desarrollo_de_teorias_formalizadas imports Main begin section {* Desarrollo de la teoría de grupos*} text {* El objetivo de este tema es mostrar cómo se puede trabajar en estructuras algebraicas por medio de locales. Se usará como ejemplo la teoría de grupos. *} text {* Ejemplo 1. Un grupo es una estructura (G,·,𝟭,^) tal que G es un conjunto, · es una operación binaria en G, 𝟭 es un elemento de G y ^ es una función de G en G tales que se cumplen las siguientes propiedades: * asociativa: ∀x y z. x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z * neutro por la izquierda: ∀x. 𝟭 ⋅ x = x * inverso por la izquierda: ∀x. x^ ⋅ x = 𝟭 Definir el entorno axiomático de los grupos. *} locale grupo = fixes prod :: "['a, 'a] ⇒ 'a" (infixl "⋅" 70) and neutro ("𝟭") and inverso ("_^" [100] 100) assumes asociativa: "(x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z)" and neutro_i: "𝟭 ⋅ x = x" and inverso_i: "x^ ⋅ x = 𝟭" text {* Notas sobre notación: * El producto es ⋅ y se escribe con \ cdot (sin espacio entre ellos). * El neutro es 𝟭 y se escribe con \ y <one> (sin espacio entre ellos). * El inverso de x es x^ y se escribe con pulsando 2 veces en ^. *} text {* A continuación se crea un contexto en el que se supone la notación y axiomas de grupos. En el contexto se demuestran propiedades de los grupos. *} context grupo begin text {* Ejemplo 2. En los grupos, x^ también es el inverso de x por la derecha; es decir x ⋅ x^ = 𝟭 *} ― ‹La demostración automática (obtenida con Sledgehammer) es› lemma "x ⋅ x^ = 𝟭" by (metis asociativa inverso_i neutro_i) ― ‹La demostración detallada es› lemma inverso_d: "x ⋅ x^ = 𝟭" proof - have "x ⋅ x^ = 𝟭 ⋅ (x ⋅ x^)" by (simp only: neutro_i) also have "… = (𝟭 ⋅ x) ⋅ x^" by (simp only: asociativa) also have "… = (((x^)^ ⋅ x^) ⋅ x) ⋅ x^" by (simp only: inverso_i) also have "… = ((x^)^ ⋅ (x^ ⋅ x)) ⋅ x^" by (simp only: asociativa) also have "… = ((x^)^ ⋅ 𝟭) ⋅ x^" by (simp only: inverso_i) also have "… = (x^)^ ⋅ (𝟭 ⋅ x^)" by (simp only: asociativa) also have "… = (x^)^ ⋅ x^" by (simp only: neutro_i) also have "… = 𝟭" by (simp only: inverso_i) finally show ?thesis . qed text {* Ejemplo 2. En los grupos, 𝟭 también es el neutro por la derecha; es decir x ⋅ 𝟭 = x *} ― ‹La demostración automática (obtenida con Sledgehammer) es› lemma "x ⋅ 𝟭 = x" by (metis asociativa inverso_i neutro_i) ― ‹La demostración detallada es› lemma neutro_d: "x ⋅ 𝟭 = x" proof - have "x ⋅ 𝟭 = x ⋅ (x^ ⋅ x)" by (simp only: inverso_i) also have "… = (x ⋅ x^) ⋅ x" by (simp only: asociativa) also have "… = 𝟭 ⋅ x" by (simp only: inverso_d) also have "… = x" by (simp only: neutro_i) finally show "x ⋅ 𝟭 = x" . qed text {* Ejemplo 3. En los grupos, se tiene la propiedad cancelativa por la izquierda; es decir, x ⋅ y = x ⋅ z syss y = z *} ― ‹La demostración automática (obtenida con Sledgehammer) es› lemma "(x ⋅ y = x ⋅ z) = (y = z)" by (metis asociativa inverso_i neutro_i) ― ‹La demostración detallada es› lemma cancelativa_i: "(x ⋅ y = x ⋅ z) = (y = z)" proof assume "x ⋅ y = x ⋅ z" hence "x^ ⋅ (x ⋅ y) = x^ ⋅ (x ⋅ z)" by simp hence "(x^ ⋅ x) ⋅ y = (x^ ⋅ x) ⋅ z" by (simp only: asociativa) hence "𝟭 ⋅ y = 𝟭 ⋅ z" by (simp only: inverso_i) thus "y = z" by (simp only: neutro_i) next assume "y = z" then show "x ⋅ y = x ⋅ z" by simp qed text {* Ejemplo 4. En los grupos, el elemento neutro por la izquierda es único; es decir, si e es un elemento tal que para todo x se tiene que e ⋅ x = x, entonces e = 𝟭. *} ― ‹La demostración automática es (obtenida con Sledgehammer) es› lemma assumes "e ⋅ x = x" shows "𝟭 = e" using assms by (metis asociativa inverso_d neutro_d) ― ‹La demostración estructurada es› lemma unicidad_neutro_i: assumes "e ⋅ x = x" shows "𝟭 = e" proof - have "𝟭 = x ⋅ x^" by (simp only: inverso_d) also have "... = (e ⋅ x) ⋅ x^" using assms by simp also have "... = e ⋅ (x ⋅ x^)" by (simp only: asociativa) also have "... = e ⋅ 𝟭" by (simp only: inverso_d) also have "... = e" by (simp only: neutro_d) finally show ?thesis . qed text {* Ejemplo 5. En los grupos, los inversos por la izquierda son únicos; es decir, si x' es un elemento tal que x' ⋅ x = 𝟭, entonces x^ x'. *} ― ‹La demostración automática (obtenida con Sledgehammer) es› lemma assumes "x' ⋅ x = 𝟭" shows "x^ = x'" using assms by (metis asociativa inverso_i neutro_i) ― ‹La demostración estructurada es› lemma unicidad_inverso_i: assumes "x' ⋅ x = 𝟭" shows "x^ = x'" proof - have "x^ = 𝟭 ⋅ x^" by (simp only: neutro_i) also have "... = (x' ⋅ x) ⋅ x^" using assms by simp also have "... = x' ⋅ (x ⋅ x^)" by (simp only: asociativa) also have "... = x' ⋅ 𝟭" by (simp only: inverso_d) also have "... = x'" by (simp only: neutro_d) finally show ?thesis . qed text {* Ejemplo 6. En los grupos, es inverso de un producto es el producto de los inversos cambiados de orden; es decir, (x ⋅ y)^ = y^ ⋅ x^ *} ― ‹La demostración automática (obtenida con Sledgehammer) es› lemma "(x ⋅ y)^ = y^ ⋅ x^" by (metis asociativa inverso_d neutro_d) ― ‹La demostración detallada es› lemma inversa_producto: "(x ⋅ y)^ = y^ ⋅ x^" proof (rule unicidad_inverso_i) show "(y^ ⋅ x^) ⋅ (x ⋅ y) = 𝟭" proof - have "(y^ ⋅ x^) ⋅ (x ⋅ y) = (y^ ⋅ (x^ ⋅ x)) ⋅ y" by (simp only: asociativa) also have "... = (y^ ⋅ 𝟭) ⋅ y" by (simp only: inverso_i) also have "... = y^ ⋅ y" by (simp only: neutro_d) also have "... = 𝟭" by (simp only: inverso_i) finally show ?thesis . qed qed text {* Ejemplo 7. En los grupos, el inverso del inverso es el propio elemento; es decir, (x^)^ = x *} ― ‹La demostración automática (obtenida con Sledgehammer) es› lemma "(x^)^ = x" using inverso_d unicidad_inverso_i by blast ― ‹La demostración estructurada es› lemma inverso_inverso: "(x^)^ = x" proof (rule unicidad_inverso_i) show "x ⋅ x^ = 𝟭" by (simp only: inverso_d) qed text {* Ejemplo 8. En los grupos, la función inversa es inyectiva; es decir, si x e y tienen los mismos inversos, entonces son iguales. *} ― ‹La demostración automática es (obtenida con Sledgehammer) es› lemma assumes "x^ = y^" shows "x = y" using assms by (metis inverso_inverso) ― ‹La demostración automática estructurada es› lemma inversa_inyectiva: assumes "x^ = y^" shows "x = y" proof - have "(x^)^ = (y^)^" using assms by simp thus "x = y" by (simp only: inverso_inverso) qed end section {* Teorías de órdenes mediante clases *} text {* El tutorial sobre clases está en la teoría Clases.thy. La clase de los órdenes es la colección de los tipos que poseen una relación ≼ verificando las siguientes propiedades · reflexiva: x ≼ x · transitiva: ⟦x ≼ y; y ≼ z⟧ ⟹ x ≼ z · antisimétrica: ⟦x ≼ y; y ≼ x⟧ ⟹ x = y *} class orden = fixes menor_ig :: "'a ⇒ 'a ⇒ bool" (infix "≼" 50) assumes refl: "x ≼ x" and trans: "⟦x ≼ y; y ≼ z⟧ ⟹ x ≼ z" and antisim: "⟦x ≼ y; y ≼ x⟧ ⟹ x = y" text {* Ha generado los teoremas correspondientes a los axiomas. Pueden consultarse mediante thm como se muestra a continuación. *} thm trans text {* Se inicia el contexto orden en el que se van a realizar definiciones y demostraciones. *} context orden begin text {* x es menor que y si x es menor o igual que y y no son iguales. *} definition menor :: "'a ⇒ 'a ⇒ bool" (infix "≺" 50) where "x ≺ y ⟷ x ≼ y ∧ ¬ y ≼ x" text {* La relación menor es irreflexiva. *} lemma irrefl: "¬ x ≺ x" by (auto simp: menor_def) text {* La relación menor es transitiva. *} (* Demostración aplicativa *) lemma "⟦x ≺ y; y ≺ z⟧ ⟹ x ≺ z" apply (unfold menor_def) (* ⟦x ≼ y ∧ ¬ y ≼ x; y ≼ z ∧ ¬ z ≼ y⟧ ⟹ x ≼ z ∧ ¬ z ≼ x *) apply (auto intro: trans) (* *) done (* Demostración automática *) lemma menor_trans: "⟦x ≺ y; y ≺ z⟧ ⟹ x ≺ z" by (auto simp: menor_def intro: trans) text {* La relación menor es asimétrica; es decir, si x ≺ y e y ≺ x, entonces se verifica cualquier propiedad P. *} lemma asimetrica: "x ≺ y ⟹ y ≺ x ⟹ P" by (simp add: menor_def) end subsection {* Subclase *} text {* Un orden lineal es un orden en que cada par de elementos son comparables. *} class ordenLineal = orden + assumes lineal: "x ≼ y ∨ y ≼ x" begin text {* En los órdenes lineales se tiene que x ≺ y ∨ x = y ∨ y ≺ x. *} (* Demostración aplicativa *) lemma "x ≺ y ∨ x = y ∨ y ≺ x" apply (unfold menor_def) (* (x ≼ y ∧ ¬ y ≼ x) ∨ x = y ∨ (y ≼ x ∧ ¬ x ≼ y) *) apply auto (* 1. ⟦x ≠ y; ¬ x ≼ y⟧ ⟹ y ≼ x 2. ⟦x ≠ y; y ≼ x; x ≼ y⟧ ⟹ False *) apply (cut_tac x=x and y=y in lineal) (* 1. ⟦x ≠ y; ¬ x ≼ y; x ≼ y ∨ y ≼ x⟧ ⟹ y ≼ x 2. ⟦x ≠ y; y ≼ x; x ≼ y⟧ ⟹ False *) apply (erule disjE) (* 1. ⟦x ≠ y; ¬ x ≼ y; x ≼ y⟧ ⟹ y ≼ x 2. ⟦x ≠ y; ¬ x ≼ y; y ≼ x⟧ ⟹ y ≼ x 3. ⟦x ≠ y; y ≼ x; x ≼ y⟧ ⟹ False *) apply (erule_tac P="x ≼ y" in notE) (* 1. ⟦x ≠ y; x ≼ y⟧ ⟹ x ≼ y 2. ⟦x ≠ y; ¬ x ≼ y; y ≼ x⟧ ⟹ y ≼ x 3. ⟦x ≠ y; y ≼ x; x ≼ y⟧ ⟹ False *) apply assumption (* 1. ⟦x ≠ y; ¬ x ≼ y; y ≼ x⟧ ⟹ y ≼ x 2. ⟦x ≠ y; y ≼ x; x ≼ y⟧ ⟹ False *) apply assumption (* 1. ⟦x ≠ y; y ≼ x; x ≼ y⟧ ⟹ False *) apply (drule antisim) (* 1. ⟦x ≠ y; x ≼ y⟧ ⟹ x ≼ y 2. ⟦x ≠ y; x ≼ y; y = x⟧ ⟹ False *) apply assumption (* 1. ⟦x ≠ y; x ≼ y; y = x⟧ ⟹ False *) apply (erule notE) (* 1. ⟦x ≼ y; y = x⟧ ⟹ x = y *) apply (erule sym) (* *) done (* Demostración automática *) lemma "x ≺ y ∨ x = y ∨ y ≺ x" using antisim lineal menor_def by auto end section {* Teoría de órdenes mediante ámbitos ("Locales") *} text {* Un orden es una estructura con una relación reflexiva, transitiva y antisimétrica. *} locale Orden = fixes menor_ig :: "'a ⇒ 'a ⇒ bool" (infix "⊑" 50) assumes refl: "x ⊑ x" and trans: "⟦x ⊑ y; y ⊑ z⟧ ⟹ x ⊑ z" and antisim: "⟦x ⊑ y; y ⊑ x⟧ ⟹ x = y" text {* Los teoremas se diferencian por el nombre y el ámbito. Por ejemplo, refl: ?x ≼ ?x Orden.refl: Orden ?menor_ig ⟹ ?menor_ig ?x ?x Orden_def: Orden ?menor_ig ≡ (∀x. ?menor_ig x x) ∧ (∀x y z. ?menor_ig x y ⟶ ?menor_ig y z ⟶ ?menor_ig x z) ∧ (∀x y. ?menor_ig x y ⟶ ?menor_ig y x ⟶ x = y) *} thm refl thm Orden.refl thm Orden_def text {* Un orden lineal es un orden en el que todos los pares de elementos son comparables. *} locale OrdenLineal = Orden + assumes lineal: "x ⊑ y ∨ y ⊑ x" text {* Los boooleanos está ordenados con el condicional. *} interpretation Orden_imp: Orden "λx y. x ⟶ y" proof fix P show "P ⟶ P" by simp next fix P Q R show "P ⟶ Q ⟹ Q ⟶ R ⟹ P ⟶ R" by simp next fix P Q show "P ⟶ Q ⟹ Q ⟶ P ⟹ P = Q" by blast qed text {* Los naturales con la relación de divisibilidad es un conjunto ordenado. *} interpretation Orden_dvd: Orden "(dvd) :: nat ⇒ nat ⇒ bool" proof fix x :: nat show "x dvd x" by simp next fix x y z :: nat show "⟦x dvd y; y dvd z⟧ ⟹ x dvd z" by auto next fix x y :: nat show "⟦x dvd y; y dvd x⟧ ⟹ x = y" by auto qed text {* Ámbito de las funciones monótonas (ver la página 12 del tutorial de locales). *} locale Mono = le1: Orden le1 + le2: Orden le2 for le1 (infix "⊑⇩1" 50) and le2 (infix "⊑⇩2" 50) + fixes f :: "'a ⇒ 'b" assumes mono: "x ⊑⇩1 y ⟹ f(x) ⊑⇩2 f(y)" text {* Si f es monótona, x ⊑_1 y e y ⊑_1 z, entonces f(x) ⊑_2 f(z). *} lemma (in Mono) mono_trans: assumes "x ⊑⇩1 y" and "y ⊑⇩1 z" shows "f(x) ⊑⇩2 f(z)" proof - have "x ⊑⇩1 z" using assms and le1.trans by blast then show "f(x) ⊑⇩2 f(z)" using mono by simp qed text {* El teorema generado se llama Mono.mono_trans. *} thm Mono.mono_trans text {* En el contexto Mono el nombre es mono_trans. *} context Mono begin thm mono_trans end text {* El predicado `ser par' es un operador monótono entre los naturales con la relación de divisibilidad y los booleanos con el condicional; es decir, x dvd y ⟹ even x ⟶ even y *} interpretation Mono "(dvd)" "(⟶)" "λn::nat. 2 dvd n" proof fix x y :: nat show "x dvd y ⟹ even x ⟶ even y" proof assume "x dvd y" and "even x" then show "even y" using Rings.comm_monoid_mult_class.dvd_trans by auto qed qed section {* Semigrupos, monoides y grupos *} subsection {* Definición de clases *} text {* Un semigrupo es una estructura compuesta por un conjunto A y una operación binaria en A. *} class semigrupo = fixes mult :: "'a ⇒ 'a ⇒ 'a" (infixl "⊗" 70) assumes asoc: "(x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z )" subsection {* Instanciación de clases *} text {* Los enteros con la suma forman un semigrupo. *} instantiation int :: semigrupo begin definition mult_int_def: "i ⊗ j = i + (j ::int)" instance proof fix i j k :: "int" have "(i + j ) + k = i + (j + k)" by simp then show "(i ⊗ j ) ⊗ k = i ⊗ (j ⊗ k)" unfolding mult_int_def . qed end text {* Los naturales con la suma forman un semigrupo. *} instantiation nat :: semigrupo begin primrec mult_nat where "(0::nat) ⊗ n = n" | "Suc m ⊗ n = Suc (m ⊗ n)" instance proof fix m n q :: "nat" show "m ⊗ n ⊗ q = m ⊗ (n ⊗ q)" by (induct m) auto qed end subsection {* Instancias recursivas *} text {* Si (A,⊗) y (B,⊗) son semigrupos, entonces ((A×B,⊗), donde el producto se define por (x,y)⊗(x',y') = (x⊗x',y⊗y'), es un semigrupo. *} instantiation prod :: (semigrupo, semigrupo) semigrupo begin definition mult_prod_def : "p1 ⊗ p2 = (fst p1 ⊗ fst p2, snd p1 ⊗ snd p2)" instance proof fix p1 p2 p3 :: "'a::semigrupo × 'b::semigrupo" show "(p1 ⊗ p2) ⊗ p3 = p1 ⊗ (p2 ⊗ p3)" unfolding mult_prod_def by (simp add: asoc) qed end subsection {* Subclases *} text {* Un monoide izquierdo es un semigrupo con elemento neutro por la izquierda. *} class monoideI = semigrupo + fixes neutro :: "'a" ("𝟭") assumes neutroI: "𝟭 ⊗ x = x" text {* Los naturales y los enteros con la suma forman monoides por la izquierda. *} instantiation nat and int :: monoideI begin definition neutro_nat_def : "𝟭 = (0::nat)" definition neutro_int_def : "𝟭 = (0::int)" instance proof fix n :: nat show "𝟭 ⊗ n = n" unfolding neutro_nat_def by simp next fix k :: int show "𝟭 ⊗ k = k" unfolding neutro_int_def mult_int_def by simp qed end text {* El producto de dos monoides por la izquierda es un monoide por la izquierda, donde el neutro es el par formado por los elementos neutros. *} instantiation prod :: (monoideI , monoideI) monoideI begin definition neutro_prod_def : "𝟭 = (𝟭, 𝟭)" instance proof fix p :: "'a::monoideI × 'b::monoideI" show "𝟭 ⊗ p = p" unfolding neutro_prod_def mult_prod_def by (simp add: neutroI) qed end text {* Un monoide es un monoide por la izquierda cuyo elemento neutro por la izquierda lo es también por la derecha. *} class monoide = monoideI + assumes neutro: "x ⊗ 𝟭 = x" text {* Los naturales y los enteros con la suma son monoides. *} instantiation nat and int :: monoide begin instance proof fix n :: nat show "n ⊗ 𝟭 = n" unfolding neutro_nat_def by (induct n) simp_all next fix k :: int show "k ⊗ 𝟭 = k" unfolding neutro_int_def mult_int_def by simp qed end text {* El producto de dos monoides es un monoide. *} instantiation prod :: (monoide, monoide) monoide begin instance proof fix p :: "'a::monoide × 'b::monoide" show "p ⊗ 𝟭 = p" unfolding neutro_prod_def mult_prod_def by (simp add: neutro) qed end text {* Un grupo es un monoide por la izquierda tal que todo elemento posee un inverso por la izquierda. *} class grupo2 = monoideI + fixes inverso :: "'a ⇒ 'a" ("(_⇧-⇧1)" [1000] 999) assumes inversoI: "x⇧-⇧1 ⊗ x = 𝟭" text {* Los enteros con la suma forman un grupo. *} instantiation int :: grupo2 begin definition inverso_int_def: "i⇧-⇧1 = -(i::int)" instance proof fix i :: "int" have "-i + i = 0" by simp then show "i⇧-⇧1 ⊗ i = 𝟭" unfolding mult_int_def neutro_int_def inverso_int_def . qed end subsection {* Razonamiento abstracto *} text {* En los grupos se verifica la propiedad cancelativa por la izquierda, i.e. x ⊗ y = x ⊗ z ⟷ y = z *} lemma (in grupo2) cancelativa_izq: "x ⊗ y = x ⊗ z ⟷ y = z" proof assume "x ⊗ y = x ⊗ z" hence "x⇧-⇧1 ⊗ (x ⊗ y) = x⇧-⇧1 ⊗ (x ⊗ z)" by simp hence "(x⇧-⇧1 ⊗ x) ⊗ y = (x⇧-⇧1 ⊗ x) ⊗ z" using asoc by simp then show "y = z" using neutroI and inversoI by simp next assume "y = z" then show "x ⊗ y = x ⊗ z" by simp qed thm grupo2.cancelativa_izq text {* Se genera el teorema grupo.cancelativa_izq class.grupo2 ?mult ?neutro ?inverso ⟹ (?mult ?x ?y = ?mult ?x ?z) = (?y = ?z) El teorema se aplica automáticamente a todas las instancias de la clase grupo. Por ejemplo, a los enteros. *} subsection {* Definiciones derivadas *} text {* En los monoides se define la potencia natural por · x^0 = 1 · x^{n+1} = x*x^n *} fun (in monoide) potencia_nat :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a" where "potencia_nat 0 x = 𝟭" | "potencia_nat (Suc n) x = x ⊗ potencia_nat n x" subsection {* Analogía entre clases y functores *} text {* Las listas con la operación de concatenación y la lista vacía como elemento neutro forman un monoide. *} interpretation list_monoide: monoide "append" "[]" proof show "⋀x y z. (x @ y) @ z = x @ (y @ z)" by simp next show "⋀x. [] @ x = x" by simp next show "⋀x. x @ [] = x" by simp qed text {* Se pueden aplicar propiedades de los monides a las listas. Por ejemplo, *} lemma "append [] xs = xs" by simp text {* (repite n xs) es la lista obtenida concatenando n veces la lista xs. *} fun repite :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "repite 0 _ = []" | "repite (Suc n) xs = xs @ repite n xs" text {* Las listas con la operación de concatenación y la lista vacía como elemento neutro forman un monoide. Además, la potencia natural se intepreta como repite. *} interpretation list_monoide: monoide "append" "[]" rewrites "monoide.potencia_nat append [] = repite" proof - interpret monoide "append" "[]" .. show "monoide.potencia_nat append [] = repite" proof fix n show "monoide.potencia_nat append [] n = repite n" by (induct n) auto qed qed intro_locales subsection {* Relaciones de subclase adicionales *} text {* Los grupos son monoides. *} subclass (in grupo2) monoide proof fix x have "x⇧-⇧1 ⊗ (x ⊗ 𝟭) = x⇧-⇧1 ⊗ (x ⊗ (x⇧-⇧1 ⊗ x))" using inversoI by simp also have "… = (x⇧-⇧1 ⊗ x) ⊗ (x⇧-⇧1 ⊗ x)" using asoc [symmetric] by simp also have "… = 𝟭 ⊗ (x⇧-⇧1 ⊗ x)" using inversoI by simp also have "… = x⇧-⇧1 ⊗ x" using neutroI by simp finally have "x⇧-⇧1 ⊗ (x ⊗ 𝟭) = x⇧-⇧1 ⊗ x" . then show "x ⊗ 𝟭 = x" using cancelativa_izq by simp qed text {* La potencia entera en los grupos se define a partir de la potencia natural como sigue: · x^k = x^k si k ≥ 0 · x^k = (x^{-k})^{-1}, en caso contrario. *} definition (in grupo2) potencia_entera :: "int ⇒ 'a ⇒ 'a" where "potencia_entera k x = (if k >= 0 then potencia_nat (nat k) x else (potencia_nat (nat (- k)) x)⇧-⇧1)" section {* Bibliografía *} text {* + "Haskell-style type classes with Isabelle/Isar" ~ F. Haftmann. http://bit.ly/2E55pAJ + "Tutorial to locales and locale interpretation" ~ C. Ballarin. http://bit.ly/2E3ozXB *} end |
En la la segunda parte de la clase de hoy de del curso Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos estudiado la técnica de resolución de problemas mediante búsqueda en espacios de estados.
Se comenzó analizando los árboles de búsquedas para el problema de las 4 reinas y para el problema del 8-puzzle
De este análisis se extrae el patrón de resolución de problemas mediante búsqueda en espacios de estados (EE) y sus argumentos:
A continuación se implementa el patrón de búsqueda en espacio de estados en Haskell, usando su posibilidad de programar en orden superior para abstraer los argumentos del problema.
Finalmente, se aplica el patrón para implementar las soluciones de los problemas de las N reinas y del cambio de monedas.
Los apuntes correspondientes a la clase es la 2ª sección del tema 23
En la primera parte de la clase de hoy del curso de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos estudiado la técnica de resolución de problemas mediante búsqueda en espacios de estados.
En primer lugar se ha visto cómo se describen los problemas mediante el estado inicial, los sucesores de los estados y los estados finales. Aplicándola a los problemas del 8-puzzle, del granjero, de las jarras y del viaje.
A continuación se han explicado los procedimientos básicos de búsquedas: en anchrura, en profundidad, en profundidad acotada y en profundidad iterativa.
Los apuntes correspondientes son las 53 primeras transparencias del tema 23a.