LMF2018: Desarrollo de teorías formalizadas con Isabelle/HOL
En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos se ha estudiado cómo definir desarrollar en Isabelle/HOL teorías axiomáticas como las de monoides, semigrupos, grupos, órdenes y órdenes lineales.
La clase se ha basado en la siguiente teoría Isabelle
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chapter {* T11: Desarrollo de teorías formalizadas *} theory T11_Desarrollo_de_teorias_formalizadas imports Main begin section {* Desarrollo de la teoría de grupos*} text {* El objetivo de este tema es mostrar cómo se puede trabajar en estructuras algebraicas por medio de locales. Se usará como ejemplo la teoría de grupos. *} text {* Ejemplo 1. Un grupo es una estructura (G,·,𝟭,^) tal que G es un conjunto, · es una operación binaria en G, 𝟭 es un elemento de G y ^ es una función de G en G tales que se cumplen las siguientes propiedades: * asociativa: ∀x y z. x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z * neutro por la izquierda: ∀x. 𝟭 ⋅ x = x * inverso por la izquierda: ∀x. x^ ⋅ x = 𝟭 Definir el entorno axiomático de los grupos. *} locale grupo = fixes prod :: "['a, 'a] ⇒ 'a" (infixl "⋅" 70) and neutro ("𝟭") and inverso ("_^" [100] 100) assumes asociativa: "(x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z)" and neutro_i: "𝟭 ⋅ x = x" and inverso_i: "x^ ⋅ x = 𝟭" text {* Notas sobre notación: * El producto es ⋅ y se escribe con \ cdot (sin espacio entre ellos). * El neutro es 𝟭 y se escribe con \ y <one> (sin espacio entre ellos). * El inverso de x es x^ y se escribe con pulsando 2 veces en ^. *} text {* A continuación se crea un contexto en el que se supone la notación y axiomas de grupos. En el contexto se demuestran propiedades de los grupos. *} context grupo begin text {* Ejemplo 2. En los grupos, x^ también es el inverso de x por la derecha; es decir x ⋅ x^ = 𝟭 *} ― ‹La demostración automática (obtenida con Sledgehammer) es› lemma "x ⋅ x^ = 𝟭" by (metis asociativa inverso_i neutro_i) ― ‹La demostración detallada es› lemma inverso_d: "x ⋅ x^ = 𝟭" proof - have "x ⋅ x^ = 𝟭 ⋅ (x ⋅ x^)" by (simp only: neutro_i) also have "… = (𝟭 ⋅ x) ⋅ x^" by (simp only: asociativa) also have "… = (((x^)^ ⋅ x^) ⋅ x) ⋅ x^" by (simp only: inverso_i) also have "… = ((x^)^ ⋅ (x^ ⋅ x)) ⋅ x^" by (simp only: asociativa) also have "… = ((x^)^ ⋅ 𝟭) ⋅ x^" by (simp only: inverso_i) also have "… = (x^)^ ⋅ (𝟭 ⋅ x^)" by (simp only: asociativa) also have "… = (x^)^ ⋅ x^" by (simp only: neutro_i) also have "… = 𝟭" by (simp only: inverso_i) finally show ?thesis . qed text {* Ejemplo 2. En los grupos, 𝟭 también es el neutro por la derecha; es decir x ⋅ 𝟭 = x *} ― ‹La demostración automática (obtenida con Sledgehammer) es› lemma "x ⋅ 𝟭 = x" by (metis asociativa inverso_i neutro_i) ― ‹La demostración detallada es› lemma neutro_d: "x ⋅ 𝟭 = x" proof - have "x ⋅ 𝟭 = x ⋅ (x^ ⋅ x)" by (simp only: inverso_i) also have "… = (x ⋅ x^) ⋅ x" by (simp only: asociativa) also have "… = 𝟭 ⋅ x" by (simp only: inverso_d) also have "… = x" by (simp only: neutro_i) finally show "x ⋅ 𝟭 = x" . qed text {* Ejemplo 3. En los grupos, se tiene la propiedad cancelativa por la izquierda; es decir, x ⋅ y = x ⋅ z syss y = z *} ― ‹La demostración automática (obtenida con Sledgehammer) es› lemma "(x ⋅ y = x ⋅ z) = (y = z)" by (metis asociativa inverso_i neutro_i) ― ‹La demostración detallada es› lemma cancelativa_i: "(x ⋅ y = x ⋅ z) = (y = z)" proof assume "x ⋅ y = x ⋅ z" hence "x^ ⋅ (x ⋅ y) = x^ ⋅ (x ⋅ z)" by simp hence "(x^ ⋅ x) ⋅ y = (x^ ⋅ x) ⋅ z" by (simp only: asociativa) hence "𝟭 ⋅ y = 𝟭 ⋅ z" by (simp only: inverso_i) thus "y = z" by (simp only: neutro_i) next assume "y = z" then show "x ⋅ y = x ⋅ z" by simp qed text {* Ejemplo 4. En los grupos, el elemento neutro por la izquierda es único; es decir, si e es un elemento tal que para todo x se tiene que e ⋅ x = x, entonces e = 𝟭. *} ― ‹La demostración automática es (obtenida con Sledgehammer) es› lemma assumes "e ⋅ x = x" shows "𝟭 = e" using assms by (metis asociativa inverso_d neutro_d) ― ‹La demostración estructurada es› lemma unicidad_neutro_i: assumes "e ⋅ x = x" shows "𝟭 = e" proof - have "𝟭 = x ⋅ x^" by (simp only: inverso_d) also have "... = (e ⋅ x) ⋅ x^" using assms by simp also have "... = e ⋅ (x ⋅ x^)" by (simp only: asociativa) also have "... = e ⋅ 𝟭" by (simp only: inverso_d) also have "... = e" by (simp only: neutro_d) finally show ?thesis . qed text {* Ejemplo 5. En los grupos, los inversos por la izquierda son únicos; es decir, si x' es un elemento tal que x' ⋅ x = 𝟭, entonces x^ x'. *} ― ‹La demostración automática (obtenida con Sledgehammer) es› lemma assumes "x' ⋅ x = 𝟭" shows "x^ = x'" using assms by (metis asociativa inverso_i neutro_i) ― ‹La demostración estructurada es› lemma unicidad_inverso_i: assumes "x' ⋅ x = 𝟭" shows "x^ = x'" proof - have "x^ = 𝟭 ⋅ x^" by (simp only: neutro_i) also have "... = (x' ⋅ x) ⋅ x^" using assms by simp also have "... = x' ⋅ (x ⋅ x^)" by (simp only: asociativa) also have "... = x' ⋅ 𝟭" by (simp only: inverso_d) also have "... = x'" by (simp only: neutro_d) finally show ?thesis . qed text {* Ejemplo 6. En los grupos, es inverso de un producto es el producto de los inversos cambiados de orden; es decir, (x ⋅ y)^ = y^ ⋅ x^ *} ― ‹La demostración automática (obtenida con Sledgehammer) es› lemma "(x ⋅ y)^ = y^ ⋅ x^" by (metis asociativa inverso_d neutro_d) ― ‹La demostración detallada es› lemma inversa_producto: "(x ⋅ y)^ = y^ ⋅ x^" proof (rule unicidad_inverso_i) show "(y^ ⋅ x^) ⋅ (x ⋅ y) = 𝟭" proof - have "(y^ ⋅ x^) ⋅ (x ⋅ y) = (y^ ⋅ (x^ ⋅ x)) ⋅ y" by (simp only: asociativa) also have "... = (y^ ⋅ 𝟭) ⋅ y" by (simp only: inverso_i) also have "... = y^ ⋅ y" by (simp only: neutro_d) also have "... = 𝟭" by (simp only: inverso_i) finally show ?thesis . qed qed text {* Ejemplo 7. En los grupos, el inverso del inverso es el propio elemento; es decir, (x^)^ = x *} ― ‹La demostración automática (obtenida con Sledgehammer) es› lemma "(x^)^ = x" using inverso_d unicidad_inverso_i by blast ― ‹La demostración estructurada es› lemma inverso_inverso: "(x^)^ = x" proof (rule unicidad_inverso_i) show "x ⋅ x^ = 𝟭" by (simp only: inverso_d) qed text {* Ejemplo 8. En los grupos, la función inversa es inyectiva; es decir, si x e y tienen los mismos inversos, entonces son iguales. *} ― ‹La demostración automática es (obtenida con Sledgehammer) es› lemma assumes "x^ = y^" shows "x = y" using assms by (metis inverso_inverso) ― ‹La demostración automática estructurada es› lemma inversa_inyectiva: assumes "x^ = y^" shows "x = y" proof - have "(x^)^ = (y^)^" using assms by simp thus "x = y" by (simp only: inverso_inverso) qed end section {* Teorías de órdenes mediante clases *} text {* El tutorial sobre clases está en la teoría Clases.thy. La clase de los órdenes es la colección de los tipos que poseen una relación ≼ verificando las siguientes propiedades · reflexiva: x ≼ x · transitiva: ⟦x ≼ y; y ≼ z⟧ ⟹ x ≼ z · antisimétrica: ⟦x ≼ y; y ≼ x⟧ ⟹ x = y *} class orden = fixes menor_ig :: "'a ⇒ 'a ⇒ bool" (infix "≼" 50) assumes refl: "x ≼ x" and trans: "⟦x ≼ y; y ≼ z⟧ ⟹ x ≼ z" and antisim: "⟦x ≼ y; y ≼ x⟧ ⟹ x = y" text {* Ha generado los teoremas correspondientes a los axiomas. Pueden consultarse mediante thm como se muestra a continuación. *} thm trans text {* Se inicia el contexto orden en el que se van a realizar definiciones y demostraciones. *} context orden begin text {* x es menor que y si x es menor o igual que y y no son iguales. *} definition menor :: "'a ⇒ 'a ⇒ bool" (infix "≺" 50) where "x ≺ y ⟷ x ≼ y ∧ ¬ y ≼ x" text {* La relación menor es irreflexiva. *} lemma irrefl: "¬ x ≺ x" by (auto simp: menor_def) text {* La relación menor es transitiva. *} (* Demostración aplicativa *) lemma "⟦x ≺ y; y ≺ z⟧ ⟹ x ≺ z" apply (unfold menor_def) (* ⟦x ≼ y ∧ ¬ y ≼ x; y ≼ z ∧ ¬ z ≼ y⟧ ⟹ x ≼ z ∧ ¬ z ≼ x *) apply (auto intro: trans) (* *) done (* Demostración automática *) lemma menor_trans: "⟦x ≺ y; y ≺ z⟧ ⟹ x ≺ z" by (auto simp: menor_def intro: trans) text {* La relación menor es asimétrica; es decir, si x ≺ y e y ≺ x, entonces se verifica cualquier propiedad P. *} lemma asimetrica: "x ≺ y ⟹ y ≺ x ⟹ P" by (simp add: menor_def) end subsection {* Subclase *} text {* Un orden lineal es un orden en que cada par de elementos son comparables. *} class ordenLineal = orden + assumes lineal: "x ≼ y ∨ y ≼ x" begin text {* En los órdenes lineales se tiene que x ≺ y ∨ x = y ∨ y ≺ x. *} (* Demostración aplicativa *) lemma "x ≺ y ∨ x = y ∨ y ≺ x" apply (unfold menor_def) (* (x ≼ y ∧ ¬ y ≼ x) ∨ x = y ∨ (y ≼ x ∧ ¬ x ≼ y) *) apply auto (* 1. ⟦x ≠ y; ¬ x ≼ y⟧ ⟹ y ≼ x 2. ⟦x ≠ y; y ≼ x; x ≼ y⟧ ⟹ False *) apply (cut_tac x=x and y=y in lineal) (* 1. ⟦x ≠ y; ¬ x ≼ y; x ≼ y ∨ y ≼ x⟧ ⟹ y ≼ x 2. ⟦x ≠ y; y ≼ x; x ≼ y⟧ ⟹ False *) apply (erule disjE) (* 1. ⟦x ≠ y; ¬ x ≼ y; x ≼ y⟧ ⟹ y ≼ x 2. ⟦x ≠ y; ¬ x ≼ y; y ≼ x⟧ ⟹ y ≼ x 3. ⟦x ≠ y; y ≼ x; x ≼ y⟧ ⟹ False *) apply (erule_tac P="x ≼ y" in notE) (* 1. ⟦x ≠ y; x ≼ y⟧ ⟹ x ≼ y 2. ⟦x ≠ y; ¬ x ≼ y; y ≼ x⟧ ⟹ y ≼ x 3. ⟦x ≠ y; y ≼ x; x ≼ y⟧ ⟹ False *) apply assumption (* 1. ⟦x ≠ y; ¬ x ≼ y; y ≼ x⟧ ⟹ y ≼ x 2. ⟦x ≠ y; y ≼ x; x ≼ y⟧ ⟹ False *) apply assumption (* 1. ⟦x ≠ y; y ≼ x; x ≼ y⟧ ⟹ False *) apply (drule antisim) (* 1. ⟦x ≠ y; x ≼ y⟧ ⟹ x ≼ y 2. ⟦x ≠ y; x ≼ y; y = x⟧ ⟹ False *) apply assumption (* 1. ⟦x ≠ y; x ≼ y; y = x⟧ ⟹ False *) apply (erule notE) (* 1. ⟦x ≼ y; y = x⟧ ⟹ x = y *) apply (erule sym) (* *) done (* Demostración automática *) lemma "x ≺ y ∨ x = y ∨ y ≺ x" using antisim lineal menor_def by auto end section {* Teoría de órdenes mediante ámbitos ("Locales") *} text {* Un orden es una estructura con una relación reflexiva, transitiva y antisimétrica. *} locale Orden = fixes menor_ig :: "'a ⇒ 'a ⇒ bool" (infix "⊑" 50) assumes refl: "x ⊑ x" and trans: "⟦x ⊑ y; y ⊑ z⟧ ⟹ x ⊑ z" and antisim: "⟦x ⊑ y; y ⊑ x⟧ ⟹ x = y" text {* Los teoremas se diferencian por el nombre y el ámbito. Por ejemplo, refl: ?x ≼ ?x Orden.refl: Orden ?menor_ig ⟹ ?menor_ig ?x ?x Orden_def: Orden ?menor_ig ≡ (∀x. ?menor_ig x x) ∧ (∀x y z. ?menor_ig x y ⟶ ?menor_ig y z ⟶ ?menor_ig x z) ∧ (∀x y. ?menor_ig x y ⟶ ?menor_ig y x ⟶ x = y) *} thm refl thm Orden.refl thm Orden_def text {* Un orden lineal es un orden en el que todos los pares de elementos son comparables. *} locale OrdenLineal = Orden + assumes lineal: "x ⊑ y ∨ y ⊑ x" text {* Los boooleanos está ordenados con el condicional. *} interpretation Orden_imp: Orden "λx y. x ⟶ y" proof fix P show "P ⟶ P" by simp next fix P Q R show "P ⟶ Q ⟹ Q ⟶ R ⟹ P ⟶ R" by simp next fix P Q show "P ⟶ Q ⟹ Q ⟶ P ⟹ P = Q" by blast qed text {* Los naturales con la relación de divisibilidad es un conjunto ordenado. *} interpretation Orden_dvd: Orden "(dvd) :: nat ⇒ nat ⇒ bool" proof fix x :: nat show "x dvd x" by simp next fix x y z :: nat show "⟦x dvd y; y dvd z⟧ ⟹ x dvd z" by auto next fix x y :: nat show "⟦x dvd y; y dvd x⟧ ⟹ x = y" by auto qed text {* Ámbito de las funciones monótonas (ver la página 12 del tutorial de locales). *} locale Mono = le1: Orden le1 + le2: Orden le2 for le1 (infix "⊑⇩1" 50) and le2 (infix "⊑⇩2" 50) + fixes f :: "'a ⇒ 'b" assumes mono: "x ⊑⇩1 y ⟹ f(x) ⊑⇩2 f(y)" text {* Si f es monótona, x ⊑_1 y e y ⊑_1 z, entonces f(x) ⊑_2 f(z). *} lemma (in Mono) mono_trans: assumes "x ⊑⇩1 y" and "y ⊑⇩1 z" shows "f(x) ⊑⇩2 f(z)" proof - have "x ⊑⇩1 z" using assms and le1.trans by blast then show "f(x) ⊑⇩2 f(z)" using mono by simp qed text {* El teorema generado se llama Mono.mono_trans. *} thm Mono.mono_trans text {* En el contexto Mono el nombre es mono_trans. *} context Mono begin thm mono_trans end text {* El predicado `ser par' es un operador monótono entre los naturales con la relación de divisibilidad y los booleanos con el condicional; es decir, x dvd y ⟹ even x ⟶ even y *} interpretation Mono "(dvd)" "(⟶)" "λn::nat. 2 dvd n" proof fix x y :: nat show "x dvd y ⟹ even x ⟶ even y" proof assume "x dvd y" and "even x" then show "even y" using Rings.comm_monoid_mult_class.dvd_trans by auto qed qed section {* Semigrupos, monoides y grupos *} subsection {* Definición de clases *} text {* Un semigrupo es una estructura compuesta por un conjunto A y una operación binaria en A. *} class semigrupo = fixes mult :: "'a ⇒ 'a ⇒ 'a" (infixl "⊗" 70) assumes asoc: "(x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z )" subsection {* Instanciación de clases *} text {* Los enteros con la suma forman un semigrupo. *} instantiation int :: semigrupo begin definition mult_int_def: "i ⊗ j = i + (j ::int)" instance proof fix i j k :: "int" have "(i + j ) + k = i + (j + k)" by simp then show "(i ⊗ j ) ⊗ k = i ⊗ (j ⊗ k)" unfolding mult_int_def . qed end text {* Los naturales con la suma forman un semigrupo. *} instantiation nat :: semigrupo begin primrec mult_nat where "(0::nat) ⊗ n = n" | "Suc m ⊗ n = Suc (m ⊗ n)" instance proof fix m n q :: "nat" show "m ⊗ n ⊗ q = m ⊗ (n ⊗ q)" by (induct m) auto qed end subsection {* Instancias recursivas *} text {* Si (A,⊗) y (B,⊗) son semigrupos, entonces ((A×B,⊗), donde el producto se define por (x,y)⊗(x',y') = (x⊗x',y⊗y'), es un semigrupo. *} instantiation prod :: (semigrupo, semigrupo) semigrupo begin definition mult_prod_def : "p1 ⊗ p2 = (fst p1 ⊗ fst p2, snd p1 ⊗ snd p2)" instance proof fix p1 p2 p3 :: "'a::semigrupo × 'b::semigrupo" show "(p1 ⊗ p2) ⊗ p3 = p1 ⊗ (p2 ⊗ p3)" unfolding mult_prod_def by (simp add: asoc) qed end subsection {* Subclases *} text {* Un monoide izquierdo es un semigrupo con elemento neutro por la izquierda. *} class monoideI = semigrupo + fixes neutro :: "'a" ("𝟭") assumes neutroI: "𝟭 ⊗ x = x" text {* Los naturales y los enteros con la suma forman monoides por la izquierda. *} instantiation nat and int :: monoideI begin definition neutro_nat_def : "𝟭 = (0::nat)" definition neutro_int_def : "𝟭 = (0::int)" instance proof fix n :: nat show "𝟭 ⊗ n = n" unfolding neutro_nat_def by simp next fix k :: int show "𝟭 ⊗ k = k" unfolding neutro_int_def mult_int_def by simp qed end text {* El producto de dos monoides por la izquierda es un monoide por la izquierda, donde el neutro es el par formado por los elementos neutros. *} instantiation prod :: (monoideI , monoideI) monoideI begin definition neutro_prod_def : "𝟭 = (𝟭, 𝟭)" instance proof fix p :: "'a::monoideI × 'b::monoideI" show "𝟭 ⊗ p = p" unfolding neutro_prod_def mult_prod_def by (simp add: neutroI) qed end text {* Un monoide es un monoide por la izquierda cuyo elemento neutro por la izquierda lo es también por la derecha. *} class monoide = monoideI + assumes neutro: "x ⊗ 𝟭 = x" text {* Los naturales y los enteros con la suma son monoides. *} instantiation nat and int :: monoide begin instance proof fix n :: nat show "n ⊗ 𝟭 = n" unfolding neutro_nat_def by (induct n) simp_all next fix k :: int show "k ⊗ 𝟭 = k" unfolding neutro_int_def mult_int_def by simp qed end text {* El producto de dos monoides es un monoide. *} instantiation prod :: (monoide, monoide) monoide begin instance proof fix p :: "'a::monoide × 'b::monoide" show "p ⊗ 𝟭 = p" unfolding neutro_prod_def mult_prod_def by (simp add: neutro) qed end text {* Un grupo es un monoide por la izquierda tal que todo elemento posee un inverso por la izquierda. *} class grupo2 = monoideI + fixes inverso :: "'a ⇒ 'a" ("(_⇧-⇧1)" [1000] 999) assumes inversoI: "x⇧-⇧1 ⊗ x = 𝟭" text {* Los enteros con la suma forman un grupo. *} instantiation int :: grupo2 begin definition inverso_int_def: "i⇧-⇧1 = -(i::int)" instance proof fix i :: "int" have "-i + i = 0" by simp then show "i⇧-⇧1 ⊗ i = 𝟭" unfolding mult_int_def neutro_int_def inverso_int_def . qed end subsection {* Razonamiento abstracto *} text {* En los grupos se verifica la propiedad cancelativa por la izquierda, i.e. x ⊗ y = x ⊗ z ⟷ y = z *} lemma (in grupo2) cancelativa_izq: "x ⊗ y = x ⊗ z ⟷ y = z" proof assume "x ⊗ y = x ⊗ z" hence "x⇧-⇧1 ⊗ (x ⊗ y) = x⇧-⇧1 ⊗ (x ⊗ z)" by simp hence "(x⇧-⇧1 ⊗ x) ⊗ y = (x⇧-⇧1 ⊗ x) ⊗ z" using asoc by simp then show "y = z" using neutroI and inversoI by simp next assume "y = z" then show "x ⊗ y = x ⊗ z" by simp qed thm grupo2.cancelativa_izq text {* Se genera el teorema grupo.cancelativa_izq class.grupo2 ?mult ?neutro ?inverso ⟹ (?mult ?x ?y = ?mult ?x ?z) = (?y = ?z) El teorema se aplica automáticamente a todas las instancias de la clase grupo. Por ejemplo, a los enteros. *} subsection {* Definiciones derivadas *} text {* En los monoides se define la potencia natural por · x^0 = 1 · x^{n+1} = x*x^n *} fun (in monoide) potencia_nat :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a" where "potencia_nat 0 x = 𝟭" | "potencia_nat (Suc n) x = x ⊗ potencia_nat n x" subsection {* Analogía entre clases y functores *} text {* Las listas con la operación de concatenación y la lista vacía como elemento neutro forman un monoide. *} interpretation list_monoide: monoide "append" "[]" proof show "⋀x y z. (x @ y) @ z = x @ (y @ z)" by simp next show "⋀x. [] @ x = x" by simp next show "⋀x. x @ [] = x" by simp qed text {* Se pueden aplicar propiedades de los monides a las listas. Por ejemplo, *} lemma "append [] xs = xs" by simp text {* (repite n xs) es la lista obtenida concatenando n veces la lista xs. *} fun repite :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "repite 0 _ = []" | "repite (Suc n) xs = xs @ repite n xs" text {* Las listas con la operación de concatenación y la lista vacía como elemento neutro forman un monoide. Además, la potencia natural se intepreta como repite. *} interpretation list_monoide: monoide "append" "[]" rewrites "monoide.potencia_nat append [] = repite" proof - interpret monoide "append" "[]" .. show "monoide.potencia_nat append [] = repite" proof fix n show "monoide.potencia_nat append [] n = repite n" by (induct n) auto qed qed intro_locales subsection {* Relaciones de subclase adicionales *} text {* Los grupos son monoides. *} subclass (in grupo2) monoide proof fix x have "x⇧-⇧1 ⊗ (x ⊗ 𝟭) = x⇧-⇧1 ⊗ (x ⊗ (x⇧-⇧1 ⊗ x))" using inversoI by simp also have "… = (x⇧-⇧1 ⊗ x) ⊗ (x⇧-⇧1 ⊗ x)" using asoc [symmetric] by simp also have "… = 𝟭 ⊗ (x⇧-⇧1 ⊗ x)" using inversoI by simp also have "… = x⇧-⇧1 ⊗ x" using neutroI by simp finally have "x⇧-⇧1 ⊗ (x ⊗ 𝟭) = x⇧-⇧1 ⊗ x" . then show "x ⊗ 𝟭 = x" using cancelativa_izq by simp qed text {* La potencia entera en los grupos se define a partir de la potencia natural como sigue: · x^k = x^k si k ≥ 0 · x^k = (x^{-k})^{-1}, en caso contrario. *} definition (in grupo2) potencia_entera :: "int ⇒ 'a ⇒ 'a" where "potencia_entera k x = (if k >= 0 then potencia_nat (nat k) x else (potencia_nat (nat (- k)) x)⇧-⇧1)" section {* Bibliografía *} text {* + "Haskell-style type classes with Isabelle/Isar" ~ F. Haftmann. http://bit.ly/2E55pAJ + "Tutorial to locales and locale interpretation" ~ C. Ballarin. http://bit.ly/2E3ozXB *} end |