Autor: José A. Alonso

Esta semana he publicado en Calculemus las demostraciones con Lean de las siguientes propiedades:

• 1. El producto de dos funciones impares es par
• 2. El producto de una función par por una impar es impar
• 3. Si f es par y g es impar, entonces f ∘ g es par
• 4. Para cualquier conjunto s, s ⊆ s
• 5. Si r ⊆ s y s ⊆ t, entonces r ⊆ t

A continuación se muestran las soluciones.

Esta semana he publicado en Calculemus las demostraciones con Lean de las siguientes propiedades:

• 1. Si a es una cota superior no negativa de f y b es es una cota superior de la función no negativa g, entonces a·b es una cota superior de f·g
• 2. La suma de dos funciones monótonas es monótona
• 3. Si f es monótona y c ≥ 0, entonces c·f es monótona
• 4. La composición de dos funciones monótonas es monótona
• 5. La suma de dos funciones pares es par

A continuación se muestran las soluciones.

Esta semana he publicado en Calculemus las demostraciones con Lean de las siguientes propiedades:

• 1. Si X es un espacio métrico y x, y ∈ X, entonces dist(x,y) ≥ 0
• 2. Si x, y, ε ∈ ℝ tales que 0 < ε ≤ 1, |x| < ε y |y| < ε, entonces |x*y| < ε
• 3. La suma de una cota superior de f y una cota superior de g es una cota superior de f+g
• 4. La suma de una cota inferior de f y una cota inferior de g es una cota inferior de f+g
• 5. El producto de dos funciones no negativas es no negativa

A continuación se muestran las soluciones.

Esta semana he publicado en Calculemus las demostraciones con Lean de las siguientes propiedades:

• 1. Si R es un retículo tal que x ⊓ (y ⊔ z) = (x ⊓ y) ⊔ (x ⊓ z), entonces (a ⊔ b) ⊓ c = (a ⊓ c) ⊔ (b ⊓ c)
• 2. Si R es un retículo tal que x ⊔ (y ⊓ z) = (x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z), entonces (a ⊓ b) ⊔ c = (a ⊔ c) ⊓ (b ⊔ c)
• 3. Si R es un anillo ordenado, entonces ∀ a b ∈ R, a ≤ b → 0 ≤ b – a
• 4. Si R es un anillo ordenado y a, b ∈ R, entonces 0 ≤ b – a → a ≤ b
• 5. Si R es un anillo ordenado y a, b, c ∈ R tales que a ≤ b y 0 ≤ c, entonces ac ≤ bc

A continuación se muestran las soluciones.

Esta semana he publicado en Calculemus las demostraciones con Lean de las siguientes propiedades:

• 1. Si R es un retículo y x, y ∈ R, entonces x ⊔ y = y ⊔ x
• 2. Si R es un retículo y x, y, z ∈ R, entonces (x ⊓ y) ⊓ z = x ⊓ (y ⊓ z)
• 3. Si R es un retículo y x, y, z ∈ R, entonces (x ⊔ y) ⊔ z = x ⊔ (y ⊔ z)
• 4. Si R es un retículo y x, y ∈ R, entonces x ⊓ (x ⊔ y) = x
• 5. Si R es un retículo y x, y ∈ R, entonces x ⊔ (x ⊓ y) = x

A continuación se muestran las soluciones.