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Una recopilación de todas las lecturas compartidas se encuentra en GitHub.
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Se ha publicado un artículo de razonamiento formalizado en Isabelle/HOL sobre lógica titulado A comprehensive framework for saturation theorem proving.
Sus autores son
Su resumen es
One of the indispensable operations of realistic saturation theorem provers is (backward and forward) deletion of subsumed formu- las. In presentations of proof calculi, however, this is usually discussed only informally, and in the rare cases where there is a formal exposition, it is typically clumsy. This is because the equivalence of dynamic and static refutational completeness holds only for derivations where all deleted formulas are redundant, but using a standard notion of redundancy, a clause C does not make an instance Cσ redundant.
We present a framework for formal refutational completeness proofs of abstract provers that implement saturation calculi, such as ordered resolution or superposition. The framework relies on modular extensions of lifted redundancy criteria. It permits us to extend redundancy criteria so that they cover subsumption, and also to model entire prover architectures in such a way that the static refutational completeness of a calculus immediately implies the dynamic refutational completeness of, e.g., an Otter or DISCOUNT loop prover implementing the calculus. Our framework is mechanized in Isabelle/HOL.
El trabajo es parte del proyecto Matryoshka (Fast interactive verification through strong higher-order automation)
El código está incluido en el repositorio IsaFoL (Isabelle Formalization of Logic).
Las clases del curso Lógica matemática y fundamentos (de 3º de Grado en Matemáticas) comenzarán el martes 11 de febrero en el aula 02 del Edificio Central.
En la segunda parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha estudiado una implementación de la reducción del problema SAT al problema Clique.
En primer lugar se ha estudiado una implementación del problema del Clique en la que se ha definido los grafos no ordenados (como pares de nodos), los cliques y cómo calcular los clique de un tamaño dado.
A continuación se ha estudiado cómo asociar a una fórmula en forma normal conjuntiva un grafo tal que la fórmula es satisfacible si, y sólo si, el grafo tiene un clique cuyo tamaño sea el número de cláusulas de la fórmula
Los códigos usados en la presentación son los siguientes:
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-- Cliques.hs -- El problema del clique. -- José A. Alonso Jiménez -- Sevilla, 6 de febrero de 2020 -- --------------------------------------------------------------------- module Cliques where import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Un grafo no dirigido se representa por la lista de sus arcos. Por -- ejemplo, el grafo -- 1 -- 2 -- 4 -- | \ | -- | \ | -- 3 -- 5 -- se representa por [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)]. -- -- Definir el tipo Grafo. -- --------------------------------------------------------------------- type Grafo a = [(a,a)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- nodos :: Eq a => Grafo a -> [a] -- tal que (nodos g) es la lista de los nodos del grafo g. Por ejemplo, -- nodos [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] == [1,2,3,4,5] -- --------------------------------------------------------------------- nodos :: Eq a => Grafo a -> [a] nodos g = nub (concat [[x,y] | (x,y) <- g]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio: Definir la función -- conectados :: Eq a => Grafo a -> a -> a -> Bool -- tal que (conectados g x y) se verifica si el grafo no dirigido g -- posee un arco con extremos x e y. Por ejemplo, -- conectados [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 3 2 == True -- conectados [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 2 3 == True -- conectados [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 3 4 == False -- --------------------------------------------------------------------- conectados :: Eq a => Grafo a -> a -> a -> Bool conectados g x y = (x,y) `elem` g || (y,x) `elem` g -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio: Definir la función -- parejas :: [a] -> [(a,a)] -- tal que (parejas xs) es la lista de las parejas formados por los -- elementos de xs y sus siguientes en xs. Por ejemplo, -- parejas [1..4] == [(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)] -- --------------------------------------------------------------------- parejas :: [a] -> [(a,a)] parejas xs = [(x,y) | (x:ys) <- tails xs , y <- ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Un clique (en español, pandilla) de un grafo g es un -- conjunto de nodos de g tal que todos sus elementos están conectados -- en g. -- -- Definir la función -- esClique :: Eq a => Grafo a -> [a] -> Bool -- tal que (esClique g xs) se verifica si el conjunto de nodos xs del -- grafo g es un clique de g.Por ejemplo, -- esClique [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] [2,3,5] == True -- esClique [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] [2,3,4] == False -- --------------------------------------------------------------------- esClique :: Eq a => Grafo a -> [a] -> Bool esClique g xs = and [conectados g x y | (x,y) <- parejas xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- cliques :: Eq a => Grafo a -> [[a]] -- tal que (cliques g) es la lista de los cliques del grafo g. Por -- ejemplo, -- λ> cliques [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] -- [[],[1],[2],[1,2],[3],[2,3],[4],[2,4], -- [5],[2,5],[3,5],[2,3,5],[4,5],[2,4,5]] -- --------------------------------------------------------------------- cliques :: Eq a => Grafo a -> [[a]] cliques g = [xs | xs <- subsequences (nodos g) , esClique g xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- kSubconjuntos :: [a] -> Int -> [[a]] -- tal que (kSubconjuntos xs k) es la lista de los subconjuntos de xs -- con k elementos. Por ejemplo, -- ghci> kSubconjuntos "bcde" 2 -- ["bc","bd","be","cd","ce","de"] -- ghci> kSubconjuntos "bcde" 3 -- ["bcd","bce","bde","cde"] -- ghci> kSubconjuntos "abcde" 3 -- ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"] -- --------------------------------------------------------------------- kSubconjuntos :: [a] -> Int -> [[a]] kSubconjuntos _ 0 = [[]] kSubconjuntos [] _ = [] kSubconjuntos (x:xs) k = [x:ys | ys <- kSubconjuntos xs (k-1)] ++ kSubconjuntos xs k -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- kCliques :: Eq a => Grafo a -> Int -> [[a]] -- tal que (cliques g k) es la lista de los cliques del grafo g de -- tamaño k. Por ejemplo, -- λ> kCliques [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 3 -- [[2,3,5],[2,4,5]] -- λ> kCliques [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 2 -- [[1,2],[2,3],[2,4],[2,5],[3,5],[4,5]] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición kCliques1 :: Eq a => Grafo a -> Int -> [[a]] kCliques1 g k = [xs | xs <- cliques g , length xs == k] -- 2ª definición kCliques :: Eq a => Grafo a -> Int -> [[a]] kCliques g k = [xs | xs <- kSubconjuntos (nodos g) k , esClique g xs] -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- λ> kCliques1 [(n,n+1) | n <- [1..20]] 3 -- [] -- (4.28 secs, 3,204,548,608 bytes) -- λ> kCliques [(n,n+1) | n <- [1..20]] 3 -- [] -- (0.01 secs, 3,075,768 bytes) |
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-- SAT_Clique.hs -- Reducción de SAT a Clique. -- José A. Alonso Jiménez -- Sevilla, 6 de febrero de 2020 -- --------------------------------------------------------------------- module SAT_Clique where import SAT import Cliques import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- nodosFNC :: FNC -> [(Int,Literal)] -- tal que (nodosFNC f) es la lista de los literales de las cláuslas de -- f junto con el número de la cláusula. Por ejemplo, -- λ> nodosFNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] -- [(0,1),(0,-2),(0,3),(1,-1),(1,2),(2,-2),(2,3)] -- --------------------------------------------------------------------- nodosFNC :: FNC -> [(Int,Literal)] nodosFNC f = [(i,x) | (i,xs) <- zip [0..] f , x <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. El grafo correspondiente a una fórmula f en FNC tiene como -- nodos (nodosFNC f). Hay un arco entre los nodos correspondientes a -- cláusulas distintas cuyos literales no son complementarios. Por -- ejemplo, -- -- Definir la función -- grafoFNC :: FNC -> Grafo (Int,Literal) -- tal que (grafo FNC f) es el grafo de f. Por ejemplo, -- λ> grafoFNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] -- [ ((0,1),(1,2)), ((0,1),(2,-2)), ((0,1),(2,3)), -- ((0,-2),(1,-1)),((0,-2),(2,-2)),((0,-2),(2,3)), -- ((0,3),(1,-1)), ((0,3),(1,2)), ((0,3),(2,-2)),((0,3),(2,3)), -- ((1,-1),(2,-2)),((1,-1),(2,3)), -- ((1,2),(2,3))] -- λ> grafoFNC [[1,2],[1,-2],[-1,2],[-1,-2]] -- [((0,1),(1,1)),((0,1),(1,-2)),((0,1),(2,2)),((0,1),(3,-2)), -- ((0,2),(1,1)),((0,2),(2,-1)),((0,2),(2,2)),((0,2),(3,-1)), -- ((1,1),(2,2)),((1,1),(3,-2)), -- ((1,-2),(2,-1)),((1,-2),(3,-1)),((1,-2),(3,-2)), -- ((2,-1),(3,-1)),((2,-1),(3,-2)), -- ((2,2),(3,-1))] -- --------------------------------------------------------------------- grafoFNC :: FNC -> Grafo (Int,Literal) grafoFNC f = [ ((i,x),(i',x')) | ((i,x),(i',x')) <- parejas (nodosFNC f) , i' /= i , x' /= complementario x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- cliquesFNC :: FNC -> [[(Int,Literal)]] -- tal que (cliquesFNCf) es la lista de los cliques del grafo de f. Por -- ejemplo, -- λ> cliquesFNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] -- [[], [(0,1)], [(1,2)], [(0,1),(1,2)], [(2,-2)], -- [(0,1),(2,-2)], [(2,3)], [(0,1),(2,3)], [(1,2),(2,3)], -- [(0,1),(1,2),(2,3)], [(0,-2)], [(2,-2),(0,-2)], [(2,3),(0,-2)], -- [(1,-1)], [(2,-2),(1,-1)], [(2,3),(1,-1)], [(0,-2),(1,-1)], -- [(2,-2),(0,-2),(1,-1)], [(2,3),(0,-2),(1,-1)], [(0,3)], -- [(1,2),(0,3)], [(2,-2),(0,3)], [(2,3),(0,3)], -- [(1,2),(2,3),(0,3)], [(1,-1),(0,3)], -- [(2,-2),(1,-1),(0,3)], [(2,3),(1,-1),(0,3)]] -- --------------------------------------------------------------------- cliquesFNC :: FNC -> [[(Int,Literal)]] cliquesFNC f = cliques (grafoFNC f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- cliquesCompletos :: FNC -> [[(Int,Literal)]] -- tal que (cliquesCompletos f) es la lista de los cliques del grafo de -- f que tiene elmismo número de elementos que el número de cláusulas de -- f. Por ejemplo, -- λ> cliquesCompletos [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] -- [[(0,1),(1,2),(2,3)], [(2,-2),(0,-2),(1,-1)], -- [(2,3),(0,-2),(1,-1)], [(1,2),(2,3),(0,3)], -- [(2,-2),(1,-1),(0,3)], [(2,3),(1,-1),(0,3)]] -- λ> cliquesCompletos [[1,2],[1,-2],[-1,2],[-1,-2]] -- [] -- --------------------------------------------------------------------- cliquesCompletos :: FNC -> [[(Int,Literal)]] cliquesCompletos cs = kCliques (grafoFNC cs) (length cs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esSatisfaciblePorClique :: FNC -> Bool -- tal que (esSatisfaciblePorClique f) se verifica si f no contiene la -- cláusula vacía, tiene má de una cláusula y posee algún clique -- completo. Por ejemplo, -- λ> esSatisfaciblePorClique [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] -- True -- λ> esSatisfaciblePorClique [[1,2],[1,-2],[-1,2],[-1,-2]] -- False -- --------------------------------------------------------------------- esSatisfaciblePorClique :: FNC -> Bool esSatisfaciblePorClique f = [] `notElem` f' && (length f' <= 1 || not (null (cliquesCompletos f'))) where f' = nub (map (nub . sort) f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Comprobar con QuickCheck que toda fórmula es satisfacible -- si, y solo si, es satisfacible por Clique. -- --------------------------------------------------------------------- prop_esSatisfaciblePorClique :: FNC -> Bool prop_esSatisfaciblePorClique f = esSatisfacible f == esSatisfaciblePorClique f -- La comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_esSatisfaciblePorClique -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- modelosCliqueFNC :: FNC -> [Interpretacion] -- tales que (modelosCliqueFNC f) es la lista de los modelos de f -- calculados mediante los cliques completos del grafo de f. Por ejemplo, -- λ> modelosCliqueFNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] -- [[],[1,2,3],[2,3],[3]] -- λ> modelosCliqueFNC [[1,-2,3],[3,2],[-2,3]] -- [[1,2,3],[1,3],[2,3],[3]] -- --------------------------------------------------------------------- modelosCliqueFNC :: FNC -> [Interpretacion] modelosCliqueFNC f | [] `elem` f' = [] | length f' == 1 = [[a | c <- f', a <- c, a > 0]] |otherwise = sort (nub (map nub [ modeloClique xs | xs <- cliquesCompletos f])) where f' = nub (map (nub . sort) f) modeloClique xs = [x | (_,x) <- xs, x > 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Comprobar con QuickCheck que, para toda fórmula f en FNC, -- todos los elementos de (modelosCliqueFNC f) son modelos de f. -- --------------------------------------------------------------------- prop_modelosPorClique :: FNC -> Bool prop_modelosPorClique f = and [esModelo i f | i <- modelosCliqueFNC f] -- La comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_modelosPorClique -- +++ OK, passed 100 tests. |
En la primera parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha estudiado una implementación del algoritmo de Davis-Putnam en Haskell y comprobado su corrección con QuickCheck.
En primer lugar se ha estudiado una implementación de la lógica clausal en Haskell en la que se han definido los átomos, literales, cláusulas, fórmulas en forma normal conjuntiva (FNC), interpretaciones, modelos y la clasificación de FNC en satisfacibles, insatisfacibles y válidas.
A continuación se ha estudiado una implementación del algoritmo de Davis-Putnam en Haskell.
Los códigos y las transparencias usados en la presentación son los siguientes:
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-- SAT.hs -- El problema SAT para fóemulas en FNC. -- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us,es> -- Sevilla, 4 de febrero de 2020 -- --------------------------------------------------------------------- module SAT where import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- § Átomos, literales, cláusulas y FNC -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Usareremos las siguientes representaciones: -- + Los átomos se representan por enteros positivos. Por ejemplo, 3 -- representa x(3). -- + Los literales se representa por enteros. Por ejemplo, 3 reprsenta -- el literal positivo x(3) y -5 el literal negativo -x(3). -- + Una cláusula es una lista de literales que representa su -- disyunción. Por ejemplo, [3,2,-4] representa a x(3) v x(2) v -x(4). -- + Una fórmula en forma normal conjuntiva (FNC) es una lista de -- cláusulas que representa su conjunción. Por ejemplo, [[3,2],[-1,2,5]] -- representa a (x(3) v x(2)) & (-x(1) v x(2) v x(5)). -- -- Definir los tipo de datos Atomo, Literal, Clausula y FNC. -- --------------------------------------------------------------------- type Atomo = Int type Literal = Int type Clausula = [Literal] type FNC = [Clausula] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- complementario :: Literal -> Literal -- tal que (complementario l) es el complementario de l. Por ejemplo, -- complementario 3 == -3 -- complementario (-3) == 3 -- --------------------------------------------------------------------- complementario :: Literal -> Literal complementario l = (-1) * l -- --------------------------------------------------------------------- -- § Átomos de cláusulas y de FNC -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- atomosClausula :: Clausula -> [Prop] -- tal que (atomosClausula c) es el conjunto de los átomos de c. Por -- ejemplo, -- atomosClausula [1,3,-1] == [1,3] -- --------------------------------------------------------------------- atomosClausula :: Clausula -> [Atomo] atomosClausula c = nub (map abs c) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] -- tal que (unionGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de -- conjuntos x. Por ejemplo, -- unionGeneral [] == [] -- unionGeneral [[1]] == [1] -- unionGeneral [[1],[1,2],[2,3]] == [1,2,3] -- --------------------------------------------------------------------- unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] unionGeneral [] = [] unionGeneral (x:xs) = x `union` unionGeneral xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- atomosFNC :: FNC -> [Prop] -- tal que (atomosFNC f) es el conjunto de los átomos de f. Por ejemplo, -- atomosFNC [[1,2],[4,-2]] == [1,2,4] -- --------------------------------------------------------------------- atomosFNC :: FNC -> [Atomo] atomosFNC f = unionGeneral [atomosClausula c | c <- f] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Interpretaciones -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Una interpretación I es un conjunto de átomos. Se supone -- que los átomos de I son verdaderos y los restantes son falsos. -- -- Definir el tipo de dato Interpretacion. -- --------------------------------------------------------------------- type Interpretacion = [Atomo] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- interpretacionesClausula :: Clausula -> [Interpretacion] -- tal que (interpretacionesClausula c) es el conjunto de -- interpretaciones de c. Por ejemplo, -- interpretacionesClausula [1,2,-1] == [[],[1],[2],[1,2]] -- interpretacionesClausula [] == [[]] -- --------------------------------------------------------------------- interpretacionesClausula :: Clausula -> [Interpretacion] interpretacionesClausula c = subsequences (atomosClausula c) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- interpretaciones :: FNC -> [Interpretacion] -- tal que (interpretaciones f) es el conjunto de interpretaciones de -- f. Por ejemplo, -- interpretaciones [[1,-2],[-1,2]] == [[],[1],[2],[1,2]] -- interpretaciones [] == [[]] -- --------------------------------------------------------------------- interpretaciones :: FNC -> [Interpretacion] interpretaciones f = subsequences (atomosFNC f) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Modelos de literales, cláusulas y FNC -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esModeloLiteral :: Interpretacion -> Literal -> Bool -- tal que (esModeloLiteral i l) se verifica si i es modelo de l. Por -- ejemplo, -- esModeloLiteral [3,5] 3 == True -- esModeloLiteral [3,5] 4 == False -- esModeloLiteral [3,5] (-3) == False -- esModeloLiteral [3,5] (-4) == True -- --------------------------------------------------------------------- esModeloLiteral :: Interpretacion -> Literal -> Bool esModeloLiteral i l | l > 0 = l `elem` i | otherwise = complementario l `notElem` i -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esModeloClausula :: Interpretacion -> Clausula -> Bool -- tal que (esModeloClausula i c) se verifica si i es modelo de c . Por -- ejemplo, -- esModeloClausula [3,5] [2,3,-5] == True -- esModeloClausula [3,5] [2,4,-1] == True -- esModeloClausula [3,5] [2,4,1] == False -- --------------------------------------------------------------------- esModeloClausula :: Interpretacion -> Clausula -> Bool esModeloClausula i c = or [esModeloLiteral i l | l <- c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- modelosClausula :: Clausula -> [Interpretacion] -- tal que (modelosClausula c) es la lista de los modelos de c. Por -- ejemplo, -- modelosClausula [-1,2] == [[],[2],[1,2]] -- modelosClausula [-1,1] == [[],[1]] -- modelosClausula [] == [] -- --------------------------------------------------------------------- modelosClausula :: Clausula -> [Interpretacion] modelosClausula c = [i | i <- interpretacionesClausula c, esModeloClausula i c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esModelo :: Interpretacion -> FNC -> Bool -- tal que (esModelo i f) se verifica si i es modelo de f. Por ejemplo, -- esModelo [1,3] [[1,-2],[3]] == True -- esModelo [1] [[1,-2],[3]] == False -- esModelo [1] [] == True -- --------------------------------------------------------------------- esModelo :: Interpretacion -> FNC -> Bool esModelo i s = and [esModeloClausula i c | c <- s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- modelos :: FNC -> [Interpretacion] -- tal que (modelos f) es la lista de los modelos de f. Por ejemplo, -- modelos [[-1,2],[-2,1]] == [[],[1,2]] -- modelos [[-1,2],[-2],[1]] == [] -- modelos [[1,-1,2]] == [[],[1],[2],[1,2]] -- --------------------------------------------------------------------- modelos :: FNC -> [Interpretacion] modelos s = [i | i <- interpretaciones s, esModelo i s] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Cláusulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esSatisfacibleClausula :: Clausula -> Bool -- tal que (esSatisfacibleClausula c) se verifica si la cláusula c es -- satisfacible. Por ejemplo, -- esSatisfacibleClausula [1,2,-1] == True -- esSatisfacibleClausula [1,2,-3] == True -- esSatisfacibleClausula [] == False -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esSatisfacibleClausula1 :: Clausula -> Bool esSatisfacibleClausula1 c = or [esModeloClausula i c | i <- interpretacionesClausula c] -- 2ª definición esSatisfacibleClausula :: Clausula -> Bool esSatisfacibleClausula = not . null -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esInsatisfacibleClausula :: Clausula -> Bool -- tal que (esInsatisfacibleClausula c) se verifica si la cláusula c es -- insatisfacible. Por ejemplo, -- esInsatisfacibleClausula [1,2,-1] == False -- esInsatisfacibleClausula [1,2,-3] == False -- esInsatisfacibleClausula [] == True -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esInsatisfacibleClausula1 :: Clausula -> Bool esInsatisfacibleClausula1 c = and [not (esModeloClausula i c) | i <- interpretacionesClausula c] -- 2ª definición esInsatisfacibleClausula :: Clausula -> Bool esInsatisfacibleClausula = null -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esValidaClausula :: Clausula -> Bool -- tal que (esValidaClausula c) se verifica si la cláusula c es -- válida. Por ejemplo, -- esValidaClausula [1,2,-1] == True -- esValidaClausula [1,2,-3] == False -- esValidaClausula [] == False -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esValidaClausula1 :: Clausula -> Bool esValidaClausula1 c = and [esModeloClausula i c | i <- interpretacionesClausula c] -- 2ª definición esValidaClausula :: Clausula -> Bool esValidaClausula c = not (null [l | l <- c, complementario l `elem` c]) -- --------------------------------------------------------------------- -- § FNC válidas, satisfacible e insatisfacibles -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esSatisfacible :: FNC -> Bool -- tal que (esSatisfacible f) se verifica si la FNC f es -- satistacible. Por ejemplo, -- esSatisfacible [[-1,2],[-2,1]] == True -- esSatisfacible [[-1,2],[-2,2]] == True -- esSatisfacible [[-1,1],[-2,2]] == True -- esSatisfacible [] == True -- --------------------------------------------------------------------- esSatisfacible :: FNC -> Bool esSatisfacible s = not (null (modelos s)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esInsatisfacible :: FNC -> Bool -- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si la FNC f es -- insatisfacible. Por ejemplo, -- esInsatisfacible [[-1,2],[-2,1]] == False -- esInsatisfacible [[-1],[1]] == True -- --------------------------------------------------------------------- esInsatisfacible :: FNC -> Bool esInsatisfacible f = null (modelos f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esValida :: FNC -> Bool -- tal que (esValida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo, -- esValida [[-1,2],[-2,1]] == False -- esValida [[-1,1],[-2,2]] == True -- esValida [] == True -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esValida1 :: FNC -> Bool esValida1 f = modelos f == interpretaciones f -- 2ª definición esValida :: FNC -> Bool esValida f = and [esValidaClausula c | c <- f] |
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-- DavisPutnam.hs -- El procedimiento de Davis y Putnam para SAT -- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us,es> -- Sevilla, 4 de febrero de 2020 -- --------------------------------------------------------------------- module SAT_DavisPutnam where import SAT import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- § Eliminación de tautologías -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esTautologia :: Clausula -> Bool -- tal que (esTautologia c) se verifica si c es una tautología. Por -- ejemplo, -- esTautologia [1,2,-1] == True -- esTautologia [1,2,-3] == False -- esTautologia [] == False -- --------------------------------------------------------------------- esTautologia :: Clausula -> Bool esTautologia = esValidaClausula -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaTautologias :: FNC -> FNC -- tal que (eliminaTautologias s) es el conjunto obtenido eliminando las -- tautologías de s. Por ejemplo, -- eliminaTautologias [[1,2],[1,3,-1]] == [[1,2]] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaTautologias :: FNC -> FNC eliminaTautologias s = [c | c <- s, not (esTautologia c)] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Eliminación de cláusulas unitarias -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esUnitaria :: Clausula -> Bool -- tal que (esUnitaria c) se verifica si la cláusula c es unitaria . Por -- ejemplo, -- esUnitaria [3] == True -- esUnitaria [-3] == True -- esUnitaria [3,2] == False -- esUnitaria [] == False -- --------------------------------------------------------------------- esUnitaria :: Clausula -> Bool esUnitaria [_] = True esUnitaria _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaClausulaUnitaria :: Literal -> FNC -> FNC -- tal que (eliminaClausulaUnitaria l s) es el conjunto obtenido al -- reducir s por la eliminación de la cláusula unitaria formada por el -- literal l. Por ejemplo, -- λ> eliminaClausulaUnitaria (-1) [[1,2,-3],[1,-2],[-1],[3]] -- [[2,-3],[-2],[3]] -- λ> eliminaClausulaUnitaria (-2) [[2,-3],[-2],[3]] -- [[-3],[3]] -- λ> eliminaClausulaUnitaria (-3) [[-3],[3],[1]] -- [[],[1]] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaClausulaUnitaria :: Literal -> FNC -> FNC eliminaClausulaUnitaria l s = [delete (complementario l) c | c <- s, notElem l c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- clausulaUnitaria :: FNC -> Maybe Literal -- tal que (clausulaUnitaria s) es la primera cláusula unitaria de s, si -- s tiene cláusulas unitarias y nada en caso contrario. Por ejemplo, -- clausulaUnitaria [[1,2],[1],[-2]] == Just 1 -- clausulaUnitaria [[1,2],[1,-2]] == Nothing -- --------------------------------------------------------------------- clausulaUnitaria :: FNC -> Maybe Literal clausulaUnitaria [] = Nothing clausulaUnitaria (c:cs) | esUnitaria c = Just (head c) | otherwise = clausulaUnitaria cs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaClausulasUnitarias :: FNC -> FNC -- tal que (eliminaClausulasUnitarias s) es el conjunto obtenido -- aplicando el proceso de eliminación de cláusulas unitarias a s. Por -- ejemplo, -- λ> eliminaClausulasUnitarias [[1,2,-3],[1,-2],[-1],[3],[5]] -- [[],[5]] -- λ> eliminaClausulasUnitarias [[1,2],[-2],[-1,2,-3]] -- [] -- λ> eliminaClausulasUnitarias [[-1,2],[1],[3,5]] -- [[3,5]] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaClausulasUnitarias :: FNC -> FNC eliminaClausulasUnitarias s | elem [] s = s | clausulaUnitaria s == Nothing = s | otherwise = eliminaClausulasUnitarias (eliminaClausulaUnitaria c s) where Just c = clausulaUnitaria s -- --------------------------------------------------------------------- -- Eliminación de literales puros -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- literales :: FNC -> [Literal] -- tal que (literales f) es el conjunto de literales de f. Por ejemplo, -- literales [[1,2,-3],[1,2,-1]] == [1,2,-3,-1] -- --------------------------------------------------------------------- literales :: FNC -> [Literal] literales = unionGeneral -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esLiteralPuro :: Literal -> FNC -> Bool -- tal que (esLiteralPuro l f) se verifica si l es puro en f. Por -- ejemplo, -- esLiteralPuro 1 [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == True -- esLiteralPuro 2 [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == False -- --------------------------------------------------------------------- esLiteralPuro :: Literal -> FNC -> Bool esLiteralPuro l f = and [notElem l' c | c <- f] where l' = complementario l -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaLiteralPuro :: Literal -> FNC -> FNC -- tal que (eliminaLiteralPuro l f) es el conjunto obtenido eliminando -- el literal puro l de f. Por ejemplo, -- eliminaLiteralPuro 1 [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == [[3,2],[3,-2]] -- eliminaLiteralPuro 3 [[3,2],[3,-2]] == [] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaLiteralPuro :: Literal -> FNC -> FNC eliminaLiteralPuro l f = [c | c <- f, l `notElem` c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- literalesPuros :: FNC -> [Literal] -- tal que (literalesPuros f) es el conjunto de los literales puros de -- f. Por ejemplo, -- literalesPuros [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == [1,3] -- --------------------------------------------------------------------- literalesPuros :: FNC -> [Literal] literalesPuros f = [l | l <- literales f, esLiteralPuro l f] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaLiteralesPuros :: FNC -> FNC -- tal que (eliminaLiteralesPuros f) es el conjunto obtenido aplicando a -- f el proceso de eliminación de literales puros. Por ejemplo, -- eliminaLiteralesPuros [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == [] -- eliminaLiteralesPuros [[1,2],[3,-5],[-3,5]] == [[3,-5],[-3,5]] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaLiteralesPuros :: FNC -> FNC eliminaLiteralesPuros f | null lp = f | otherwise = eliminaLiteralesPuros (eliminaLiteralPuro (head lp) f) where lp = literalesPuros f -- --------------------------------------------------------------------- -- § Bifurcación -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- bifurcacion :: FNC -> Literal -> (FNC,FNC) -- tal que (bifurcacion f l) es la bifurcación de f según el literal -- l. Por ejemplo, -- λ> bifurcacion [[1,-2],[-1,2],[2,-3],[-2,-3]] 1 -- ([[-2],[2,-3],[-2,-3]],[[2],[2,-3],[-2,-3]]) -- --------------------------------------------------------------------- bifurcacion :: FNC -> Literal -> (FNC,FNC) bifurcacion f l = ([delete l c | c <- f, elem l c] ++ cláusulas_sin_l_ni_l', [delete l' c | c <- f, elem l' c] ++ cláusulas_sin_l_ni_l') where l' = complementario l cláusulas_sin_l_ni_l' = [c | c <- f, notElem l c, notElem l' c] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Algoritmo de Davis y Putnam (DP) -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- tieneClausulasUnitarias :: FNC -> Bool -- tal que (tieneClausulasUnitarias f) se verifica si f tiene cláusulas -- unitarias. Por ejemplo, -- tieneClausulasUnitarias [[1,2],[1],[-2]] == True -- tieneClausulasUnitarias [[1,2],[1,-2]] == False -- --------------------------------------------------------------------- tieneClausulasUnitarias :: FNC -> Bool tieneClausulasUnitarias f = clausulaUnitaria f /= Nothing -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- tieneLiteralesPuros :: FNC -> Bool -- tal que (tieneLiteralesPuros f) se verifica si f tiene literales -- puros. Por ejemplo, -- tieneLiteralesPuros [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == True -- tieneLiteralesPuros [[1,2],[-1,-2],[-3,2],[3,-2]] == False -- --------------------------------------------------------------------- tieneLiteralesPuros :: FNC -> Bool tieneLiteralesPuros f = not (null (literalesPuros f)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esInsatisfaciblePorDP :: FNC -> Bool -- tal que (esInsatisfaciblePorDP f) se verifica si f es insatisfacible -- mediante el algoritmo de Davis y Putnam. Por ejemplo, -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2],[1,2,-1]] == False -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2,-3],[1,-2],[-1],[3],[5]] == True -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2],[-2],[-1,2,-3]] == False -- esInsatisfaciblePorDP [[-1,2],[1],[3,5]] == False -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == False -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2],[3,-4],[-3,4]] == False -- --------------------------------------------------------------------- esInsatisfaciblePorDP :: FNC -> Bool esInsatisfaciblePorDP f = esInsatisfaciblePorDP' (eliminaTautologias f) esInsatisfaciblePorDP' :: FNC -> Bool esInsatisfaciblePorDP' f | null f = False | elem [] f = True | tieneClausulasUnitarias f = esInsatisfaciblePorDP' (eliminaClausulasUnitarias f) | tieneLiteralesPuros f = esInsatisfaciblePorDP' (eliminaLiteralesPuros f) | otherwise = (esInsatisfaciblePorDP' s1) && (esInsatisfaciblePorDP' s2) where l = head (head f) (s1,s2) = bifurcacion f l -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esSatisfaciblePorDP :: FNC -> Bool -- tal que (esSatisfaciblePorDP f) se verifica si f es satisfacible -- mediante el algoritmo de Davis y Putnam. Por ejemplo, -- esSatisfaciblePorDP [[1,2],[1,2,-1]] == True -- esSatisfaciblePorDP [[1,2,-3],[1,-2],[-1],[3],[5]] == False -- --------------------------------------------------------------------- esSatisfaciblePorDP :: FNC -> Bool esSatisfaciblePorDP = not . esInsatisfaciblePorDP -- --------------------------------------------------------------------- -- § Corrección del algoritmo de Davis y Putnam -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Comprobar con QuickCheck que el algoritmo De Davis y -- Putnam es correcto; es decir, para toda fórmula f, f es -- insatisfacible según el algoritmo de Davis y Putnam si,y solo si, f -- es insatisfacible. -- --------------------------------------------------------------------- prop_CorreccionDP :: FNC -> Bool prop_CorreccionDP f = esInsatisfaciblePorDP f == esInsatisfacible f -- La comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=10}) prop_CorreccionDP -- +++ OK, passed 100 tests. |