RA2019: El algoritmo de Davis-Putnam en Haskell
En la primera parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha estudiado una implementación del algoritmo de Davis-Putnam en Haskell y comprobado su corrección con QuickCheck.
En primer lugar se ha estudiado una implementación de la lógica clausal en Haskell en la que se han definido los átomos, literales, cláusulas, fórmulas en forma normal conjuntiva (FNC), interpretaciones, modelos y la clasificación de FNC en satisfacibles, insatisfacibles y válidas.
A continuación se ha estudiado una implementación del algoritmo de Davis-Putnam en Haskell.
Los códigos y las transparencias usados en la presentación son los siguientes:
Código de SAT en Haskell
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-- SAT.hs -- El problema SAT para fóemulas en FNC. -- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us,es> -- Sevilla, 4 de febrero de 2020 -- --------------------------------------------------------------------- module SAT where import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- § Átomos, literales, cláusulas y FNC -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Usareremos las siguientes representaciones: -- + Los átomos se representan por enteros positivos. Por ejemplo, 3 -- representa x(3). -- + Los literales se representa por enteros. Por ejemplo, 3 reprsenta -- el literal positivo x(3) y -5 el literal negativo -x(3). -- + Una cláusula es una lista de literales que representa su -- disyunción. Por ejemplo, [3,2,-4] representa a x(3) v x(2) v -x(4). -- + Una fórmula en forma normal conjuntiva (FNC) es una lista de -- cláusulas que representa su conjunción. Por ejemplo, [[3,2],[-1,2,5]] -- representa a (x(3) v x(2)) & (-x(1) v x(2) v x(5)). -- -- Definir los tipo de datos Atomo, Literal, Clausula y FNC. -- --------------------------------------------------------------------- type Atomo = Int type Literal = Int type Clausula = [Literal] type FNC = [Clausula] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- complementario :: Literal -> Literal -- tal que (complementario l) es el complementario de l. Por ejemplo, -- complementario 3 == -3 -- complementario (-3) == 3 -- --------------------------------------------------------------------- complementario :: Literal -> Literal complementario l = (-1) * l -- --------------------------------------------------------------------- -- § Átomos de cláusulas y de FNC -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- atomosClausula :: Clausula -> [Prop] -- tal que (atomosClausula c) es el conjunto de los átomos de c. Por -- ejemplo, -- atomosClausula [1,3,-1] == [1,3] -- --------------------------------------------------------------------- atomosClausula :: Clausula -> [Atomo] atomosClausula c = nub (map abs c) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] -- tal que (unionGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de -- conjuntos x. Por ejemplo, -- unionGeneral [] == [] -- unionGeneral [[1]] == [1] -- unionGeneral [[1],[1,2],[2,3]] == [1,2,3] -- --------------------------------------------------------------------- unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] unionGeneral [] = [] unionGeneral (x:xs) = x `union` unionGeneral xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- atomosFNC :: FNC -> [Prop] -- tal que (atomosFNC f) es el conjunto de los átomos de f. Por ejemplo, -- atomosFNC [[1,2],[4,-2]] == [1,2,4] -- --------------------------------------------------------------------- atomosFNC :: FNC -> [Atomo] atomosFNC f = unionGeneral [atomosClausula c | c <- f] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Interpretaciones -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Una interpretación I es un conjunto de átomos. Se supone -- que los átomos de I son verdaderos y los restantes son falsos. -- -- Definir el tipo de dato Interpretacion. -- --------------------------------------------------------------------- type Interpretacion = [Atomo] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- interpretacionesClausula :: Clausula -> [Interpretacion] -- tal que (interpretacionesClausula c) es el conjunto de -- interpretaciones de c. Por ejemplo, -- interpretacionesClausula [1,2,-1] == [[],[1],[2],[1,2]] -- interpretacionesClausula [] == [[]] -- --------------------------------------------------------------------- interpretacionesClausula :: Clausula -> [Interpretacion] interpretacionesClausula c = subsequences (atomosClausula c) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- interpretaciones :: FNC -> [Interpretacion] -- tal que (interpretaciones f) es el conjunto de interpretaciones de -- f. Por ejemplo, -- interpretaciones [[1,-2],[-1,2]] == [[],[1],[2],[1,2]] -- interpretaciones [] == [[]] -- --------------------------------------------------------------------- interpretaciones :: FNC -> [Interpretacion] interpretaciones f = subsequences (atomosFNC f) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Modelos de literales, cláusulas y FNC -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esModeloLiteral :: Interpretacion -> Literal -> Bool -- tal que (esModeloLiteral i l) se verifica si i es modelo de l. Por -- ejemplo, -- esModeloLiteral [3,5] 3 == True -- esModeloLiteral [3,5] 4 == False -- esModeloLiteral [3,5] (-3) == False -- esModeloLiteral [3,5] (-4) == True -- --------------------------------------------------------------------- esModeloLiteral :: Interpretacion -> Literal -> Bool esModeloLiteral i l | l > 0 = l `elem` i | otherwise = complementario l `notElem` i -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esModeloClausula :: Interpretacion -> Clausula -> Bool -- tal que (esModeloClausula i c) se verifica si i es modelo de c . Por -- ejemplo, -- esModeloClausula [3,5] [2,3,-5] == True -- esModeloClausula [3,5] [2,4,-1] == True -- esModeloClausula [3,5] [2,4,1] == False -- --------------------------------------------------------------------- esModeloClausula :: Interpretacion -> Clausula -> Bool esModeloClausula i c = or [esModeloLiteral i l | l <- c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- modelosClausula :: Clausula -> [Interpretacion] -- tal que (modelosClausula c) es la lista de los modelos de c. Por -- ejemplo, -- modelosClausula [-1,2] == [[],[2],[1,2]] -- modelosClausula [-1,1] == [[],[1]] -- modelosClausula [] == [] -- --------------------------------------------------------------------- modelosClausula :: Clausula -> [Interpretacion] modelosClausula c = [i | i <- interpretacionesClausula c, esModeloClausula i c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esModelo :: Interpretacion -> FNC -> Bool -- tal que (esModelo i f) se verifica si i es modelo de f. Por ejemplo, -- esModelo [1,3] [[1,-2],[3]] == True -- esModelo [1] [[1,-2],[3]] == False -- esModelo [1] [] == True -- --------------------------------------------------------------------- esModelo :: Interpretacion -> FNC -> Bool esModelo i s = and [esModeloClausula i c | c <- s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- modelos :: FNC -> [Interpretacion] -- tal que (modelos f) es la lista de los modelos de f. Por ejemplo, -- modelos [[-1,2],[-2,1]] == [[],[1,2]] -- modelos [[-1,2],[-2],[1]] == [] -- modelos [[1,-1,2]] == [[],[1],[2],[1,2]] -- --------------------------------------------------------------------- modelos :: FNC -> [Interpretacion] modelos s = [i | i <- interpretaciones s, esModelo i s] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Cláusulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esSatisfacibleClausula :: Clausula -> Bool -- tal que (esSatisfacibleClausula c) se verifica si la cláusula c es -- satisfacible. Por ejemplo, -- esSatisfacibleClausula [1,2,-1] == True -- esSatisfacibleClausula [1,2,-3] == True -- esSatisfacibleClausula [] == False -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esSatisfacibleClausula1 :: Clausula -> Bool esSatisfacibleClausula1 c = or [esModeloClausula i c | i <- interpretacionesClausula c] -- 2ª definición esSatisfacibleClausula :: Clausula -> Bool esSatisfacibleClausula = not . null -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esInsatisfacibleClausula :: Clausula -> Bool -- tal que (esInsatisfacibleClausula c) se verifica si la cláusula c es -- insatisfacible. Por ejemplo, -- esInsatisfacibleClausula [1,2,-1] == False -- esInsatisfacibleClausula [1,2,-3] == False -- esInsatisfacibleClausula [] == True -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esInsatisfacibleClausula1 :: Clausula -> Bool esInsatisfacibleClausula1 c = and [not (esModeloClausula i c) | i <- interpretacionesClausula c] -- 2ª definición esInsatisfacibleClausula :: Clausula -> Bool esInsatisfacibleClausula = null -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esValidaClausula :: Clausula -> Bool -- tal que (esValidaClausula c) se verifica si la cláusula c es -- válida. Por ejemplo, -- esValidaClausula [1,2,-1] == True -- esValidaClausula [1,2,-3] == False -- esValidaClausula [] == False -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esValidaClausula1 :: Clausula -> Bool esValidaClausula1 c = and [esModeloClausula i c | i <- interpretacionesClausula c] -- 2ª definición esValidaClausula :: Clausula -> Bool esValidaClausula c = not (null [l | l <- c, complementario l `elem` c]) -- --------------------------------------------------------------------- -- § FNC válidas, satisfacible e insatisfacibles -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esSatisfacible :: FNC -> Bool -- tal que (esSatisfacible f) se verifica si la FNC f es -- satistacible. Por ejemplo, -- esSatisfacible [[-1,2],[-2,1]] == True -- esSatisfacible [[-1,2],[-2,2]] == True -- esSatisfacible [[-1,1],[-2,2]] == True -- esSatisfacible [] == True -- --------------------------------------------------------------------- esSatisfacible :: FNC -> Bool esSatisfacible s = not (null (modelos s)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esInsatisfacible :: FNC -> Bool -- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si la FNC f es -- insatisfacible. Por ejemplo, -- esInsatisfacible [[-1,2],[-2,1]] == False -- esInsatisfacible [[-1],[1]] == True -- --------------------------------------------------------------------- esInsatisfacible :: FNC -> Bool esInsatisfacible f = null (modelos f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esValida :: FNC -> Bool -- tal que (esValida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo, -- esValida [[-1,2],[-2,1]] == False -- esValida [[-1,1],[-2,2]] == True -- esValida [] == True -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esValida1 :: FNC -> Bool esValida1 f = modelos f == interpretaciones f -- 2ª definición esValida :: FNC -> Bool esValida f = and [esValidaClausula c | c <- f] |
Presentación del algoritmo de Davis-Putnam
La presentación se ha basado en las 12 primeras páginas del siguiente tema
Código del algoritmo de Davis-Putnam en Haskell
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-- DavisPutnam.hs -- El procedimiento de Davis y Putnam para SAT -- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us,es> -- Sevilla, 4 de febrero de 2020 -- --------------------------------------------------------------------- module SAT_DavisPutnam where import SAT import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- § Eliminación de tautologías -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esTautologia :: Clausula -> Bool -- tal que (esTautologia c) se verifica si c es una tautología. Por -- ejemplo, -- esTautologia [1,2,-1] == True -- esTautologia [1,2,-3] == False -- esTautologia [] == False -- --------------------------------------------------------------------- esTautologia :: Clausula -> Bool esTautologia = esValidaClausula -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaTautologias :: FNC -> FNC -- tal que (eliminaTautologias s) es el conjunto obtenido eliminando las -- tautologías de s. Por ejemplo, -- eliminaTautologias [[1,2],[1,3,-1]] == [[1,2]] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaTautologias :: FNC -> FNC eliminaTautologias s = [c | c <- s, not (esTautologia c)] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Eliminación de cláusulas unitarias -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esUnitaria :: Clausula -> Bool -- tal que (esUnitaria c) se verifica si la cláusula c es unitaria . Por -- ejemplo, -- esUnitaria [3] == True -- esUnitaria [-3] == True -- esUnitaria [3,2] == False -- esUnitaria [] == False -- --------------------------------------------------------------------- esUnitaria :: Clausula -> Bool esUnitaria [_] = True esUnitaria _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaClausulaUnitaria :: Literal -> FNC -> FNC -- tal que (eliminaClausulaUnitaria l s) es el conjunto obtenido al -- reducir s por la eliminación de la cláusula unitaria formada por el -- literal l. Por ejemplo, -- λ> eliminaClausulaUnitaria (-1) [[1,2,-3],[1,-2],[-1],[3]] -- [[2,-3],[-2],[3]] -- λ> eliminaClausulaUnitaria (-2) [[2,-3],[-2],[3]] -- [[-3],[3]] -- λ> eliminaClausulaUnitaria (-3) [[-3],[3],[1]] -- [[],[1]] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaClausulaUnitaria :: Literal -> FNC -> FNC eliminaClausulaUnitaria l s = [delete (complementario l) c | c <- s, notElem l c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- clausulaUnitaria :: FNC -> Maybe Literal -- tal que (clausulaUnitaria s) es la primera cláusula unitaria de s, si -- s tiene cláusulas unitarias y nada en caso contrario. Por ejemplo, -- clausulaUnitaria [[1,2],[1],[-2]] == Just 1 -- clausulaUnitaria [[1,2],[1,-2]] == Nothing -- --------------------------------------------------------------------- clausulaUnitaria :: FNC -> Maybe Literal clausulaUnitaria [] = Nothing clausulaUnitaria (c:cs) | esUnitaria c = Just (head c) | otherwise = clausulaUnitaria cs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaClausulasUnitarias :: FNC -> FNC -- tal que (eliminaClausulasUnitarias s) es el conjunto obtenido -- aplicando el proceso de eliminación de cláusulas unitarias a s. Por -- ejemplo, -- λ> eliminaClausulasUnitarias [[1,2,-3],[1,-2],[-1],[3],[5]] -- [[],[5]] -- λ> eliminaClausulasUnitarias [[1,2],[-2],[-1,2,-3]] -- [] -- λ> eliminaClausulasUnitarias [[-1,2],[1],[3,5]] -- [[3,5]] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaClausulasUnitarias :: FNC -> FNC eliminaClausulasUnitarias s | elem [] s = s | clausulaUnitaria s == Nothing = s | otherwise = eliminaClausulasUnitarias (eliminaClausulaUnitaria c s) where Just c = clausulaUnitaria s -- --------------------------------------------------------------------- -- Eliminación de literales puros -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- literales :: FNC -> [Literal] -- tal que (literales f) es el conjunto de literales de f. Por ejemplo, -- literales [[1,2,-3],[1,2,-1]] == [1,2,-3,-1] -- --------------------------------------------------------------------- literales :: FNC -> [Literal] literales = unionGeneral -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esLiteralPuro :: Literal -> FNC -> Bool -- tal que (esLiteralPuro l f) se verifica si l es puro en f. Por -- ejemplo, -- esLiteralPuro 1 [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == True -- esLiteralPuro 2 [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == False -- --------------------------------------------------------------------- esLiteralPuro :: Literal -> FNC -> Bool esLiteralPuro l f = and [notElem l' c | c <- f] where l' = complementario l -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaLiteralPuro :: Literal -> FNC -> FNC -- tal que (eliminaLiteralPuro l f) es el conjunto obtenido eliminando -- el literal puro l de f. Por ejemplo, -- eliminaLiteralPuro 1 [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == [[3,2],[3,-2]] -- eliminaLiteralPuro 3 [[3,2],[3,-2]] == [] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaLiteralPuro :: Literal -> FNC -> FNC eliminaLiteralPuro l f = [c | c <- f, l `notElem` c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- literalesPuros :: FNC -> [Literal] -- tal que (literalesPuros f) es el conjunto de los literales puros de -- f. Por ejemplo, -- literalesPuros [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == [1,3] -- --------------------------------------------------------------------- literalesPuros :: FNC -> [Literal] literalesPuros f = [l | l <- literales f, esLiteralPuro l f] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaLiteralesPuros :: FNC -> FNC -- tal que (eliminaLiteralesPuros f) es el conjunto obtenido aplicando a -- f el proceso de eliminación de literales puros. Por ejemplo, -- eliminaLiteralesPuros [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == [] -- eliminaLiteralesPuros [[1,2],[3,-5],[-3,5]] == [[3,-5],[-3,5]] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaLiteralesPuros :: FNC -> FNC eliminaLiteralesPuros f | null lp = f | otherwise = eliminaLiteralesPuros (eliminaLiteralPuro (head lp) f) where lp = literalesPuros f -- --------------------------------------------------------------------- -- § Bifurcación -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- bifurcacion :: FNC -> Literal -> (FNC,FNC) -- tal que (bifurcacion f l) es la bifurcación de f según el literal -- l. Por ejemplo, -- λ> bifurcacion [[1,-2],[-1,2],[2,-3],[-2,-3]] 1 -- ([[-2],[2,-3],[-2,-3]],[[2],[2,-3],[-2,-3]]) -- --------------------------------------------------------------------- bifurcacion :: FNC -> Literal -> (FNC,FNC) bifurcacion f l = ([delete l c | c <- f, elem l c] ++ cláusulas_sin_l_ni_l', [delete l' c | c <- f, elem l' c] ++ cláusulas_sin_l_ni_l') where l' = complementario l cláusulas_sin_l_ni_l' = [c | c <- f, notElem l c, notElem l' c] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Algoritmo de Davis y Putnam (DP) -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- tieneClausulasUnitarias :: FNC -> Bool -- tal que (tieneClausulasUnitarias f) se verifica si f tiene cláusulas -- unitarias. Por ejemplo, -- tieneClausulasUnitarias [[1,2],[1],[-2]] == True -- tieneClausulasUnitarias [[1,2],[1,-2]] == False -- --------------------------------------------------------------------- tieneClausulasUnitarias :: FNC -> Bool tieneClausulasUnitarias f = clausulaUnitaria f /= Nothing -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- tieneLiteralesPuros :: FNC -> Bool -- tal que (tieneLiteralesPuros f) se verifica si f tiene literales -- puros. Por ejemplo, -- tieneLiteralesPuros [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == True -- tieneLiteralesPuros [[1,2],[-1,-2],[-3,2],[3,-2]] == False -- --------------------------------------------------------------------- tieneLiteralesPuros :: FNC -> Bool tieneLiteralesPuros f = not (null (literalesPuros f)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esInsatisfaciblePorDP :: FNC -> Bool -- tal que (esInsatisfaciblePorDP f) se verifica si f es insatisfacible -- mediante el algoritmo de Davis y Putnam. Por ejemplo, -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2],[1,2,-1]] == False -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2,-3],[1,-2],[-1],[3],[5]] == True -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2],[-2],[-1,2,-3]] == False -- esInsatisfaciblePorDP [[-1,2],[1],[3,5]] == False -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == False -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2],[3,-4],[-3,4]] == False -- --------------------------------------------------------------------- esInsatisfaciblePorDP :: FNC -> Bool esInsatisfaciblePorDP f = esInsatisfaciblePorDP' (eliminaTautologias f) esInsatisfaciblePorDP' :: FNC -> Bool esInsatisfaciblePorDP' f | null f = False | elem [] f = True | tieneClausulasUnitarias f = esInsatisfaciblePorDP' (eliminaClausulasUnitarias f) | tieneLiteralesPuros f = esInsatisfaciblePorDP' (eliminaLiteralesPuros f) | otherwise = (esInsatisfaciblePorDP' s1) && (esInsatisfaciblePorDP' s2) where l = head (head f) (s1,s2) = bifurcacion f l -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esSatisfaciblePorDP :: FNC -> Bool -- tal que (esSatisfaciblePorDP f) se verifica si f es satisfacible -- mediante el algoritmo de Davis y Putnam. Por ejemplo, -- esSatisfaciblePorDP [[1,2],[1,2,-1]] == True -- esSatisfaciblePorDP [[1,2,-3],[1,-2],[-1],[3],[5]] == False -- --------------------------------------------------------------------- esSatisfaciblePorDP :: FNC -> Bool esSatisfaciblePorDP = not . esInsatisfaciblePorDP -- --------------------------------------------------------------------- -- § Corrección del algoritmo de Davis y Putnam -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Comprobar con QuickCheck que el algoritmo De Davis y -- Putnam es correcto; es decir, para toda fórmula f, f es -- insatisfacible según el algoritmo de Davis y Putnam si,y solo si, f -- es insatisfacible. -- --------------------------------------------------------------------- prop_CorreccionDP :: FNC -> Bool prop_CorreccionDP f = esInsatisfaciblePorDP f == esInsatisfacible f -- La comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=10}) prop_CorreccionDP -- +++ OK, passed 100 tests. |