LMF2018: Ejercicios de deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL
En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se ha explicado demostraciones en Isabelle/HOL de los ejercicios 10, 13, 20 y 27 de la relación 6.
LMF2018: Deducción natural en lógica de primer orden
En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se presentado la ampliación del cálculo de deducción natural proposional para tratar los cuantificadores y la igualdad. Se han comentado distintas equivalencias lógicas y se han demostrado por deducción natural las principales equivalencias.
Las transparencias de esta clase son las del tema 4.
A la vez que se han ido haciendo las demostraciones se ha explicado cómo hacerlas en Isabelle/HOL.
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
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I1M2018: El tipo abstracto de datos de las pilas en Haskell
En la primera parte de la clase de hoy del curso de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos empezado el estudio de los tipos abstractos (TAD) de datos en Haskell.
Después de tratar de la abstracción, los TAD en general y su analogía con las estructuras algebraicas, se ha estudiado el primero de los TAD: las pilas.
Se ha comenzado la modelización de las pilas observando la forma de introducir o extraer sus elementos. El resultado de la modelización es la especificación del TAD: su signatura y propiedades características.
A continuación se han estudiados dos implementaciones (una basada en tipos de datos algebraicos y otra en listas) y las complejidades de las operaciones.
Un punto importante es la forma de conseguir la abstracción de tipos en Haskell mediante módulos y exportación sólo de la signatura.
Finalmente, usando QuickCheck se comprueban las propiedades características del TAD de las pilas.
Los apuntes correspondientes a la clase son los del tema 14
I1M2018: De la matemática a la máquina
En la segunda parte de la clase de hoy del curso de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se ha comentado cómo los se pueden representar los conceptos matemáticos en los ordenadores.
Para ello se ha visto cómo la definición de factorial se puede definir en distintos paradigmas desde la matemática al código máquina. Las definiciones consideradas han sido
- En matemáticas
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1 2 3 |
n n! = ∏ k k=1 |
- En programación funcional (Haskell).
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1 2 |
factorial :: Int -> Int factorial n = product [1..n] |
- En programación imperativa (C).
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
int factorial(int n) { int ret = 1; while (n > 1) { ret *= n; n--; } return ret; } |
- En ensamblador.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
factorial: mov rdi, 1 .loop: cmp rax, 1 jle .done imul rdi, rax dec rax jmp .loop .done: ret |
- En código máquina.
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1 2 |
48 bf 01 00 00 00 00 00 00 00 48 3d 01 00 00 00 7e 0c 48 0f af f8 48 ff c8 e9 ec ff ff ff c3 |
La exposición se ha basado en el artículo From math to machine: translating a function to machine code de Brian Steffens.
I1M2018: Análisis de la complejidad de los algoritmos
En la primera parte de la clase hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se ha explicado el tema de análisis de la complejidad de los algoritmos.
Se empezó explicando la notación de Landau y los órdenes de complejidad. A continuación se presentaron varios ejemplos de definiciones de distintos órdenes. En cada ejemplo, se especificó el problema, se definió la función, se hizo una tabla sobre la variación de los tiempos y su correspondiente gráfica, se extrajeron las ecuaciones en recurrencia, se resolvieron con Wolfram Alpha y se demostró por inducción el orden de la definición.
Como resumen, en la siguiente tabla se muestra los ejemplos presentados
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
| Ejemplo | Ecuaciones | Orden | |-------------|--------------------|------------| | suma | T(1) = k | O(n) | | | T(n+1) = T(n)+k' | | |-------------|--------------------|------------| | suma2 | T(1) = k | O(1) | |-------------|--------------------|------------| | sumaDeSumas | T(1) = k | O(n²) | | | T(n+1) = T(n)+n | | |-------------|--------------------|------------| | potencia | T(1) = k | O(log(n)) | | | T(n) = T(n/2)+k' | | |-------------|--------------------|------------| | raiz | T(0) = k | O(2ⁿ) | | | T(n+1) = 2T(n)+k' | | |-------------|--------------------|------------| | ordenación | T(1) = k | O(nlog(n)) | | por mezcla | T(n) = 2T(n/2)+n | | |
Los apuntes correspondientes a la clase son