LMF2018: Deducción natural en lógica de primer orden
En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se presentado la ampliación del cálculo de deducción natural proposional para tratar los cuantificadores y la igualdad. Se han comentado distintas equivalencias lógicas y se han demostrado por deducción natural las principales equivalencias.
Las transparencias de esta clase son las del tema 4.
A la vez que se han ido haciendo las demostraciones se ha explicado cómo hacerlas en Isabelle/HOL.
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
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chapter {* Tema 4: Deducción natural en lógica de primer orden *} theory T4b_Deduccion_natural_en_logica_de_primer_orden imports Main begin text {* El objetivo de este tema es presentar la deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL. La presentación se basa en los ejemplos de tema 4 del curso LMF que se encuentra en http://goo.gl/uJj8d (que a su vez se basa en el libro de Huth y Ryan "Logic in Computer Science" http://goo.gl/qsVpY ). La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias de LMF donde se encuentra la demostración. *} section {* Reglas del cuantificador universal *} text {* Las reglas del cuantificador universal son · allE: ⟦∀x. P x; P a ⟹ R⟧ ⟹ R · allI: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x *} text {* Ejemplo 1 (p. 10). Demostrar que P(c), ∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x)) ⊢ ¬Q(c) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_1a: assumes 1: "P(c)" and 2: "∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x))" shows "¬Q(c)" proof - have 3: "P(c) ⟶ ¬Q(c)" using 2 by (rule allE) show 4: "¬Q(c)" using 3 1 by (rule mp) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_1b: assumes "P(c)" "∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x))" shows "¬Q(c)" proof - have "P(c) ⟶ ¬Q(c)" using assms(2) .. thus "¬Q(c)" using assms(1) .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_1c: assumes "P(c)" "∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x))" shows "¬Q(c)" using assms by auto text {* Ejemplo 2 (p. 11). Demostrar que ∀x. (P x ⟶ ¬(Q x)), ∀x. P x ⊢ ∀x. ¬(Q x) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_2a: assumes 1: "∀x. (P x ⟶ ¬(Q x))" and 2: "∀x. P x" shows "∀x. ¬(Q x)" proof - { fix a have 3: "P a ⟶ ¬(Q a)" using 1 by (rule allE) have 4: "P a" using 2 by (rule allE) have 5: "¬(Q a)" using 3 4 by (rule mp) } thus "∀x. ¬(Q x)" by (rule allI) qed -- "La demostración detallada hacia atrás es" lemma ejemplo_2b: assumes 1: "∀x. (P x ⟶ ¬(Q x))" and 2: "∀x. P x" shows "∀x. ¬(Q x)" proof (rule allI) fix a have 3: "P a ⟶ ¬(Q a)" using 1 by (rule allE) have 4: "P a" using 2 by (rule allE) show 5: "¬(Q a)" using 3 4 by (rule mp) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_2c: assumes "∀x. (P x ⟶ ¬(Q x))" "∀x. P x" shows "∀x. ¬(Q x)" proof fix a have "P a" using assms(2) .. have "P a ⟶ ¬(Q a)" using assms(1) .. thus "¬(Q a)" using `P a` .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_2d: assumes "∀x. (P x ⟶ ¬(Q x))" "∀x. P x" shows "∀x. ¬(Q x)" using assms by auto section {* Reglas del cuantificador existencial *} text {* Las reglas del cuantificador existencial son · exI: P a ⟹ ∃x. P x · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q En la regla exE la nueva variable se introduce mediante la declaración "obtain ... where ... by (rule exE)" *} text {* Ejemplo (p. 12). Demostrar que ∀x. P x ⊢ ∃x. P x *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_3a: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" proof - fix a have "P a" using assms by (rule allE) thus "∃x. P x" by (rule exI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_3b: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" proof - fix a have "P a" using assms .. thus "∃x. P x" .. qed -- "La demostración estructurada se puede simplificar" lemma ejemplo_3c: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" proof (rule exI) fix a show "P a" using assms .. qed -- "La demostración estructurada se puede simplificar aún más" lemma ejemplo_3d: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" proof fix a show "P a" using assms .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_3e: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" using assms by auto text {* Ejemplo 4 (p. 13). Demostrar ∀x. (P x ⟶ Q x), ∃x. P x ⊢ ∃x. Q x *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_4a: assumes 1: "∀x. (P x ⟶ Q x)" and 2: "∃x. P x" shows "∃x. Q x" proof - obtain a where 3: "P a" using 2 by (rule exE) have 4: "P a ⟶ Q a" using 1 by (rule allE) have 5: "Q a" using 4 3 by (rule mp) thus 6: "∃x. Q x" by (rule exI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_4b: assumes "∀x. (P x ⟶ Q x)" "∃x. P x" shows "∃x. Q x" proof - obtain a where "P a" using assms(2) .. have "P a ⟶ Q a" using assms(1) .. hence "Q a" using `P a` .. thus "∃x. Q x" .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_4c: assumes "∀x. (P x ⟶ Q x)" "∃x. P x" shows "∃x. Q x" using assms by auto section {* Demostración de equivalencias *} text {* Ejemplo 5.1 (p. 15). Demostrar ¬∀x. P x ⊢ ∃x. ¬(P x) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_5_1a: assumes "¬(∀x. P(x))" shows "∃x. ¬P(x)" proof (rule ccontr) assume "¬(∃x. ¬P(x))" have "∀x. P(x)" proof (rule allI) fix a show "P(a)" proof (rule ccontr) assume "¬P(a)" hence "∃x. ¬P(x)" by (rule exI) with `¬(∃x. ¬P(x))` show False by (rule notE) qed qed with assms show False by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_5_1b: assumes "¬(∀x. P(x))" shows "∃x. ¬P(x)" proof (rule ccontr) assume "¬(∃x. ¬P(x))" have "∀x. P(x)" proof fix a show "P(a)" proof (rule ccontr) assume "¬P(a)" hence "∃x. ¬P(x)" .. with `¬(∃x. ¬P(x))` show False .. qed qed with assms show False .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_5_1c: assumes "¬(∀x. P(x))" shows "∃x. ¬P(x)" using assms by auto text {* Ejemplo 5.2 (p. 16). Demostrar ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬∀x. P x *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_5_2a: assumes "∃x. ¬P(x)" shows "¬(∀x. P(x))" proof (rule notI) assume "∀x. P(x)" obtain a where "¬P(a)" using assms by (rule exE) have "P(a)" using `∀x. P(x)` by (rule allE) with `¬P(a)` show False by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_5_2b: assumes "∃x. ¬P(x)" shows "¬(∀x. P(x))" proof assume "∀x. P(x)" obtain a where "¬P(a)" using assms .. have "P(a)" using `∀x. P(x)` .. with `¬P(a)` show False .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_5_2c: assumes "∃x. ¬P(x)" shows "¬(∀x. P(x))" using assms by auto text {* Ejemplo 5.3 (p. 17). Demostrar ⊢ ¬∀x. P x ⟷ ∃x. ¬(P x) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_5_3a: "(¬(∀x. P(x))) ⟷ (∃x. ¬P(x))" proof (rule iffI) assume "¬(∀x. P(x))" thus "∃x. ¬P(x)" by (rule ejemplo_5_1a) next assume "∃x. ¬P(x)" thus "¬(∀x. P(x))" by (rule ejemplo_5_2a) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_5_3b: "(¬(∀x. P(x))) ⟷ (∃x. ¬P(x))" by auto text {* Ejemplo 6.1 (p. 18). Demostrar ∀x. P(x) ∧ Q(x) ⊢ (∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_6_1a: assumes "∀x. P(x) ∧ Q(x)" shows "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" proof (rule conjI) show "∀x. P(x)" proof (rule allI) fix a have "P(a) ∧ Q(a)" using assms by (rule allE) thus "P(a)" by (rule conjunct1) qed next show "∀x. Q(x)" proof (rule allI) fix a have "P(a) ∧ Q(a)" using assms by (rule allE) thus "Q(a)" by (rule conjunct2) qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_6_1b: assumes "∀x. P(x) ∧ Q(x)" shows "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" proof show "∀x. P(x)" proof fix a have "P(a) ∧ Q(a)" using assms .. thus "P(a)" .. qed next show "∀x. Q(x)" proof fix a have "P(a) ∧ Q(a)" using assms .. thus "Q(a)" .. qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_6_1c: assumes "∀x. P(x) ∧ Q(x)" shows "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" using assms by auto text {* Ejemplo 6.2 (p. 19). Demostrar (∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x)) ⊢ ∀x. P(x) ∧ Q(x) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_6_2a: assumes "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" shows "∀x. P(x) ∧ Q(x)" proof (rule allI) fix a have "∀x. P(x)" using assms by (rule conjunct1) hence "P(a)" by (rule allE) have "∀x. Q(x)" using assms by (rule conjunct2) hence "Q(a)" by (rule allE) with `P(a)` show "P(a) ∧ Q(a)" by (rule conjI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_6_2b: assumes "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" shows "∀x. P(x) ∧ Q(x)" proof fix a have "∀x. P(x)" using assms .. hence "P(a)" by (rule allE) have "∀x. Q(x)" using assms .. hence "Q(a)" .. with `P(a)` show "P(a) ∧ Q(a)" .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_6_2c: assumes "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" shows "∀x. P(x) ∧ Q(x)" using assms by auto text {* Ejemplo 6.3 (p. 20). Demostrar ⊢ ∀x. P(x) ∧ Q(x) ⟷ (∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_6_3a: "(∀x. P(x) ∧ Q(x)) ⟷ ((∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x)))" proof (rule iffI) assume "∀x. P(x) ∧ Q(x)" thus "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" by (rule ejemplo_6_1a) next assume "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" thus "∀x. P(x) ∧ Q(x)" by (rule ejemplo_6_2a) qed text {* Ejemplo 7.1 (p. 21). Demostrar (∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x)) ⊢ ∃x. P(x) ∨ Q(x) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_7_1a: assumes "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" shows "∃x. P(x) ∨ Q(x)" using assms proof (rule disjE) assume "∃x. P(x)" then obtain a where "P(a)" by (rule exE) hence "P(a) ∨ Q(a)" by (rule disjI1) thus "∃x. P(x) ∨ Q(x)" by (rule exI) next assume "∃x. Q(x)" then obtain a where "Q(a)" by (rule exE) hence "P(a) ∨ Q(a)" by (rule disjI2) thus "∃x. P(x) ∨ Q(x)" by (rule exI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_7_1b: assumes "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" shows "∃x. P(x) ∨ Q(x)" using assms proof assume "∃x. P(x)" then obtain a where "P(a)" .. hence "P(a) ∨ Q(a)" .. thus "∃x. P(x) ∨ Q(x)" .. next assume "∃x. Q(x)" then obtain a where "Q(a)" .. hence "P(a) ∨ Q(a)" .. thus "∃x. P(x) ∨ Q(x)" .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_7_1c: assumes "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" shows "∃x. P(x) ∨ Q(x)" using assms by auto text {* Ejemplo 7.2 (p. 22). Demostrar ∃x. P(x) ∨ Q(x) ⊢ (∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_7_2a: assumes "∃x. P(x) ∨ Q(x)" shows "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" proof - obtain a where "P(a) ∨ Q(a)" using assms by (rule exE) thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" proof (rule disjE) assume "P(a)" hence "∃x. P(x)" by (rule exI) thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" by (rule disjI1) next assume "Q(a)" hence "∃x. Q(x)" by (rule exI) thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" by (rule disjI2) qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejercicio_7_2b: assumes "∃x. P(x) ∨ Q(x)" shows "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" proof - obtain a where "P(a) ∨ Q(a)" using assms .. thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" proof assume "P(a)" hence "∃x. P(x)" .. thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" .. next assume "Q(a)" hence "∃x. Q(x)" .. thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" .. qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejercicio_7_2c: assumes "∃x. P(x) ∨ Q(x)" shows "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" using assms by auto text {* Ejemplo 7.3 (p. 23). Demostrar ⊢ ((∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))) ⟷ (∃x. P(x) ∨ Q(x)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_7_3a: "((∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))) ⟷ (∃x. P(x) ∨ Q(x))" proof (rule iffI) assume "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" thus "∃x. P(x) ∨ Q(x)" by (rule ejemplo_7_1a) next assume "∃x. P(x) ∨ Q(x)" thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" by (rule ejemplo_7_2a) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_7_3b: "((∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))) ⟷ (∃x. P(x) ∨ Q(x))" using assms by auto text {* Ejemplo 8.1 (p. 24). Demostrar ∃x y. P(x,y) ⊢ ∃y x. P(x,y) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_8_1a: assumes "∃x y. P(x,y)" shows "∃y x. P(x,y)" proof - obtain a where "∃y. P(a,y)" using assms by (rule exE) then obtain b where "P(a,b)" by (rule exE) hence "∃x. P(x,b)" by (rule exI) thus "∃y x. P(x,y)" by (rule exI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_8_1b: assumes "∃x y. P(x,y)" shows "∃y x. P(x,y)" proof - obtain a where "∃y. P(a,y)" using assms .. then obtain b where "P(a,b)" .. hence "∃x. P(x,b)" .. thus "∃y x. P(x,y)" .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_8_1c: assumes "∃x y. P(x,y)" shows "∃y x. P(x,y)" using assms by auto text {* Ejemplo 8.2. Demostrar ∃y x. P(x,y) ⊢ ∃x y. P(x,y) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_8_2a: assumes "∃y x. P(x,y)" shows "∃x y. P(x,y)" proof - obtain b where "∃x. P(x,b)" using assms by (rule exE) then obtain a where "P(a,b)" by (rule exE) hence "∃y. P(a,y)" by (rule exI) thus "∃x y. P(x,y)" by (rule exI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_8_2b: assumes "∃y x. P(x,y)" shows "∃x y. P(x,y)" proof - obtain b where "∃x. P(x,b)" using assms .. then obtain a where "P(a,b)" .. hence "∃y. P(a,y)" .. thus "∃x y. P(x,y)" .. qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_8_2c: assumes "∃y x. P(x,y)" shows "∃x y. P(x,y)" using assms by auto text {* Ejemplo 8.3 (p. 25). Demostrar ⊢ (∃x y. P(x,y)) ⟷ (∃y x. P(x,y)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_8_3a: "(∃x y. P(x,y)) ⟷ (∃y x. P(x,y))" proof (rule iffI) assume "∃x y. P(x,y)" thus "∃y x. P(x,y)" by (rule ejemplo_8_1a) next assume "∃y x. P(x,y)" thus "∃x y. P(x,y)" by (rule ejemplo_8_2a) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_8_3b: "(∃x y. P(x,y)) ⟷ (∃y x. P(x,y))" by auto section {* Reglas de la igualdad *} text {* Las reglas básicas de la igualdad son: · refl: t = t · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t *} text {* Ejemplo 9 (p. 27). Demostrar x+1 = 1+x, x+1 > 1 ⟶ x+1 > 0 ⊢ 1+x > 1 ⟶ 1+x > 0 *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_9a: assumes "x+1 = 1+x" "x+1 > 1 ⟶ x+1 > 0" shows "1+x > 1 ⟶ 1+x > 0" proof - show "1+x > 1 ⟶ 1+x > 0" using assms by (rule subst) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_9b: assumes "x+1 = 1+x" "x+1 > 1 ⟶ x+1 > 0" shows "1+x > 1 ⟶ 1+x > 0" using assms by (rule subst) -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_9c: assumes "x+1 = 1+x" "x+1 > 1 ⟶ x+1 > 0" shows "1+x > 1 ⟶ 1+x > 0" using assms by auto text {* Ejemplo 10 (p. 27). Demostrar x = y, y = z ⊢ x = z *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_10a: assumes "x = y" "y = z" shows "x = z" proof - show "x = z" using assms(2,1) by (rule subst) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_10b: assumes "x = y" "y = z" shows "x = z" using assms(2,1) by (rule subst) -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_10c: assumes "x = y" "y = z" shows "x = z" using assms by auto text {* Ejemplo 11 (p. 28). Demostrar s = t ⊢ t = s *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_11a: assumes "s = t" shows "t = s" proof - have "s = s" by (rule refl) with assms show "t = s" by (rule subst) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_11b: assumes "s = t" shows "t = s" using assms by auto end |