Todos los abundantes hasta n son pares
Definir la función
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1 |
todosPares :: Integer -> Bool |
tal que todosPares n se verifica si todos los números abundantes menores o iguales que n son pares. Por ejemplo,
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1 2 3 |
todosPares 10 == True todosPares 100 == True todosPares 1000 == False |
Soluciones en Haskell
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module Todos_los_abundantes_hasta_n_son_pares where import Math.NumberTheory.ArithmeticFunctions (sigma) import Test.QuickCheck -- 1ª solución -- =========== todosPares1 :: Integer -> Bool todosPares1 n = and [even x | x <- numerosAbundantesMenores1 n] -- (numerosAbundantesMenores n) es la lista de números abundantes -- menores o iguales que n. Por ejemplo, -- numerosAbundantesMenores 50 == [12,18,20,24,30,36,40,42,48] -- numerosAbundantesMenores 48 == [12,18,20,24,30,36,40,42,48] numerosAbundantesMenores1 :: Integer -> [Integer] numerosAbundantesMenores1 n = [x | x <- [1..n], numeroAbundante1 x] -- (numeroAbundante n) se verifica si n es un número abundante. Por -- ejemplo, -- numeroAbundante 5 == False -- numeroAbundante 12 == True -- numeroAbundante 28 == False -- numeroAbundante 30 == True numeroAbundante1 :: Integer -> Bool numeroAbundante1 x = x < sumaDivisores1 x - x -- (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo, -- sumaDivisores 12 == 28 -- sumaDivisores 25 == 31 sumaDivisores1 :: Integer -> Integer sumaDivisores1 n = sum (divisores1 n) -- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo, -- divisores 60 == [1,5,3,15,2,10,6,30,4,20,12,60] divisores1 :: Integer -> [Integer] divisores1 n = [x | x <- [1..n], n `rem` x == 0] -- 2ª solución -- =========== -- Sustituyendo la definición de numerosAbundantesMenores de la solución -- anterior por cada una de las del ejercicio anterior se obtiene una -- nueva definición de todosPares. La usada en la definición anterior es -- la menos eficiente y la que se usa en la siguiente definición es la -- más eficiente. todosPares2 :: Integer -> Bool todosPares2 n = and [even x | x <- numerosAbundantesMenores2 n] numerosAbundantesMenores2 :: Integer -> [Integer] numerosAbundantesMenores2 n = [x | x <- [1..n], numeroAbundante2 x] numeroAbundante2 :: Integer -> Bool numeroAbundante2 x = x < sumaDivisores2 x - x sumaDivisores2 :: Integer -> Integer sumaDivisores2 = sigma 1 -- 3ª solución -- =========== todosPares3 :: Integer -> Bool todosPares3 1 = True todosPares3 n | numeroAbundante1 n = even n && todosPares3 (n-1) | otherwise = todosPares3 (n-1) -- 4ª solución -- =========== todosPares4 :: Integer -> Bool todosPares4 n = all even (numerosAbundantesMenores1 n) -- 5ª solución -- =========== todosPares5 :: Integer -> Bool todosPares5 = all even . numerosAbundantesMenores1 -- Comprobación de equivalencia -- ============================ -- La propiedad es prop_todosPares :: Positive Integer -> Bool prop_todosPares (Positive n) = all (== todosPares1 n) [todosPares2 n, todosPares3 n, todosPares4 n, todosPares5 n] -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_todosPares -- +++ OK, passed 100 tests. -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> todosPares1 (10^3) -- False -- (0.22 secs, 91,257,744 bytes) -- λ> todosPares2 (10^3) -- False -- (0.01 secs, 2,535,656 bytes) -- λ> todosPares3 (10^3) -- False -- (0.03 secs, 11,530,528 bytes) -- λ> todosPares4 (10^3) -- False -- (0.24 secs, 91,231,144 bytes) -- λ> todosPares5 (10^3) -- False -- (0.22 secs, 91,231,208 bytes) |
El código se encuentra en GitHub.
Soluciones en Python
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from timeit import Timer, default_timer from hypothesis import given from hypothesis import strategies as st from sympy import divisor_sigma # 1ª solución # =========== # divisores(n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo, # divisores(30) == [1,2,3,5,6,10,15,30] def divisores1(n: int) -> list[int]: return [x for x in range(1, n + 1) if n % x == 0] # sumaDivisores(x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo, # sumaDivisores(12) == 28 # sumaDivisores(25) == 31 def sumaDivisores1(n: int) -> int: return sum(divisores1(n)) # numeroAbundante(n) se verifica si n es un número abundante. Por # ejemplo, # numeroAbundante(5) == False # numeroAbundante(12) == True # numeroAbundante(28) == False # numeroAbundante(30) == True def numeroAbundante1(x: int) -> bool: return x < sumaDivisores1(x) - x # numerosAbundantesMenores(n) es la lista de números abundantes menores # o iguales que n. Por ejemplo, # numerosAbundantesMenores(50) == [12,18,20,24,30,36,40,42,48] # numerosAbundantesMenores(48) == [12,18,20,24,30,36,40,42,48] def numerosAbundantesMenores1(n: int) -> list[int]: return [x for x in range(1, n + 1) if numeroAbundante1(x)] def todosPares1(n: int) -> bool: return False not in [x % 2 == 0 for x in numerosAbundantesMenores1(n)] # 2ª solución # =========== # Sustituyendo la definición de numerosAbundantesMenores de la solución # anterior por cada una de las del ejercicio anterior se obtiene una # nueva definición de todosPares. La usada en la definición anterior es # la menos eficiente y la que se usa en la siguiente definición es la # más eficiente. def sumaDivisores2(n: int) -> int: return divisor_sigma(n, 1) def numeroAbundante2(x: int) -> bool: return x < sumaDivisores2(x) - x def numerosAbundantesMenores2(n: int) -> list[int]: return [x for x in range(1, n + 1) if numeroAbundante2(x)] def todosPares2(n: int) -> bool: return False not in [x % 2 == 0 for x in numerosAbundantesMenores2(n)] # 3ª solución # =========== def todosPares3(n: int) -> bool: return all(x % 2 == 0 for x in numerosAbundantesMenores1(n)) # Comprobación de equivalencia # ============================ # La propiedad es @given(st.integers(min_value=2, max_value=1000)) def test_todosPares(n: int) -> None: assert todosPares1(n) == todosPares2(n) == todosPares3(n) # La comprobación es # src> poetry run pytest -q todos_los_abundantes_hasta_n_son_pares.py # 1 passed in 2.63s # Comparación de eficiencia # ========================= def tiempo(e: str) -> None: """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e.""" t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1) print(f"{t:0.2f} segundos") # La comparación es # >>> tiempo('todosPares1(1000)') # 0.03 segundos # >>> tiempo('todosPares2(1000)') # 0.05 segundos # >>> tiempo('todosPares3(1000)') # 0.02 segundos # # >>> tiempo('todosPares1(10000)') # 2.07 segundos # >>> tiempo('todosPares2(10000)') # 0.47 segundos # >>> tiempo('todosPares3(10000)') # 2.42 segundos |
El código se encuentra en GitHub.