Teorema de Hilbert-Waring

El problema de Waring, propuesto por Edward Waring consiste en déterminar si, para cada número entero k mayor que 1, existe un número n tal que todo entero positivo se puede escribir como una suma de k-potencias de números positivos con n sumandos como máximo.

La respuesta afirmativa al problema, aportada por David Hilbert, se conoce como el teorema de Hilbert-Waring. Su enunciado es

Para cada número entero k, con k ≥ 2, existe un entero positivo g(k) tal que todo entero positivo se puede expresar como una suma de a lo más g(k) k-ésimas potencias.

Definir las funciones

tales que

  • (descomposiciones x k n) es la lista de descomposiciones de x como suma de n potencias con exponente k de números enteros positivos.

  • (orden x k) es el menor número de sumandos necesario para expresar x como suma de k-ésimas potencias. Por ejemplo,

Comprobar el teorema de Hilbert-Waring para k hasta 7; es decir, para todo número x positivo se verifica que

y, en general,

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¡Y en la tersa arena,
cerca de la mar,
tu carne rosa y morena,
súbitamente Guiomar!

Antonio Machado

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