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Etiqueta: union

Diferencia simétrica

José A. Alonso, ,

La diferencia simétrica de dos conjuntos es el conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica de {2,5,3} y {4,2,3,7} es {5,4,7}.

Definir la función

   diferenciaSimetrica :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]

tal que (diferenciaSimetrica xs ys) es la diferencia simétrica de xs e ys. Por ejemplo,

   diferenciaSimetrica [2,5,3] [4,2,3,7]    ==  [4,5,7]
   diferenciaSimetrica [2,5,3] [5,2,3]      ==  []
   diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,3,7]    ==  [3,4,5,7]
   diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,4,7]    ==  [4,5,7]
   diferenciaSimetrica [2,5,2,4] [4,2,4,7]  ==  [5,7]

Soluciones

import Test.QuickCheck
import Data.List ((\\), intersect, nub, sort, union)
import qualified Data.Set as S
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
diferenciaSimetrica1 :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
diferenciaSimetrica1 xs ys =
  sort (nub ([x | x <- xs, x `notElem` ys] ++ [y | y <- ys, y `notElem` xs]))
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
diferenciaSimetrica2 :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
diferenciaSimetrica2 xs ys =
  sort (nub (filter (`notElem` ys) xs ++ filter (`notElem` xs) ys))
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
diferenciaSimetrica3 :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
diferenciaSimetrica3 xs ys =
  sort (nub (union xs ys \\ intersect xs ys))
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
diferenciaSimetrica4 :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
diferenciaSimetrica4 xs ys =
  [x | x <- sort (nub (xs ++ ys))
     , x `notElem` xs || x `notElem` ys]
 
-- 5ª solución
-- ===========
 
diferenciaSimetrica5 :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
diferenciaSimetrica5 xs ys =
  S.elems ((xs' `S.union` ys') `S.difference` (xs' `S.intersection` ys'))
  where xs' = S.fromList xs
        ys' = S.fromList ys
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_diferenciaSimetrica :: [Int] -> [Int] -> Bool
prop_diferenciaSimetrica xs ys =
  all (== diferenciaSimetrica1 xs ys)
      [diferenciaSimetrica2 xs ys,
       diferenciaSimetrica3 xs ys,
       diferenciaSimetrica4 xs ys,
       diferenciaSimetrica5 xs ys]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_diferenciaSimetrica
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> length (diferenciaSimetrica1 [1..2*10^4] [2,4..2*10^4])
--    10000
--    (2.34 secs, 10,014,360 bytes)
--    λ> length (diferenciaSimetrica2 [1..2*10^4] [2,4..2*10^4])
--    10000
--    (2.41 secs, 8,174,264 bytes)
--    λ> length (diferenciaSimetrica3 [1..2*10^4] [2,4..2*10^4])
--    10000
--    (5.84 secs, 10,232,006,288 bytes)
--    λ> length (diferenciaSimetrica4 [1..2*10^4] [2,4..2*10^4])
--    10000
--    (5.83 secs, 14,814,184 bytes)
--    λ> length (diferenciaSimetrica5 [1..2*10^4] [2,4..2*10^4])
--    10000
--    (0.02 secs, 7,253,496 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

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El problema de las celebridades

José A. Alonso, ,

La celebridad de una reunión es una persona al que todos conocen pero que no conoce a nadie. Por ejemplo, si en la reunión hay tres personas tales que la 1 conoce a la 3 y la 2 conoce a la 1 y a la 3, entonces la celebridad de la reunión es la 3.

La relación de conocimiento se puede representar mediante una lista de pares (x,y) indicando que x conoce a y. Por ejemplo, la reunión anterior se puede representar por [(1,3),(2,1),(2,3)].

Definir la función

   celebridad :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a

tal que (celebridad r) es el justo la celebridad de r, si en r hay una celebridad y Nothing, en caso contrario. Por ejemplo,

   celebridad [(1,3),(2,1),(2,3)]            ==  Just 3
   celebridad [(1,3),(2,1),(3,2)]            ==  Nothing
   celebridad [(1,3),(2,1),(2,3),(3,1)]      ==  Nothing
   celebridad [(x,1) | x <- [2..10^6]]       ==  Just 1
   celebridad [(x,10^6) | x <- [1..10^6-1]]  ==  Just 1000000

Soluciones

import Data.List (delete, nub)
import Data.Maybe (listToMaybe)
import qualified Data.Set as S
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
celebridad1 :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a
celebridad1 r =
  listToMaybe [x | x <- personas r, esCelebridad r x]
 
personas :: Ord a => [(a,a)] -> [a]
personas r =
  nub (map fst r ++ map snd r)
 
esCelebridad :: Ord a => [(a,a)] -> a -> Bool
esCelebridad r x =
     [y | y <- ys, (y,x) `elem` r] == ys
  && null [y | y <- ys, (x,y) `elem` r]
  where ys = delete x (personas r)
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
celebridad2 :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a
celebridad2 r =
  listToMaybe [x | x <- personas2 c, esCelebridad2 c x]
  where c = S.fromList r
 
--    λ> personas2 (S.fromList [(1,3),(2,1),(2,3)])
--    [1,2,3]
personas2 :: Ord a => S.Set (a,a) -> [a]
personas2 c =
  S.toList (S.map fst c `S.union` S.map snd c)
 
esCelebridad2 :: Ord a => S.Set (a,a) -> a -> Bool
esCelebridad2 c x = 
      [y | y <- ys, (y,x) `S.member` c] == ys
   && null [y | y <- ys, (x,y) `S.member` c]
   where ys = delete x (personas2 c)
 
-- 3ª definición
-- =============
 
celebridad3 :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a
celebridad3 r
  | S.null candidatos = Nothing
  | esCelebridad      = Just candidato
  | otherwise         = Nothing
  where
    conjunto          = S.fromList r
    dominio           = S.map fst conjunto
    rango             = S.map snd conjunto
    total             = dominio `S.union` rango
    candidatos        = rango `S.difference` dominio
    candidato         = S.findMin candidatos
    noCandidatos      = S.delete candidato total
    esCelebridad      =
      S.filter (\x -> (x,candidato) `S.member` conjunto) total == noCandidatos
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
--    λ> celebridad1 [(x,1) | x <- [2..300]]
--    Just 1
--    (2.70 secs, 38,763,888 bytes)
--    λ> celebridad2 [(x,1) | x <- [2..300]]
--    Just 1
--    (0.01 secs, 0 bytes)
-- 
--    λ> celebridad2 [(x,1000) | x <- [1..999]]
--    Just 1000
--    (2.23 secs, 483,704,224 bytes)
--    λ> celebridad3 [(x,1000) | x <- [1..999]]
--    Just 1000
--    (0.02 secs, 0 bytes)
-- 
--    λ> celebridad3 [(x,10^6) | x <- [1..10^6-1]]
--    Just 1000000
--    (9.56 secs, 1,572,841,088 bytes)
--    λ> celebridad3 [(x,1) | x <- [2..10^6]]
--    Just 1
--    (6.17 secs, 696,513,320 bytes)
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Clausura respecto de una operación binaria

José A. Alonso, ,

Se dice que una operador @ es interno en un conjunto A si al @ sobre elementos de A se obtiene como resultado otro elemento de A. Por ejemplo, la suma es un operador interno en el conjunto de los números naturales pares.

La clausura de un conjunto A con respecto a un operador @ es el menor conjunto B tal que A está contenido en B y el operador @ es interno en el conjunto B. Por ejemplo, la clausura del conjunto {2} con respecto a la suma es el conjunto de los números pares positivos:

   {2, 4, 6, 8, ...} = {2*k | k <- [1..]}

Definir la función

   clausuraOperador :: (Int -> Int -> Int) -> Set Int -> Set Int

tal que (clausuraOperador op xs) es la clausura del conjunto xs con respecto a la operación op. Por ejemplo,

   clausuraOperador gcd (fromList [6,9,10])     ==
      fromList [1,2,3,6,9,10]
   clausuraOperador gcd (fromList [42,70,105])  ==
      fromList [7,14,21,35,42,70,105]
   clausuraOperador lcm (fromList [6,9,10])     ==
      fromList [6,9,10,18,30,90]
   clausuraOperador lcm (fromList [2,3,5,7])    ==
      fromList [2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105,210]

Soluciones

import Prelude hiding (map)
import Data.Set ( Set
                , elems
                , fromList
                , map
                , notMember
                , union
                , unions
                ) 
 
-- 1ª definición 
clausuraOperador :: (Int -> Int -> Int) -> Set Int -> Set Int
clausuraOperador op =
  until (\ xs -> null [(x,y) | x <- elems xs,
                               y <- elems xs,
                               notMember (op x y) xs])
        (\ xs -> union xs (fromList [op x y | x <- elems xs,
                                              y <- elems xs]))
 
-- 2ª definición 
clausuraOperador2 :: (Int -> Int -> Int) -> Set Int -> Set Int
clausuraOperador2 op = until ((==) <*> g) g
  where g ys = unions [map (`op` y) ys | y <- elems ys]
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Sumas de subconjuntos

José A. Alonso, ,

Definir la función

   sumasSubconjuntos :: Set Int -> Set Int

tal que (sumasSubconjuntos xs) es el conjunto de las sumas de cada uno de los subconjuntos de xs. Por ejemplo,

   λ> sumasSubconjuntos (fromList [3,2,5])
   fromList [0,2,3,5,7,8,10]
   λ> length (sumasSubconjuntos (fromList [-40,-39..40]))
   1641

Soluciones

import Data.List
import Data.Set ( Set
                , deleteFindMin
                , fromList
                , singleton
                , toList
                )
import qualified Data.Set as S
 
-- 1ª definición
-- =============
 
sumasSubconjuntos :: Set Int -> Set Int
sumasSubconjuntos xs =
  fromList (map sum (subsequences (toList xs))) 
 
-- 2ª definición
-- =============
 
sumasSubconjuntos2 :: Set Int -> Set Int
sumasSubconjuntos2 =
  fromList . sumasSubconjuntosL . toList  
 
sumasSubconjuntosL :: [Int] -> [Int]
sumasSubconjuntosL []     = [0]
sumasSubconjuntosL (x:xs) = ys `union` map (+x) ys
  where ys = sumasSubconjuntosL xs
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
sumasSubconjuntos3 :: Set Int -> Set Int
sumasSubconjuntos3 xs
  | S.null xs = singleton 0
  | otherwise = zs `S.union` (S.map (+y) zs)
  where (y,ys) = deleteFindMin xs
        zs     = sumasSubconjuntos2 ys
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
--    λ> length (sumasSubconjuntos (fromList [1..22]))
--    254
--    (4.17 secs, 4,574,495,128 bytes)
--    λ> length (sumasSubconjuntos2 (fromList [1..22]))
--    254
--    (0.03 secs, 5,583,200 bytes)
--    λ> length (sumasSubconjuntos3 (fromList [1..22]))
--    254
--    (0.03 secs, 5,461,064 bytes)
--
--    λ> length (sumasSubconjuntos2 (fromList [1..60]))
--    1831
--    (2.75 secs, 611,912,128 bytes)
--    λ> length (sumasSubconjuntos3 (fromList [1..60]))
--    1831
--    (2.81 secs, 610,476,992 bytes)
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El problema de las celebridades

José A. Alonso, ,

La celebridad de una reunión es una persona al que todos conocen pero que no conoce a nadie. Por ejemplo, si en la reunión hay tres personas tales que la 1 conoce a la 3 y la 2 conoce a la 1 y a la 3, entonces la celebridad de la reunión es la 3.

La relación de conocimiento se puede representar mediante una lista de pares (x,y) indicando que x conoce a y. Por ejemplo, ka reunioń anterior se puede representar por [(1,3),(2,1),(2,3)].

Definir la función

   celebridad :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a

tal que (celebridad r) es el justo la celebridad de r, si en r hay una celebridad y Nothing, en caso contrario. Por ejemplo,

   celebridad [(1,3),(2,1),(2,3)]            ==  Just 3
   celebridad [(1,3),(2,1),(3,2)]            ==  Nothing
   celebridad [(1,3),(2,1),(2,3),(3,1)]      ==  Nothing
   celebridad [(x,1) | x < - [2..10^6]]       ==  Just 1
   celebridad [(x,10^6) | x <- [1..10^6-1]]  ==  Just 1000000

Soluciones

import Data.List (delete, nub)
import Data.Maybe (listToMaybe)
import qualified Data.Set as S
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
celebridad1 :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a
celebridad1 r =
  listToMaybe [x | x <- personas r, esCelebridad r x]
 
personas :: Ord a => [(a,a)] -> [a]
personas r =
  nub (map fst r ++ map snd r)
 
esCelebridad :: Ord a => [(a,a)] -> a -> Bool
esCelebridad r x =
     [y | y <- ys, (y,x) `elem` r] == ys
  && null [y | y <- ys, (x,y) `elem` r]
  where ys = delete x (personas r)
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
celebridad2 :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a
celebridad2 r =
  listToMaybe [x | x <- personas2 c, esCelebridad2 c x]
  where c = S.fromList r
 
--    λ> personas2 (S.fromList [(1,3),(2,1),(2,3)])
--    [1,2,3]
personas2 :: Ord a => S.Set (a,a) -> [a]
personas2 c =
  S.toList (S.map fst c `S.union` S.map snd c)
 
esCelebridad2 :: Ord a => S.Set (a,a) -> a -> Bool
esCelebridad2 c x = 
      [y | y <- ys, (y,x) `S.member` c] == ys
   && null [y | y <- ys, (x,y) `S.member` c]
   where ys = delete x (personas2 c)
 
-- 3ª definición
-- =============
 
celebridad3 :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a
celebridad3 r
  | S.null candidatos = Nothing
  | esCelebridad      = Just candidato
  | otherwise         = Nothing
  where
    conjunto          = S.fromList r
    dominio           = S.map fst conjunto
    rango             = S.map snd conjunto
    total             = dominio `S.union` rango
    candidatos        = rango `S.difference` dominio
    candidato         = S.findMin candidatos
    noCandidatos      = S.delete candidato total
    esCelebridad      =
      S.filter (\x -> (x,candidato) `S.member` conjunto) total == noCandidatos
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
--    λ> celebridad1 [(x,1) | x <- [2..300]]
--    Just 1
--    (2.70 secs, 38,763,888 bytes)
--    λ> celebridad2 [(x,1) | x <- [2..300]]
--    Just 1
--    (0.01 secs, 0 bytes)
-- 
--    λ> celebridad2 [(x,1000) | x <- [1..999]]
--    Just 1000
--    (2.23 secs, 483,704,224 bytes)
--    λ> celebridad3 [(x,1000) | x <- [1..999]]
--    Just 1000
--    (0.02 secs, 0 bytes)
-- 
--    λ> celebridad3 [(x,10^6) | x <- [1..10^6-1]]
--    Just 1000000
--    (9.56 secs, 1,572,841,088 bytes)
--    λ> celebridad3 [(x,1) | x <- [2..10^6]]
--    Just 1
--    (6.17 secs, 696,513,320 bytes)
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