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Etiqueta: difference

Clausura de un conjunto respecto de una función

José A. Alonso, ,

Un conjunto A está cerrado respecto de una función f si para elemento x de A se tiene que f(x) pertenece a A. La clausura de un conjunto B respecto de una función f es el menor conjunto A que contiene a B y es cerrado respecto de f. Por ejemplo, la clausura de {0,1,2] respecto del opuesto es {-2,-1,0,1,2}.

Definir la función

   clausura :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]

tal que (clausura f xs) es la clausura de xs respecto de f. Por ejemplo,

   clausura (\x -> -x) [0,1,2]         ==  [-2,-1,0,1,2]
   clausura (\x -> (x+1) `mod` 5) [0]  ==  [0,1,2,3,4]
   length (clausura (\x -> (x+1) `mod` (10^6)) [0]) == 1000000

Soluciones

module Clausura where
 
import Data.List ((\\), nub, sort, union)
import Test.QuickCheck.HigherOrder (quickCheck')
import qualified Data.Set as S (Set, difference, fromList, map, null, toList, union)
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
clausura1 :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]
clausura1 f xs
  | esCerrado f xs = sort xs
  | otherwise      = clausura1 f (expansion f xs)
 
-- (esCerrado f xs) se verifica si al aplicar f a cualquier elemento de
-- xs se obtiene un elemento de xs. Por ejemplo,
--    λ> esCerrado (\x -> -x) [0,1,2]
--    False
--    λ> esCerrado (\x -> -x) [0,1,2,-2,-1]
--    True
esCerrado :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> Bool
esCerrado f xs = all (`elem` xs) (map f xs)
 
-- (expansion f xs) es la lista (sin repeticiones) obtenidas añadiéndole
-- a xs el resulta de aplicar f a sus elementos. Por ejemplo,
--    expansion (\x -> -x) [0,1,2]  ==  [0,1,2,-1,-2]
expansion :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]
expansion f xs = xs `union` map f xs
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
clausura2 :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]
clausura2 f xs = sort (until (esCerrado f) (expansion f) xs)
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
clausura3 :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]
clausura3 f xs = aux xs xs
  where aux ys vs | null ns   = sort vs
                  | otherwise = aux ns (vs ++ ns)
          where ns = nub (map f ys) \\ vs
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
clausura4 :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]
clausura4 f xs = S.toList (clausura4' f (S.fromList xs))
 
clausura4' :: Ord a => (a -> a) -> S.Set a -> S.Set a
clausura4' f xs = aux xs xs
  where aux ys vs | S.null ns = vs
                  | otherwise = aux ns (vs `S.union` ns)
          where ns = S.map f ys `S.difference` vs
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_clausura :: (Int -> Int) -> [Int] -> Bool
prop_clausura f xs =
  all (== clausura1 f xs')
      [ clausura2 f xs'
      , clausura3 f xs'
      , clausura4 f xs'
      ]
  where xs' = sort (nub xs)
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck' prop_clausura
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> length (clausura1 (\x -> (x+1) `mod` 800) [0])
--    800
--    (1.95 secs, 213,481,560 bytes)
--    λ> length (clausura2 (\x -> (x+1) `mod` 800) [0])
--    800
--    (1.96 secs, 213,372,824 bytes)
--    λ> length (clausura3 (\x -> (x+1) `mod` 800) [0])
--    800
--    (0.03 secs, 42,055,128 bytes)
--    λ> length (clausura4 (\x -> (x+1) `mod` 800) [0])
--    800
--    (0.01 secs, 1,779,768 bytes)
--
--    λ> length (clausura3 (\x -> (x+1) `mod` (10^4)) [0])
--    10000
--    (2.50 secs, 8,080,105,816 bytes)
--    λ> length (clausura4 (\x -> (x+1) `mod` (10^4)) [0])
--    10000
--    (0.05 secs, 27,186,920 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

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Diferencia simétrica

José A. Alonso, ,

La diferencia simétrica de dos conjuntos es el conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica de {2,5,3} y {4,2,3,7} es {5,4,7}.

Definir la función

   diferenciaSimetrica :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]

tal que (diferenciaSimetrica xs ys) es la diferencia simétrica de xs e ys. Por ejemplo,

   diferenciaSimetrica [2,5,3] [4,2,3,7]    ==  [4,5,7]
   diferenciaSimetrica [2,5,3] [5,2,3]      ==  []
   diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,3,7]    ==  [3,4,5,7]
   diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,4,7]    ==  [4,5,7]
   diferenciaSimetrica [2,5,2,4] [4,2,4,7]  ==  [5,7]

Soluciones

import Test.QuickCheck
import Data.List ((\\), intersect, nub, sort, union)
import qualified Data.Set as S
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
diferenciaSimetrica1 :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
diferenciaSimetrica1 xs ys =
  sort (nub ([x | x <- xs, x `notElem` ys] ++ [y | y <- ys, y `notElem` xs]))
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
diferenciaSimetrica2 :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
diferenciaSimetrica2 xs ys =
  sort (nub (filter (`notElem` ys) xs ++ filter (`notElem` xs) ys))
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
diferenciaSimetrica3 :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
diferenciaSimetrica3 xs ys =
  sort (nub (union xs ys \\ intersect xs ys))
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
diferenciaSimetrica4 :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
diferenciaSimetrica4 xs ys =
  [x | x <- sort (nub (xs ++ ys))
     , x `notElem` xs || x `notElem` ys]
 
-- 5ª solución
-- ===========
 
diferenciaSimetrica5 :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
diferenciaSimetrica5 xs ys =
  S.elems ((xs' `S.union` ys') `S.difference` (xs' `S.intersection` ys'))
  where xs' = S.fromList xs
        ys' = S.fromList ys
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_diferenciaSimetrica :: [Int] -> [Int] -> Bool
prop_diferenciaSimetrica xs ys =
  all (== diferenciaSimetrica1 xs ys)
      [diferenciaSimetrica2 xs ys,
       diferenciaSimetrica3 xs ys,
       diferenciaSimetrica4 xs ys,
       diferenciaSimetrica5 xs ys]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_diferenciaSimetrica
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> length (diferenciaSimetrica1 [1..2*10^4] [2,4..2*10^4])
--    10000
--    (2.34 secs, 10,014,360 bytes)
--    λ> length (diferenciaSimetrica2 [1..2*10^4] [2,4..2*10^4])
--    10000
--    (2.41 secs, 8,174,264 bytes)
--    λ> length (diferenciaSimetrica3 [1..2*10^4] [2,4..2*10^4])
--    10000
--    (5.84 secs, 10,232,006,288 bytes)
--    λ> length (diferenciaSimetrica4 [1..2*10^4] [2,4..2*10^4])
--    10000
--    (5.83 secs, 14,814,184 bytes)
--    λ> length (diferenciaSimetrica5 [1..2*10^4] [2,4..2*10^4])
--    10000
--    (0.02 secs, 7,253,496 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

  • En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>
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El problema de las celebridades

José A. Alonso, ,

La celebridad de una reunión es una persona al que todos conocen pero que no conoce a nadie. Por ejemplo, si en la reunión hay tres personas tales que la 1 conoce a la 3 y la 2 conoce a la 1 y a la 3, entonces la celebridad de la reunión es la 3.

La relación de conocimiento se puede representar mediante una lista de pares (x,y) indicando que x conoce a y. Por ejemplo, la reunión anterior se puede representar por [(1,3),(2,1),(2,3)].

Definir la función

   celebridad :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a

tal que (celebridad r) es el justo la celebridad de r, si en r hay una celebridad y Nothing, en caso contrario. Por ejemplo,

   celebridad [(1,3),(2,1),(2,3)]            ==  Just 3
   celebridad [(1,3),(2,1),(3,2)]            ==  Nothing
   celebridad [(1,3),(2,1),(2,3),(3,1)]      ==  Nothing
   celebridad [(x,1) | x <- [2..10^6]]       ==  Just 1
   celebridad [(x,10^6) | x <- [1..10^6-1]]  ==  Just 1000000

Soluciones

import Data.List (delete, nub)
import Data.Maybe (listToMaybe)
import qualified Data.Set as S
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
celebridad1 :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a
celebridad1 r =
  listToMaybe [x | x <- personas r, esCelebridad r x]
 
personas :: Ord a => [(a,a)] -> [a]
personas r =
  nub (map fst r ++ map snd r)
 
esCelebridad :: Ord a => [(a,a)] -> a -> Bool
esCelebridad r x =
     [y | y <- ys, (y,x) `elem` r] == ys
  && null [y | y <- ys, (x,y) `elem` r]
  where ys = delete x (personas r)
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
celebridad2 :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a
celebridad2 r =
  listToMaybe [x | x <- personas2 c, esCelebridad2 c x]
  where c = S.fromList r
 
--    λ> personas2 (S.fromList [(1,3),(2,1),(2,3)])
--    [1,2,3]
personas2 :: Ord a => S.Set (a,a) -> [a]
personas2 c =
  S.toList (S.map fst c `S.union` S.map snd c)
 
esCelebridad2 :: Ord a => S.Set (a,a) -> a -> Bool
esCelebridad2 c x = 
      [y | y <- ys, (y,x) `S.member` c] == ys
   && null [y | y <- ys, (x,y) `S.member` c]
   where ys = delete x (personas2 c)
 
-- 3ª definición
-- =============
 
celebridad3 :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a
celebridad3 r
  | S.null candidatos = Nothing
  | esCelebridad      = Just candidato
  | otherwise         = Nothing
  where
    conjunto          = S.fromList r
    dominio           = S.map fst conjunto
    rango             = S.map snd conjunto
    total             = dominio `S.union` rango
    candidatos        = rango `S.difference` dominio
    candidato         = S.findMin candidatos
    noCandidatos      = S.delete candidato total
    esCelebridad      =
      S.filter (\x -> (x,candidato) `S.member` conjunto) total == noCandidatos
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
--    λ> celebridad1 [(x,1) | x <- [2..300]]
--    Just 1
--    (2.70 secs, 38,763,888 bytes)
--    λ> celebridad2 [(x,1) | x <- [2..300]]
--    Just 1
--    (0.01 secs, 0 bytes)
-- 
--    λ> celebridad2 [(x,1000) | x <- [1..999]]
--    Just 1000
--    (2.23 secs, 483,704,224 bytes)
--    λ> celebridad3 [(x,1000) | x <- [1..999]]
--    Just 1000
--    (0.02 secs, 0 bytes)
-- 
--    λ> celebridad3 [(x,10^6) | x <- [1..10^6-1]]
--    Just 1000000
--    (9.56 secs, 1,572,841,088 bytes)
--    λ> celebridad3 [(x,1) | x <- [2..10^6]]
--    Just 1
--    (6.17 secs, 696,513,320 bytes)
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El problema de las celebridades

José A. Alonso, ,

La celebridad de una reunión es una persona al que todos conocen pero que no conoce a nadie. Por ejemplo, si en la reunión hay tres personas tales que la 1 conoce a la 3 y la 2 conoce a la 1 y a la 3, entonces la celebridad de la reunión es la 3.

La relación de conocimiento se puede representar mediante una lista de pares (x,y) indicando que x conoce a y. Por ejemplo, ka reunioń anterior se puede representar por [(1,3),(2,1),(2,3)].

Definir la función

   celebridad :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a

tal que (celebridad r) es el justo la celebridad de r, si en r hay una celebridad y Nothing, en caso contrario. Por ejemplo,

   celebridad [(1,3),(2,1),(2,3)]            ==  Just 3
   celebridad [(1,3),(2,1),(3,2)]            ==  Nothing
   celebridad [(1,3),(2,1),(2,3),(3,1)]      ==  Nothing
   celebridad [(x,1) | x < - [2..10^6]]       ==  Just 1
   celebridad [(x,10^6) | x <- [1..10^6-1]]  ==  Just 1000000

Soluciones

import Data.List (delete, nub)
import Data.Maybe (listToMaybe)
import qualified Data.Set as S
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
celebridad1 :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a
celebridad1 r =
  listToMaybe [x | x <- personas r, esCelebridad r x]
 
personas :: Ord a => [(a,a)] -> [a]
personas r =
  nub (map fst r ++ map snd r)
 
esCelebridad :: Ord a => [(a,a)] -> a -> Bool
esCelebridad r x =
     [y | y <- ys, (y,x) `elem` r] == ys
  && null [y | y <- ys, (x,y) `elem` r]
  where ys = delete x (personas r)
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
celebridad2 :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a
celebridad2 r =
  listToMaybe [x | x <- personas2 c, esCelebridad2 c x]
  where c = S.fromList r
 
--    λ> personas2 (S.fromList [(1,3),(2,1),(2,3)])
--    [1,2,3]
personas2 :: Ord a => S.Set (a,a) -> [a]
personas2 c =
  S.toList (S.map fst c `S.union` S.map snd c)
 
esCelebridad2 :: Ord a => S.Set (a,a) -> a -> Bool
esCelebridad2 c x = 
      [y | y <- ys, (y,x) `S.member` c] == ys
   && null [y | y <- ys, (x,y) `S.member` c]
   where ys = delete x (personas2 c)
 
-- 3ª definición
-- =============
 
celebridad3 :: Ord a => [(a,a)] -> Maybe a
celebridad3 r
  | S.null candidatos = Nothing
  | esCelebridad      = Just candidato
  | otherwise         = Nothing
  where
    conjunto          = S.fromList r
    dominio           = S.map fst conjunto
    rango             = S.map snd conjunto
    total             = dominio `S.union` rango
    candidatos        = rango `S.difference` dominio
    candidato         = S.findMin candidatos
    noCandidatos      = S.delete candidato total
    esCelebridad      =
      S.filter (\x -> (x,candidato) `S.member` conjunto) total == noCandidatos
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
--    λ> celebridad1 [(x,1) | x <- [2..300]]
--    Just 1
--    (2.70 secs, 38,763,888 bytes)
--    λ> celebridad2 [(x,1) | x <- [2..300]]
--    Just 1
--    (0.01 secs, 0 bytes)
-- 
--    λ> celebridad2 [(x,1000) | x <- [1..999]]
--    Just 1000
--    (2.23 secs, 483,704,224 bytes)
--    λ> celebridad3 [(x,1000) | x <- [1..999]]
--    Just 1000
--    (0.02 secs, 0 bytes)
-- 
--    λ> celebridad3 [(x,10^6) | x <- [1..10^6-1]]
--    Just 1000000
--    (9.56 secs, 1,572,841,088 bytes)
--    λ> celebridad3 [(x,1) | x <- [2..10^6]]
--    Just 1
--    (6.17 secs, 696,513,320 bytes)
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