Enumeración de conjuntos finitos de naturales

Los conjuntos finitos de números naturales se pueden enumerar como sigue

en la que los elementos están ordenados de manera decreciente.

Definir la constante

tal que sus elementos son los conjuntos de los números naturales con la ordenación descrita anteriormente. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que

  • si (xs,ys) es un par de elementos consecutivos de enumeracionCFN, entonces xs < ys;
  • todo conjunto finito de números naturales, representado por una lista decreciente, está en enumeracionCFN.

Soluciones

Pensamiento

Junto al agua fría,
en la senda clara,
sombra dará algún día,
ese arbolillo en que nadie repara.

Antonio Machado

Múltiplos palíndromos

Los números 545, 5995 y 15151 son los tres menores palíndromos (capicúas) que son divisibles por 109.

Definir las funciones

tales que

  • (multiplosPalindromos n) es la lista de los palíndromos divisibles por n. Por ejemplo,

  • (multiplosPalindromosMenores x n) es la lista de los palíndromos divisibles por n, menores que x. Por ejemplo,

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 655 del Proyecto Euler.

Soluciones

Pensamiento

Esta luz de Sevilla… Es el palacio
donde nací, con su rumor de fuente.

Antonio Machado

Último dígito no nulo del factorial

El factorial de 7 es

por tanto, el último dígito no nulo del factorial de 7 es 4.

Definir la función

tal que (ultimoNoNuloFactorial n) es el último dígito no nulo del factorial de n. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que si n es mayor que 4, entonces el último dígito no nulo del factorial de n es par.

Soluciones

Pensamiento

Busca el tu esencial,
que no está en ninguna parte
y en todas partes está.

Antonio Machado

Mayor capicúa producto de dos números de n cifras

Un capicúa es un número que es igual leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Definir la función

tal que (mayorCapicuaP n) es el mayor capicúa que es el producto de dos números de n cifras. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Mi corazón está donde ha nacido,
no a la vida, al amor, cerca del Duero.

Antonio Machado

Reparto de escaños por la ley d’Hont

El sistema D’Hondt es una fórmula creada por Victor d’Hondt, que permite obtener el número de cargos electos asignados a las candidaturas, en proporción a los votos conseguidos.

Tras el recuento de los votos, se calcula una serie de divisores para cada partido. La fórmula de los divisores es V/N, donde V representa el número total de votos recibidos por el partido, y N representa cada uno de los números enteros desde 1 hasta el número de cargos electos de la circunscripción objeto de escrutinio. Una vez realizadas las divisiones de los votos de cada partido por cada uno de los divisores desde 1 hasta N, la asignación de cargos electos se hace ordenando los cocientes de las divisiones de mayor a menor y asignando a cada uno un escaño hasta que éstos se agoten

Definir la función

tal que (reparto n vs) es la lista de los pares formados por los números de los partidos y el número de escaño que les corresponden al repartir n escaños en función de la lista de sus votos. Por ejemplo,

es decir, en el primer ejemplo,

  • al 1º partido (que obtuvo 340000 votos) le corresponden 3 escaños,
  • al 2º partido (que obtuvo 280000 votos) le corresponden 3 escaños,
  • al 3º partido (que obtuvo 160000 votos) le corresponden 1 escaño.

Soluciones

Pensamiento

Sus cantares llevan
agua de remanso,
que parece quieta.
Y que no lo está;
mas no tiene prisa
por ir a la mar.

Antonio Machado