Conjetura de Goldbach

Una forma de la conjetura de Golbach afirma que todo entero mayor que 1 se puede escribir como la suma de uno, dos o tres números primos.

Si se define el índice de Goldbach de n > 1 como la mínima cantidad de primos necesarios para que su suma sea n, entonces la conjetura de Goldbach afirma que todos los índices de Goldbach de los enteros mayores que 1 son menores que 4.

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (indiceGoldbach n) es el índice de Goldbach de n. Por ejemplo,

  • (graficaGoldbach n) dibuja la gráfica de los índices de Goldbach de los números entre 2 y n. Por ejemplo, (graficaGoldbach 150) dibuja
    Conjetura_de_Goldbach_150

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Goldbach anterior.

Soluciones

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Pensamiento

«La diferencia entre los matemáticos y los físicos es que después de que los físicos prueban un gran resultado piensan que es fantástico, pero después de que los matemáticos prueban un gran resultado piensan que es trivial.»

Lucien Szpiro.

Evaluación de FNC (fórmulas en forma normal conjuntiva)

Una FNC (fórmula en forma normal conjuntiva) es una conjunción de cláusulas, donde una cláusula es una disyunción de literales y un literal es un átomo o su negación. Por ejemplo,

es una FNC con tres clásulas tales que la primera cláusula tiene 2 literales (x(1) y -x(3)), la segunda tiene 1 (x(2)) y la tercera tiene 3 (-x(2), x(3) y x(1)).

Usaremos las siguientes representaciones:

  • Los átomos se representan por enteros positivos. Por ejemplo, 3 representa x(3).
  • Los literales se representan por enteros. Por ejemplo, 3 representa el literal positivo x(3) y -5 el literal negativo -x(5).
  • Una cláusula es una lista de literales que representa la disyunción se sus literales. Por ejemplo, [3,2,-4] representa a (x(3) v x(2) v -x(4)).
  • Una fórmula en forma normal conjuntiva (FNC) es una lista de cláusulas que representa la conjunción de sus cláusulas. Por ejemplo, [[3,2],[-1,2,5]] representa a ((x(3) v x(2)) & (-x(1) v x(2) v x(5))).

Una interpretación I es un conjunto de átomos. Se supone que los átomos de I son verdaderos y los restantes son falsos. Por ejemplo, en la interpretación [2,5]

  • el literal x(2) es verdadero (porque 2 ∈ [2,5])
  • el literal x(3) es falso (porque 3 ∉ [2,5])
  • el literal -x(4) es verdadero (porque 4 ∉ [2,5])
  • la cláusula (x(2) v x(3)) es verdadera (porque x(2) es verdadero)
  • la cláusula (x(3) v x(4)) es falsa (porque x(3) y x(4) son falsos)
  • la FNC ((x(2) v x(5)) & (-x(4) v x(3)) es verdadera porque lo son sus dos cláusulas

En el ejercicio se usarán los siguientes tipos de datos

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (valorLiteral i l) es el valor del literal l en la interpretación i. Por ejemplo,

  • (valorClausula i c) es el valor de la cláusula c en la interpretación i. Por ejemplo,

  • (valor i f) es el valor de la fórmula en FNC f en la interpretación i. Por ejemplo,

Nota: Escribir la solución en el módulo Evaluacion_de_FNC para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

Soluciones

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Pensamiento

«Todo buen matemático es al menos medio filósofo, y todo buen filósofo es al menos medio matemático.»

Gottlob Frege.

La conjetura de Mertens

Un número entero n es libre de cuadrados si no existe un número primo p tal que p² divide a n; es decir, los factores primos de n son todos distintos.

La función de Möbius μ(n) está definida para todos los enteros positivos como sigue:

  • μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número par de factores primos.
  • μ(n) = -1 si n es libre de cuadrados y tiene un número impar de factores primos.
  • μ(n) = 0 si n no es libre de cuadrados.

Sus primeros valores son 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, …

La función de Mertens M(n) está definida para todos los enteros positivos como la suma de μ(k) para 1 ≤ k ≤ n. Sus primeros valores son 1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, …

La conjetura de Mertens afirma que

Para todo entero x mayor que 1, el valor absoluto de la función de Mertens en x es menor que la raíz cuadrada de x.

La conjetura fue planteada por Franz Mertens en 1897. Riele Odlyzko, demostraronen 1985 que la conjetura de Mertens deja de ser cierta más o menos a partir de 10^{10^{64}}, cifra que luego de algunos refinamientos se redujo a 10^{10^{40}}.

Definir las funciones

tales que

  • (mobius n) es el valor de la función de Möbius en n. Por ejemplo,

  • (mertens n) es el valor de la función de Mertens en n. Por ejemplo,

  • (graficaMertens n) dibuja la gráfica de la función de Mertens, la raíz cuadrada y el opuestos de la raíz cuadrada para los n primeros n enteros positivos. Por ejemplo, (graficaMertens 1000) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Mertens.

Nota: El ejercicio está basado en La conjetura de Merterns y su relación con un número tan raro como extremada y colosalmente grande publicado por @Alvy la semana pasada en Microsiervos.

Soluciones

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Pensamiento

«El control de la complejidad es la esencia de la programación informática.»

Brian Kernighan.

Relación definida por una partición

Dos elementos están relacionados por una partición xss si pertenecen al mismo elemento de xss.

Definir la función

tal que (relacionados xss y z) se verifica si los elementos y y z están relacionados por la partición xss. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

No hay lío político que no sea un trueque, una confusión de máscaras, un mal ensayo de comedia, en que nadie sabe su papel.

Antonio Machado

Conjetura de Goldbach

Una forma de la conjetura de Golbach afirma que todo entero mayor que 1 se puede escribir como la suma de uno, dos o tres números primos.

Si se define el índice de Goldbach de n > 1 como la mínima cantidad de primos necesarios para que su suma sea n, entonces la conjetura de Goldbach afirma que todos los índices de Goldbach de los enteros mayores que 1 son menores que 4.

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (indiceGoldbach n) es el índice de Goldbach de n. Por ejemplo,

  • (graficaGoldbach n) dibuja la gráfica de los índices de Goldbach de los números entre 2 y n. Por ejemplo, (graficaGoldbach 150) dibuja
    Conjetura_de_Goldbach_150

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