José A. AlonsoUna forma de la conjetura de Golbach afirma que todo entero mayor que 1 se puede escribir como la suma de uno, dos o tres números primos.
Si se define el índice de Goldbach de n > 1 como la mínima cantidad de primos necesarios para que su suma sea n, entonces la conjetura de Goldbach afirma que todos los índices de Goldbach de los enteros mayores que 1 son menores que 4.
Definir las siguientes funciones
indiceGoldbach :: Int -> Int graficaGoldbach :: Int -> IO () |
tales que
- (indiceGoldbach n) es el índice de Goldbach de n. Por ejemplo,
indiceGoldbach 2 == 1
indiceGoldbach 4 == 2
indiceGoldbach 27 == 3
sum (map indiceGoldbach [2..5000]) == 10619
maximum (map indiceGoldbach [2..5000]) == 3 |
- (graficaGoldbach n) dibuja la gráfica de los índices de Goldbach de los números entre 2 y n. Por ejemplo, (graficaGoldbach 150) dibuja
Comprobar con QuickCheck la conjetura de Goldbach anterior.
Soluciones
import Data.Array import Data.Numbers.Primes import Graphics.Gnuplot.Simple import Test.QuickCheck -- 1ª definición -- ============= indiceGoldbach :: Int -> Int indiceGoldbach n = minimum (map length (particiones n)) particiones :: Int -> [[Int]] particiones n = v ! n where v = array (0,n) [(i,f i) | i <- [0..n]] where f 0 = [[]] f m = [x:y | x <- xs, y <- v ! (m-x), [x] >= take 1 y] where xs = reverse (takeWhile (<= m) primes) -- 2ª definición -- ============= indiceGoldbach2 :: Int -> Int indiceGoldbach2 x = head [n | n <- [1..], esSumaDe x n] -- (esSumaDe x n) se verifica si x se puede escribir como la suma de n -- primos. Por ejemplo, -- esSumaDe 2 1 == True -- esSumaDe 4 1 == False -- esSumaDe 4 2 == True -- esSumaDe 27 2 == False -- esSumaDe 27 3 == True esSumaDe :: Int -> Int -> Bool esSumaDe x 1 = isPrime x esSumaDe x n = or [esSumaDe (x-p) (n-1) | p <- takeWhile (<= x) primes] -- 3ª definición -- ============= indiceGoldbach3 :: Int -> Int indiceGoldbach3 x = head [n | n <- [1..], esSumaDe3 x n] esSumaDe3 :: Int -> Int -> Bool esSumaDe3 x n = a ! (x,n) where a = array ((2,1),(x,9)) [((i,j),f i j) | i <- [2..x], j <- [1..9]] f i 1 = isPrime i f i j = or [a!(i-k,j-1) | k <- takeWhile (<= i) primes] -- 4ª definición -- ============= indiceGoldbach4 :: Int -> Int indiceGoldbach4 n = v ! n where v = array (2,n) [(i,f i) | i <- [2..n]] f i | isPrime i = 1 | otherwise = 1 + minimum [v!(i-p) | p <- takeWhile (< (i-1)) primes] -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- λ> sum (map indiceGoldbach [2..80]) -- 142 -- (2.66 secs, 1,194,330,496 bytes) -- λ> sum (map indiceGoldbach2 [2..80]) -- 142 -- (0.01 secs, 1,689,944 bytes) -- λ> sum (map indiceGoldbach3 [2..80]) -- 142 -- (0.03 secs, 27,319,296 bytes) -- λ> sum (map indiceGoldbach4 [2..80]) -- 142 -- (0.03 secs, 47,823,656 bytes) -- -- λ> sum (map indiceGoldbach2 [2..1000]) -- 2030 -- (0.10 secs, 200,140,264 bytes) -- λ> sum (map indiceGoldbach3 [2..1000]) -- 2030 -- (3.10 secs, 4,687,467,664 bytes) -- Gráfica -- ======= graficaGoldbach :: Int -> IO () graficaGoldbach n = plotList [ Key Nothing , XRange (2,fromIntegral n) , PNG ("Conjetura_de_Goldbach_" ++ show n ++ ".png") ] [indiceGoldbach2 k | k <- [2..n]] -- Comprobación de la conjetura de Goldbach -- ======================================== -- La propiedad es prop_Goldbach :: Int -> Property prop_Goldbach x = x >= 2 ==> indiceGoldbach2 x < 4 -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_Goldbach -- +++ OK, passed 100 tests. |
2 Comments