Particiones de enteros positivos

Una partición de un entero positivo n es una manera de escribir n como una suma de enteros positivos. Dos sumas que sólo difieren en el orden de sus sumandos se consideran la misma partición. Por ejemplo, 4 tiene cinco particiones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.

Definir la función

tal que (particiones n) es la lista de las particiones del número n. Por ejemplo,

Soluciones

El código se encuentra en GitHub.

Elementos de una matriz con algún vecino menor

Las matrices pueden representarse mediante tablas cuyos índices son pares de números naturales. Su tipo se define por

Por ejemplo, la matriz

se define por

Los vecinos de un elemento son los que están a un paso en la misma fila, columna o diagonal. Por ejemplo, en la matriz anterior, el 1 tiene 8 vecinos (el 9, 4, 6, 8, 7, 4, 2 y 5) pero el 9 sólo tiene 3 vecinos (el 4, 8 y 1).

Definir la función

tal que (algunoMenor p) es la lista de los elementos de p que tienen algún vecino menor que él. Por ejemplo,

pues sólo el 1 y el 3 no tienen ningún vecino menor en la matriz.

Soluciones

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

  • En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Matriz de mínimas distancias

Definir las funciones

tales que

  • (mininasDistancias a) es la matriz de las mínimas distancias de cada elemento de a hasta alcanzar un 1 donde un paso es un movimiento hacia la izquierda, derecha, arriba o abajo. Por ejemplo,

  • (sumaMinimaDistanciasIdentidad n) es la suma de los elementos de la matriz de las mínimas distancias correspondiente a la matriz identidad de orden n. Por ejemplo,

Soluciones

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Matriz de mínimas distancias

Definir las funciones

tales que

  • (mininasDistancias a) es la matriz de las mínimas distancias de cada elemento de a hasta alcanzar un 1 donde un paso es un movimiento hacia la izquierda, derecha, arriba o abajo. Por ejemplo,

  • (sumaMinimaDistanciasIdentidad n) es la suma de los elementos de la matriz de las mínimas distancias correspondiente a la matriz identidad de orden n. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

La primavera ha venido.
Nadie sabe como ha sido.

Antonio Machado

Distancia de Hamming

La distancia de Hamming entre dos listas es el número de posiciones en que los correspondientes elementos son distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre «roma» y «loba» es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª).

Definir la función

tal que (distancia xs ys) es la distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck si la distancia de Hamming tiene la siguiente propiedad

y, en el caso de que no se verifique, modificar ligeramente la propiedad para obtener una condición necesaria y suficiente de distancia(xs,ys) = 0.

Soluciones

Pensamiento

En mi soledad/
he visto cosas muy claras,
que no son verdad.

Antonio Machado

Conmutaciones ondulantes

Una lista binaria es ondulante si sus elementos son alternativamente 0 y 1. Por ejemplo, las listas [0,1,0,1,0] y [1,0,1,0] son ondulantes.

Definir la función

tal que (minConmutacionesOndulante xs) es el mínimo número de conmutaciones (es decir, cambios de 0 a 1 o de 1 a 0) necesarias para transformar xs en una lista ondulante. Por ejemplo,

En el primer ejemplo basta conmutar el elemento en la posición 1 para obtener [1,0,1] y el segundo ejemplo los elementos en las posiciones 1 y 8 para obtener [0,1,0,1,0,1,0,1,0,1].

Soluciones

Mínima diferencia entre elementos de una lista

Definir la función

tal que (minimaDiferencia xs) es el menor valor absoluto de las diferencias entre todos los pares de elementos de xs (que se supone que tiene al menos 2 elementos). Por ejemplo,

En el primer ejemplo la menor diferencia es 1 y se da entre los elementos 19 y 18; en el 2ª es 4 entre los elementos 5 y 9 y en la 3ª es 0 porque el elemento 5 está repetido.

Soluciones

Cantidad de números Pentanacci impares

Los números de Pentanacci se definen mediante las ecuaciones

Los primeros números de Pentanacci son

Se obseeva que

  • hasta P(5) hay 1 impar: el 1 (aunque aparece dos veces);
  • hasta P(7) hay 2 impares distintos: 1 y 31;
  • hasta P(10) hay 3 impares distintos: 1, 31 y 61;
  • hasta P(15) hay 5 impares distintos: 1, 31 y 61, 1793 y 3525.

Definir la función

tal que (nPentanacciImpares n) es la cantidad de números impares distintos desde P(0) hasta P(n). Por ejemplo,

Soluciones

Diagonales de matrices como listas

Las matrices se pueden representar como listas de listas de la misma longitud, donde cada uno de sus elementos representa una fila de la matriz.

Definir la función

tal que (diagonal xss) es la diagonal de la matriz xss. Por ejemplo,

Soluciones

Solución con Maxima

Máximos locales de una matriz

Un elemento de una matriz es un máximo local si es mayor que todos sus vecinos. Por ejemplo, en la matriz

los máximos locales son 8 (en la posición (1,4)), 2 (en la posición (2,2)) y 7 (en la posición (4,3)).

Definimos el tipo de las matrices, mediante

y el ejemplo anterior por

Definir la función

tal que (maximosLocales p) es la lista de las posiciones en las que hay un máximo local, con el valor correspondiente. Por ejemplo,

Soluciones

Diagonales secundarias de una matriz

Definir la función

tal que (diagonalesSecundarias p) es la lista de las diagonales secundarias de p. Por ejemplo, para la matriz

la lista de sus diagonales secundarias es

En Haskell,

Soluciones

Distancia de Hamming

Enunciado

Soluciones

Buscaminas

Enunciado

Soluciones

Referencia

El ejercicio está basado en Minesweeper de UVa Online Judge.