Conjunto de primos relativos

Dos números enteros positivos son primos relativos si no tienen ningún factor primo en común; es decit, si 1 es su único divisor común. Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3.

Definir la función

tal que (primosRelativos xs) se verifica si los elementos de xs son primos relativos dos a dos. Por ejemplo,

Soluciones

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

  • En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

La sucesión ECG

La sucesión ECG estás definida por a(1) = 1, a(2) = 2 y, para n >= 3, a(n) es el menor natural que aún no está en la sucesión tal que a(n) tiene algún divisor común con a(n-1).

Los primeros términos de la sucesión son 1, 2, 4, 6, 3, 9, 12, 8, 10, 5, 15, …

Al dibujar su gráfica, se parece a la de los electrocardiogramas (abreviadamente, ECG). Por ello, la sucesión se conoce como la sucesión ECG.

Definir las funciones

tales que

  • sucECG es la lista de los términos de la sucesión ECG. Por ejemplo,

  • (graficaSucECG n) dibuja la gráfica de los n primeros términos de la sucesión ECG. Por ejemplo, (graficaSucECG 160) dibuja

Soluciones

Conjetura de las familias estables por uniones

La conjetura de las familias estables por uniones fue planteada por Péter Frankl en 1979 y aún sigue abierta.

Una familia de conjuntos es estable por uniones si la unión de dos conjuntos cualesquiera de la familia pertenece a la familia. Por ejemplo, {∅, {1}, {2}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3}} es estable por uniones; pero {{1}, {2}, {1,3}, {1,2,3}} no lo es.

La conjetura afirma que toda familia no vacía estable por uniones y distinta de {∅} posee algún elemento que pertenece al menos a la mitad de los conjuntos de la familia.

Definir las funciones

tales que

  • (esEstable f) se verifica si la familia f es estable por uniones. Por ejemplo,

  • (familiasEstables c) es el conjunto de las familias estables por uniones formadas por elementos del conjunto c. Por ejemplo,

  • (mayoritarios f) es la lista de elementos que pertenecen al menos a la mitad de los conjuntos de la familia f. Por ejemplo,

  • (conjeturaFrankl n) se verifica si para toda familia f formada por elementos del conjunto {1,2,…,n} no vacía, estable por uniones y distinta de {∅} posee algún elemento que pertenece al menos a la mitad de los conjuntos de f. Por ejemplo.

Soluciones

Otras soluciones

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La mayor potencia de dos no es divisor

Para cada número entero positivo n, se define el conjunto

de los números desde el 1 hasta n.

Definir la función

tal que (mayorPotenciaDeDosEnS n) es la mayor potencia de 2 en S(n). Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que la mayor potencia de 2 en S(n) no divide a ningún otro elemento de S(n).

Soluciones

Referencia

Pensamiento

¡Sólo tu figura,
como una centella blanca,
en mi noche oscura.

Antonio Machado

Número de emparejamientos de amigos

El problema del número de emparejamiento de amigos consiste en calcular el número de formas de emparejar n amigos teniendo en cuenta que cada uno puede permanecer soltero o puede ser emparejado con algún otro amigo y que cada amigo puede ser emparejado sólo una vez. Por ejemplo, los 4 posibles emparejamientos de 3 amigos son

Definir la función

tal que (nEmparejamientos n) es el número de formas de emparejar a los n amigos. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Toda la imaginería
que no ha brotado del río,
barata bisutería.

Antonio Machado