Números con todos sus dígitos primos

Definir la lista

cuyos elementos son los números con todos sus dígitos primos. Por ejemplo,

Soluciones

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La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Representación de Zeckendorf

Los primeros números de Fibonacci son

tales que los dos primeros son iguales a 1 y los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.

El teorema de Zeckendorf establece que todo entero positivo n se puede representar, de manera única, como la suma de números de Fibonacci no consecutivos decrecientes. Dicha suma se llama la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo, la representación de Zeckendorf de 100 es

Hay otras formas de representar 100 como sumas de números de Fibonacci; por ejemplo,

pero no son representaciones de Zeckendorf porque 1 y 2 son números de Fibonacci consecutivos, al igual que 34 y 55.

Definir la función

tal que (zeckendorf n) es la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo,

Soluciones

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La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Conjunto de primos relativos

Dos números enteros positivos son primos relativos si no tienen ningún factor primo en común; es decit, si 1 es su único divisor común. Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3.

Definir la función

tal que (primosRelativos xs) se verifica si los elementos de xs son primos relativos dos a dos. Por ejemplo,

Soluciones

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La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

  • En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Conjetura de las familias estables por uniones

La conjetura de las familias estables por uniones fue planteada por Péter Frankl en 1979 y aún sigue abierta.

Una familia de conjuntos es estable por uniones si la unión de dos conjuntos cualesquiera de la familia pertenece a la familia. Por ejemplo, {∅, {1}, {2}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3}} es estable por uniones; pero {{1}, {2}, {1,3}, {1,2,3}} no lo es.

La conjetura afirma que toda familia no vacía estable por uniones y distinta de {∅} posee algún elemento que pertenece al menos a la mitad de los conjuntos de la familia.

Definir las funciones

tales que

  • (esEstable f) se verifica si la familia f es estable por uniones. Por ejemplo,

  • (familiasEstables c) es el conjunto de las familias estables por uniones formadas por elementos del conjunto c. Por ejemplo,

  • (mayoritarios f) es la lista de elementos que pertenecen al menos a la mitad de los conjuntos de la familia f. Por ejemplo,

  • (conjeturaFrankl n) se verifica si para toda familia f formada por elementos del conjunto {1,2,…,n} no vacía, estable por uniones y distinta de {∅} posee algún elemento que pertenece al menos a la mitad de los conjuntos de f. Por ejemplo.

Soluciones

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Cliques de un grafo

Nota: En este ejercicio usaremos las mismas notaciones que en el anterior importando el módulo Grafo.

Un clique (en español, pandilla) de un grafo g es un conjunto de nodos de g tal que todos sus elementos están conectados en g.

Definir las funciones

tales que

  • (esClique g xs) se verifica si el conjunto de nodos xs del grafo g es un clique de g. Por ejemplo,

  • (cliques g) es la lista de los cliques del grafo g. Por ejemplo,

Nota: Escribir la solución en el módulo Cliques para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

Soluciones

Otras soluciones

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Pensamiento

«Para enseñar de manera efectiva, un profesor debe desarrollar un sentimiento por su asignatura; no puede hacer que sus alumnos sientan su vitalidad si no la siente él mismo. No puede compartir su entusiasmo cuando no tiene entusiasmo que compartir. La forma en que expone su tema puede ser tan importante como el tema que expone; debe sentir personalmente que es importante.»

George Pólya.

Evaluación de FNC (fórmulas en forma normal conjuntiva)

Una FNC (fórmula en forma normal conjuntiva) es una conjunción de cláusulas, donde una cláusula es una disyunción de literales y un literal es un átomo o su negación. Por ejemplo,

es una FNC con tres clásulas tales que la primera cláusula tiene 2 literales (x(1) y -x(3)), la segunda tiene 1 (x(2)) y la tercera tiene 3 (-x(2), x(3) y x(1)).

Usaremos las siguientes representaciones:

  • Los átomos se representan por enteros positivos. Por ejemplo, 3 representa x(3).
  • Los literales se representan por enteros. Por ejemplo, 3 representa el literal positivo x(3) y -5 el literal negativo -x(5).
  • Una cláusula es una lista de literales que representa la disyunción se sus literales. Por ejemplo, [3,2,-4] representa a (x(3) v x(2) v -x(4)).
  • Una fórmula en forma normal conjuntiva (FNC) es una lista de cláusulas que representa la conjunción de sus cláusulas. Por ejemplo, [[3,2],[-1,2,5]] representa a ((x(3) v x(2)) & (-x(1) v x(2) v x(5))).

Una interpretación I es un conjunto de átomos. Se supone que los átomos de I son verdaderos y los restantes son falsos. Por ejemplo, en la interpretación [2,5]

  • el literal x(2) es verdadero (porque 2 ∈ [2,5])
  • el literal x(3) es falso (porque 3 ∉ [2,5])
  • el literal -x(4) es verdadero (porque 4 ∉ [2,5])
  • la cláusula (x(2) v x(3)) es verdadera (porque x(2) es verdadero)
  • la cláusula (x(3) v x(4)) es falsa (porque x(3) y x(4) son falsos)
  • la FNC ((x(2) v x(5)) & (-x(4) v x(3)) es verdadera porque lo son sus dos cláusulas

En el ejercicio se usarán los siguientes tipos de datos

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (valorLiteral i l) es el valor del literal l en la interpretación i. Por ejemplo,

  • (valorClausula i c) es el valor de la cláusula c en la interpretación i. Por ejemplo,

  • (valor i f) es el valor de la fórmula en FNC f en la interpretación i. Por ejemplo,

Nota: Escribir la solución en el módulo Evaluacion_de_FNC para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

Soluciones

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Pensamiento

«Todo buen matemático es al menos medio filósofo, y todo buen filósofo es al menos medio matemático.»

Gottlob Frege.

Menor divisible por todos

Definir la función

tal que (menorDivisible a b) es el menor número divisible por todos los números desde a hasta b, ambos inclusive. Por ejemplo,

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 5 del Proyecto Euler

Soluciones

Pensamiento

Será el peor de los malos
bribón que olvide
su vocación de diablo.

Antonio Machado

Conjetura de las familias estables por uniones

La conjetura de las familias estables por uniones fue planteada por Péter Frankl en 1979 y aún sigue abierta.

Una familia de conjuntos es estable por uniones si la unión de dos conjuntos cualesquiera de la familia pertenece a la familia. Por ejemplo, {∅, {1}, {2}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3}} es estable por uniones; pero {{1}, {2}, {1,3}, {1,2,3}} no lo es.

La conjetura afirma que toda familia no vacía estable por uniones y distinta de {∅} posee algún elemento que pertenece al menos a la mitad de los conjuntos de la familia.

Definir las funciones

tales que

  • (esEstable f) se verifica si la familia f es estable por uniones. Por ejemplo,

  • (familiasEstables c) es el conjunto de las familias estables por uniones formadas por elementos del conjunto c. Por ejemplo,

  • (mayoritarios f) es la lista de elementos que pertenecen al menos a la mitad de los conjuntos de la familia f. Por ejemplo,

  • (conjeturaFrankl n) se verifica si para toda familia f formada por elementos del conjunto {1,2,…,n} no vacía, estable por uniones y distinta de {∅} posee algún elemento que pertenece al menos a la mitad de los conjuntos de f. Por ejemplo.

Soluciones

Pensamiento

Pero tampoco es razón
desdeñar
consejo que es confesión.

Antonio Machado

Números altamente compuestos

Un número altamente compuesto es un entero positivo con más divisores que cualquier entero positivo más pequeño. Por ejemplo,

  • 4 es un número altamente compuesto porque es el menor con 3 divisores,
  • 5 no es altamente compuesto porque tiene menos divisores que 4 y
  • 6 es un número altamente compuesto porque es el menor con 4 divisores,

Los primeros números altamente compuestos son

Definir las funciones

tales que

  • (esAltamanteCompuesto x) se verifica si x es altamente compuesto. Por ejemplo,

  • altamente compuestos es la sucesión de los números altamente compuestos. Por ejemplo,

  • (graficaAltamenteCompuestos n) dibuja la gráfica de los n primeros números altamente compuestos. Por ejemplo, (graficaAltamenteCompuestos 25) dibuja

Soluciones

Pensamiento

Nuestras horas son minutos
cuando esperamos saber,
y siglos cuando sabemos
lo que se puede aprender.

Antonio Machado

Reconocimiento de conmutatividad

Para representar las operaciones binarias en un conjunto finito A con n elementos se pueden numerar sus elementos desde el 0 al n-1. Entonces cada operación binaria en A se puede ver como una lista de listas xss tal que el valor de aplicar la operación a los elementos i y j es el j-ésimo elemento del i-ésimo elemento de xss. Por ejemplo, si A = {0,1,2} entonces las tabla de la suma y de la resta módulo 3 en A son

Definir la función

tal que (conmutativa xss) se verifica si la operación cuya tabla es xss es conmutativa. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

«Nuestras horas son minutos cuando esperamos saber, y siglos cuando
sabemos lo que se puede aprender.»

Antonio Machado

Menor contenedor de primos

El n-ésimo menor contenenedor de primos es el menor número que contiene como subcadenas los primeros n primos. Por ejemplo, el 6º menor contenedor de primos es 113257 ya que es el menor que contiene como subcadenas los 6 primeros primos (2, 3, 5, 7, 11 y 13).

Definir la función

tal que (menorContenedor n) es el n-ésimo menor contenenedor de primos. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

¡Ya hay hombres activos!
Soñaba la charca
con sus mosquitos.

Antonio Machado

Números colinas

Se dice que un número natural n es una colina si su primer dígito es igual a su último dígito, los primeros dígitos son estrictamente creciente hasta llegar al máximo, el máximo se puede repetir y los dígitos desde el máximo al final son estrictamente decrecientes.

Definir la función

tal que (esColina n) se verifica si n es un número colina. Por ejemplo,

Soluciones

Referencia

Basado en el problema Is this number a hill number? de Code Golf

Pensamiento

Si me tengo que morir
poco me importa aprender.
Y si no puedo saber,
poco me importa vivir.

Antonio Machado

Relación definida por una partición

Dos elementos están relacionados por una partición xss si pertenecen al mismo elemento de xss.

Definir la función

tal que (relacionados xss y z) se verifica si los elementos y y z están relacionados por la partición xss. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

No hay lío político que no sea un trueque, una confusión de máscaras, un mal ensayo de comedia, en que nadie sabe su papel.

Antonio Machado

Reconocimiento de particiones

Una partición de un conjunto es una división del mismo en subconjuntos disjuntos no vacíos.

Definir la función

tal que (esParticion xss) se verifica si xss es una partición; es decir sus elementos son listas no vacías disjuntas. Por ejemplo.

Soluciones

Pensamiento

Sentía los cuatro vientos,
en la encrucijada
de su pensamiento.

Antonio Machado

Listas equidigitales

Una lista de números naturales es equidigital si todos sus elementos tienen el mismo número de dígitos.

Definir la función

tal que (equidigital xs) se verifica si xs es una lista equidigital. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Se miente más de la cuenta
por falta de fantasía:
también la verdad se inventa.

Antonio Machado

Vértices de un cuadrado

Definir la función

tal que (esCuadrado p q r s) se verifica si los puntos p, q, r y s son los vértices de un cuadrado. Por ejemplo,

Soluciones

Conjunto de funciones entre dos conjuntos

Una función f entre dos conjuntos A e B se puede representar mediante una lista de pares de AxB tales que para cada elemento a de A existe un único elemento b de B tal que (a,b) pertenece a f. Por ejemplo,

  • [(1,2),(3,6)] es una función de [1,3] en [2,4,6];
  • [(1,2)] no es una función de [1,3] en [2,4,6], porque no tiene ningún par cuyo primer elemento sea igual a 3;
  • [(1,2),(3,6),(1,4)] no es una función porque hay dos pares distintos cuya primera coordenada es 1.

Definir las funciones

tales que

  • (funciones xs ys) es el conjunto de las funciones del conjunto xs en el conjunto ys. Por ejemplo,

  • (nFunciones xs ys) es el número de funciones del conjunto xs en el conjunto ys. Por ejemplo,

Soluciones