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Perímetro más frecuente de triángulos rectángulos

José A. Alonso,

El grado perimetral de un número p es la cantidad de tres triángulos rectángulos de lados enteros cuyo perímetro es p. Por ejemplo, el grado perimetral de 120 es 3 ya que sólo hay 3 triángulos rectángulos de lados enteros cuyo perímetro es 120: {20,48,52}, {24,45,51} y {30,40,50}.

Definir la función

   maxGradoPerimetral :: Int -> (Int,[Int])

tal que (maxGradoPerimetral n) es el par (m,ps) tal que m es el máximo grado perimetral de los números menores o iguales que n y ps son los perímetros, menores o iguales que n, cuyo grado perimetral es m. Por ejemplo,

   maxGradoPerimetral   50  ==  (1,[12,24,30,36,40,48])
   maxGradoPerimetral  100  ==  (2,[60,84,90])
   maxGradoPerimetral  200  ==  (3,[120,168,180])
   maxGradoPerimetral  400  ==  (4,[240,360])
   maxGradoPerimetral  500  ==  (5,[420])
   maxGradoPerimetral  750  ==  (6,[720])
   maxGradoPerimetral  839  ==  (6,[720])
   maxGradoPerimetral  840  ==  (8,[840])
   maxGradoPerimetral 1500  ==  (8,[840,1260])
   maxGradoPerimetral 2000  ==  (10,[1680])
   maxGradoPerimetral 3000  ==  (12,[2520])

Soluciones

import Data.List
import Data.Array (accumArray, assocs)
 
-- 1ª solución                                                      --
-- ===========
 
maxGradoPerimetral1 :: Int -> (Int,[Int])
maxGradoPerimetral1 p = (m,[x | (n,x) <- ts, n == m])
    where ts    = [(length (triangulos x),x) | x <- [1..p]] 
          (m,_) = maximum ts 
 
-- (triangulos p) es el conjunto de triángulos rectángulos de perímetro
-- p. Por ejemplo,
--    triangulos 120  ==  [(20,48,52),(24,45,51),(30,40,50)]
triangulos :: Int -> [(Int,Int,Int)]
triangulos p = 
    [(a,b,c) | a <- [1..q],
               b <- [a..q],
               let c = p-a-b,
               a*a+b*b == c*c]
    where q = p `div` 2
 
-- 2ª solución                                                      --
-- ===========
 
maxGradoPerimetral2 :: Int -> (Int,[Int])
maxGradoPerimetral2 p = (m,[x | (n,x) <- ts, n == m])
    where ts    = [(n,x) | (x,n) <- numeroPerimetrosTriangulos p, n > 0]
          (m,_) = maximum ts 
 
-- (numeroPerimetrosTriangulos p) es la lista formado por los números de
-- 1 a p y la cantidad de triángulos rectángulos enteros cuyo perímetro
-- es dicho número. Por ejemplo,
--    ghci>  [(p,n) | (p,n) <- numeroPerimetrosTriangulos 70, n > 0]
--    [(12,1),(24,1),(30,1),(36,1),(40,1),(48,1),(56,1),(60,2),(70,1)]
numeroPerimetrosTriangulos :: Int -> [(Int,Int)] 
numeroPerimetrosTriangulos p = 
    assocs (accumArray (\x _ -> 1+x) 0 (1,p) (perimetrosTriangulos p))
 
-- (perimetrosTriangulos p) es la lista formada por los perímetros y los
-- lados de los triángulos rectángulos enteros cuyo perímetro es menor o
-- igual que p. Por ejemplo,
--    ghci> perimetrosTriangulos 70
--    [(12,(3,4,5)),   (30,(5,12,13)),(24,(6,8,10)),  (56,(7,24,25)),
--     (40,(8,15,17)), (36,(9,12,15)),(60,(10,24,26)),(48,(12,16,20)),
--     (60,(15,20,25)),(70,(20,21,29))]
perimetrosTriangulos :: Int -> [(Int,(Int,Int,Int))]
perimetrosTriangulos p =
    [(q,(a,b,c)) | a <- [1..p1],
                   b <- [a..p1],
                   esCuadrado (a*a+b*b), 
                   let c = raizCuadradaE (a*a+b*b), 
                   let q = a+b+c,
                   q <= p]
    where p1 = p `div` 2
 
-- (esCuadrado n) se verifica si n es un cuadrado. Por ejemplo,
--    esCuadrado 25  ==  True
--    esCuadrado 27  ==  False
esCuadrado :: Int -> Bool
esCuadrado n = a*a == n
    where a = raizCuadradaE n
 
-- (raizCuadradaE n) es la raíz cuadrada entera de n. Por ejemplo,
--    raizCuadradaE 25  ==  5
--    raizCuadradaE 27  ==  5
--    raizCuadradaE 35  ==  5
--    raizCuadradaE 36  ==  6
raizCuadradaE :: Int -> Int
raizCuadradaE = floor . sqrt . fromIntegral
 
-- 3ª solución                                                      --
-- ===========
 
maxGradoPerimetral3 :: Int -> (Int,[Int])
maxGradoPerimetral3 p = (m,[x | (n,x) <- ts, n == m])
    where ts    = [(n,x) | (x,n) <- numeroPerimetrosTriangulos2 p, n > 0]
          (m,_) = maximum ts 
 
-- (numeroPerimetrosTriangulos2 p) es la lista formado por los números de
-- 1 a p y la cantidad de triángulos rectángulos enteros cuyo perímetro
-- es dicho número. Por ejemplo,
--    ghci>  [(p,n) | (p,n) <- numeroPerimetrosTriangulos2 70, n > 0]
--    [(12,1),(24,1),(30,1),(36,1),(40,1),(48,1),(56,1),(60,2),(70,1)]
numeroPerimetrosTriangulos2 :: Int -> [(Int,Int)] 
numeroPerimetrosTriangulos2 p = 
    [(head xs, length xs) | xs <- group (sort (perimetrosTriangulos2 p))]
 
-- (perimetrosTriangulos2 p) es la lista formada por los perímetros de
-- los triángulos rectángulos enteros cuyo perímetro es menor o igual
-- que p. Por ejemplo, 
--    perimetrosTriangulos2 70  ==  [12,30,24,56,40,36,60,48,60,70]
perimetrosTriangulos2 :: Int -> [Int]
perimetrosTriangulos2 p =
    [q | a <- [1..p1],
         b <- [a..p1],
         esCuadrado (a*a+b*b), 
         let c = raizCuadradaE (a*a+b*b), 
         let q = a+b+c,
         q <= p]
    where p1 = p `div` 2
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    ghci> maxGradoPerimetral1 1000
--    (8,[840])
--    (120.08 secs, 21116625136 bytes)
--    ghci> maxGradoPerimetral2 1000
--    (8,[840])
--    (0.66 secs, 132959056 bytes)
--    ghci> maxGradoPerimetral3 1000
--    (1000,[1])
--    (0.66 secs, 133443816 bytes)
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3 Comments

  1. josejuan
    Responder 
    import qualified Data.Map as M
 
-- http://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_integers#Generating_all_coprime_pairs
-- z >= m > n, m - n impar, coprimos
coprimos :: Integer -> [(Integer, Integer)]
coprimos z = w (2, 1)
    where w p@(m, n) | m > z     =  []
                     | otherwise = p: w (m+m-n, m) ++
                                      w (m+m+n, m) ++
                                      w (m+n+n, n)
 
-- perímetros de los triángulos primitivos
-- http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Generating_a_triple
-- z >= c > b > a
periprimitivos :: Integer -> [Integer]
periprimitivos z = [2 * m^2 + 2 * m * n | (m, n) <- coprimos z]
 
-- perímetros primitivos y múltiplos <= z
perimetros :: Integer -> [Integer]
perimetros z = [k * p | p <- periprimitivos z, k <- [1..z `div` p]]
 
-- agrupación y conteo
maxGradoPerimetral :: Integer -> (Int, [Integer])
maxGradoPerimetral z = head $ 
    M.toDescList $ M.fromListWith (++) $ map ((p, g) -> (g, [p])) $
    M.toList     $ M.fromListWith (+)  $ zip (perimetros z) [1,1..]
  2. M Miranda
    Responder 
    maxGradoPerimetral n = (m,ps)
    where m  = maximum [gradoP x | x <- [1..n]]
          ps = [x | x <- [1..n], gradoP x == m]
 
esRectangulo a b c = a^2 == b^2 + c^2
 
gradoP n = length [(a,b,c) | a <- [1..n], b <- [a..n], c <- [b..n],
                             esRectangulo c b a,
                             a + b + c == n]
  3. Pedro Martín Chávez
    Responder 
    maxGradoPerimetral :: Int -> (Int,[Int])
maxGradoPerimetral n = (m,ps)
    where m = (maximum . map fst . gradosPerimetrales) n
          ps = [y | (x,y) <- gradosPerimetrales n, x == m]
 
gradosPerimetrales :: Int -> [(Int,Int)]
gradosPerimetrales n =
    [(length [(a,b,k-a-b)| a <- [1..div k 3],
                           b <- takeWhile (x -> 2*x <= k-a) [a..],
                           (k-a-b)^2 == a^2 + b^2],
      k) | k <- [1..n]]

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