Exercitium

El problema de las n reinas (mediante búsqueda por anchura en espacios de estados)

PorJosé A. Alonso 3-julio-202328-junio-2023

El problema de las n reinas consiste en colocar n reinas en un tablero cuadrado de dimensiones n por n de forma que no se encuentren más de una en la misma línea: horizontal, vertical o diagonal.

Las posiciones de las reinas en el tablero se representan por su columna y su fila.

   type Columna = Int
   type Fila    = Int

1 2	type Columna = Int type Fila = Int

Una solución del problema de las n reinas es una lista de posiciones.

   type SolNR = [(Columna,Fila)]

1	type SolNR = [(Columna,Fila)]

Usando el procedimiento de búsqueda en anchura, definir las funciones

   solucionesNR      :: Columna -> [SolNR]
   primeraSolucionNR :: Columna -> SolNR
   nSolucionesNR     :: Columna -> Int

solucionesNR :: Columna -> [SolNR]

primeraSolucionNR :: Columna -> SolNR

nSolucionesNR :: Columna -> Int

tales que

solucionesNR n es la lista de las soluciones del problema de las n reinas, por búsqueda de espacio de estados en anchura. Por ejemplo,

     take 3 (solucionesNR 8)
     [[(1,8),(2,4),(3,1),(4,3),(5,6),(6,2),(7,7),(8,5)],
      [(1,8),(2,3),(3,1),(4,6),(5,2),(6,5),(7,7),(8,4)],
      [(1,8),(2,2),(3,5),(4,3),(5,1),(6,7),(7,4),(8,6)]]

take 3 (solucionesNR 8)

[[(1,8),(2,4),(3,1),(4,3),(5,6),(6,2),(7,7),(8,5)],

[(1,8),(2,3),(3,1),(4,6),(5,2),(6,5),(7,7),(8,4)],

[(1,8),(2,2),(3,5),(4,3),(5,1),(6,7),(7,4),(8,6)]]

primeraSolucionNR n es la primera solución del problema de las n reinas, por búsqueda en espacio de estados por anchura. Por ejemplo,

     λ> primeraSolucionNR 8
     [(1,8),(2,4),(3,1),(4,3),(5,6),(6,2),(7,7),(8,5)]

1 2	λ> primeraSolucionNR 8 [(1,8),(2,4),(3,1),(4,3),(5,6),(6,2),(7,7),(8,5)]

nSolucionesNR n es el número de soluciones del problema de las n reinas, por búsqueda en espacio de estados. Por ejemplo,

     nSolucionesNR 8  ==  92

1	nSolucionesNR 8 == 92

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

module BEE_Reinas_Anchura where

import BusquedaEnAnchura (buscaAnchura)
import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe)

type Columna = Int
type Fila    = Int
type SolNR = [(Columna,Fila)]

-- Los nodos del problema de las n reinas son ternas formadas por la
-- columna de la última reina colocada, el número de columnas del
-- tablero y la solución parcial de las reinas colocadas anteriormente.
type NodoNR = (Columna,Columna,SolNR)

solucionesNR :: Columna -> [SolNR]
solucionesNR n =
  map estado (buscaAnchura sucesoresNR esFinalNR (1,n,[]))
  where
    estado (_,_,e) = e

primeraSolucionNR :: Columna -> SolNR
primeraSolucionNR =
  head . solucionesNR

nSolucionesNR :: Columna -> Int
nSolucionesNR =
  length . solucionesNR

-- (valida sp p) se verifica si la posición p es válida respecto de la
-- solución parcial sp; es decir, la reina en la posición p no amenaza a
-- ninguna de las reinas de la sp (se supone que están en distintas
-- columnas). Por ejemplo,
--    valida [(1,1)] (2,2)  ==  False
--    valida [(1,1)] (2,3)  ==  True
valida :: SolNR -> (Columna,Fila) -> Bool
valida solp (c,r) = and [test s | s <- solp]
  where test (c',r') = c'+r'/=c+r && c'-r'/=c-r && r'/=r

-- (sucesoresNR e) es la lista de los sucesores del estado e en el
-- problema de las n reinas. Por ejemplo,
--    λ> sucesoresNR (1,4,[])
--    [(2,4,[(1,1)]),(2,4,[(1,2)]),(2,4,[(1,3)]),(2,4,[(1,4)])]
sucesoresNR :: NodoNR -> [NodoNR]
sucesoresNR (c,n,solp) =
  [(c+1,n,solp ++ [(c,r)]) | r <- [1..n] , valida solp (c,r)]

-- (esFinalNR e) se verifica si e es un estado final del problema de las
-- n reinas.
esFinalNR :: NodoNR -> Bool
esFinalNR (c,n,_) = c > n

-- Verificación
-- ============

verifica :: IO ()
verifica = hspec spec

spec :: Spec
spec = do
  it "e1" $
    take 3 (solucionesNR 8) `shouldBe`
    [[(1,8),(2,4),(3,1),(4,3),(5,6),(6,2),(7,7),(8,5)],
     [(1,8),(2,3),(3,1),(4,6),(5,2),(6,5),(7,7),(8,4)],
     [(1,8),(2,2),(3,5),(4,3),(5,1),(6,7),(7,4),(8,6)]]
  it "e2" $
    nSolucionesNR 8 `shouldBe` 92

-- La verificación es
--    λ> verifica
--
--    e1
--    e2
--
--    Finished in 0.2116 seconds
--    2 examples, 0 failures

module BEE_Reinas_Anchura where

import BusquedaEnAnchura (buscaAnchura)

import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe)

type Columna = Int

type Fila = Int

type SolNR = [(Columna,Fila)]

-- Los nodos del problema de las n reinas son ternas formadas por la

-- columna de la última reina colocada, el número de columnas del

-- tablero y la solución parcial de las reinas colocadas anteriormente.

type NodoNR = (Columna,Columna,SolNR)

solucionesNR :: Columna -> [SolNR]

solucionesNR n =

map estado (buscaAnchura sucesoresNR esFinalNR (1,n,[]))

where

estado (_,_,e) = e

primeraSolucionNR :: Columna -> SolNR

primeraSolucionNR =

head . solucionesNR

nSolucionesNR :: Columna -> Int

nSolucionesNR =

length . solucionesNR

-- (valida sp p) se verifica si la posición p es válida respecto de la

-- solución parcial sp; es decir, la reina en la posición p no amenaza a

-- ninguna de las reinas de la sp (se supone que están en distintas

-- columnas). Por ejemplo,

-- valida [(1,1)] (2,2) == False

-- valida [(1,1)] (2,3) == True

valida :: SolNR -> (Columna,Fila) -> Bool

valida solp (c,r) = and [test s | s <- solp]

where test (c',r') = c'+r'/=c+r && c'-r'/=c-r && r'/=r

-- (sucesoresNR e) es la lista de los sucesores del estado e en el

-- problema de las n reinas. Por ejemplo,

-- λ> sucesoresNR (1,4,[])

-- [(2,4,[(1,1)]),(2,4,[(1,2)]),(2,4,[(1,3)]),(2,4,[(1,4)])]

sucesoresNR :: NodoNR -> [NodoNR]

sucesoresNR (c,n,solp) =

[(c+1,n,solp ++ [(c,r)]) | r <- [1..n] , valida solp (c,r)]

-- (esFinalNR e) se verifica si e es un estado final del problema de las

-- n reinas.

esFinalNR :: NodoNR -> Bool

esFinalNR (c,n,_) = c > n

-- Verificación

-- ============

verifica :: IO ()

verifica = hspec spec

spec :: Spec

spec = do

it "e1" $

take 3 (solucionesNR 8) `shouldBe`

[[(1,8),(2,4),(3,1),(4,3),(5,6),(6,2),(7,7),(8,5)],

[(1,8),(2,3),(3,1),(4,6),(5,2),(6,5),(7,7),(8,4)],

[(1,8),(2,2),(3,5),(4,3),(5,1),(6,7),(7,4),(8,6)]]

it "e2" $

nSolucionesNR 8 `shouldBe` 92

-- La verificación es

-- λ> verifica

-- e1

-- e2

-- Finished in 0.2116 seconds

-- 2 examples, 0 failures

Soluciones en Python

from src.BusquedaEnAnchura import buscaAnchura

Columna = int
Fila = int
SolNR = list[tuple[Columna, Fila]]

# Los nodos del problema de las n reinas son ternas formadas por la
# columna de la última reina colocada, el número de columnas del
# tablero y la solución parcial de las reinas colocadas anteriormente.
NodoNR = tuple[Columna, Columna, SolNR]

# valida(sp, p) se verifica si la posición p es válida respecto de la
# solución parcial sp; es decir, la reina en la posición p no amenaza a
# ninguna de las reinas de la sp (se supone que están en distintas
# columnas). Por ejemplo,
#    valida([(1,1)], (2,2))  ==  False
#    valida([(1,1)], (2,3))  ==  True
def valida(sp: SolNR, p: tuple[Columna, Fila]) -> bool:
    c, r = p
    def test(s: tuple[Columna, Fila]) -> bool:
        c1, r1 = s
        return c1 + r1 != c + r and c1 - r1 != c - r and r1 != r

    return all(test(s) for s in sp)

# sucesoresNR(e) es la lista de los sucesores del estado e en el
# problema de las n reinas. Por ejemplo,
#    >>> sucesoresNR((1,4,[]))
#    [(2,4,[(1,1)]),(2,4,[(1,2)]),(2,4,[(1,3)]),(2,4,[(1,4)])]
def sucesoresNR (nd: NodoNR) -> list[NodoNR]:
    c,n,solp = nd
    return [(c+1,n,solp + [(c,r)]) for r in range(1, n+1) if valida(solp, (c,r))]

# esFinalNR(e) se verifica si e es un estado final del problema de las
# n reinas.
def esFinalNR(nd: NodoNR) -> bool:
    c, n, _ = nd
    return c > n

def solucionesNR(n: int) -> list[SolNR]:
    nInicial: NodoNR = (1,n,[])
    return [e for (_, _, e) in buscaAnchura(sucesoresNR,
                                            esFinalNR,
                                            nInicial)]

def primeraSolucionNR(n: int) -> SolNR:
    return solucionesNR(n)[0]

def nSolucionesNR(n: int) -> int:
    return len(solucionesNR(n))

# Verificación
# ============

def test_nReinas() -> None:
    assert solucionesNR(5)[:3] == \
        [[(1,1),(2,3),(3,5),(4,2),(5,4)],
         [(1,1),(2,4),(3,2),(4,5),(5,3)],
         [(1,2),(2,4),(3,1),(4,3),(5,5)]]
    assert nSolucionesNR(5) == 10
    print("Verificado")

# La verificación es
#    >>> test_nReinas()
#    Verificado

from src.BusquedaEnAnchura import buscaAnchura

Columna = int

Fila = int

SolNR = list[tuple[Columna, Fila]]

# Los nodos del problema de las n reinas son ternas formadas por la

# columna de la última reina colocada, el número de columnas del

# tablero y la solución parcial de las reinas colocadas anteriormente.

NodoNR = tuple[Columna, Columna, SolNR]

# valida(sp, p) se verifica si la posición p es válida respecto de la

# solución parcial sp; es decir, la reina en la posición p no amenaza a

# ninguna de las reinas de la sp (se supone que están en distintas

# columnas). Por ejemplo,

# valida([(1,1)], (2,2)) == False

# valida([(1,1)], (2,3)) == True

def valida(sp: SolNR, p: tuple[Columna, Fila]) -> bool:

c, r = p

def test(s: tuple[Columna, Fila]) -> bool:

c1, r1 = s

return c1 + r1 != c + r and c1 - r1 != c - r and r1 != r

return all(test(s) for s in sp)

# sucesoresNR(e) es la lista de los sucesores del estado e en el

# problema de las n reinas. Por ejemplo,

# >>> sucesoresNR((1,4,[]))

# [(2,4,[(1,1)]),(2,4,[(1,2)]),(2,4,[(1,3)]),(2,4,[(1,4)])]

def sucesoresNR (nd: NodoNR) -> list[NodoNR]:

c,n,solp = nd

return [(c+1,n,solp + [(c,r)]) for r in range(1, n+1) if valida(solp, (c,r))]

# esFinalNR(e) se verifica si e es un estado final del problema de las

# n reinas.

def esFinalNR(nd: NodoNR) -> bool:

c, n, _ = nd

return c > n

def solucionesNR(n: int) -> list[SolNR]:

nInicial: NodoNR = (1,n,[])

return [e for (_, _, e) in buscaAnchura(sucesoresNR,

esFinalNR,

nInicial)]

def primeraSolucionNR(n: int) -> SolNR:

return solucionesNR(n)[0]

def nSolucionesNR(n: int) -> int:

return len(solucionesNR(n))

# Verificación

# ============

def test_nReinas() -> None:

assert solucionesNR(5)[:3] == \

[[(1,1),(2,3),(3,5),(4,2),(5,4)],

[(1,1),(2,4),(3,2),(4,5),(5,3)],

[(1,2),(2,4),(3,1),(4,3),(5,5)]]

assert nSolucionesNR(5) == 10

print("Verificado")

# La verificación es

# >>> test_nReinas()

# Verificado

Búsqueda por anchura en espacios de estados

PorJosé A. Alonso 30-junio-202328-junio-2023

Las características de los problemas de espacios de estados son:

un conjunto de las posibles situaciones o nodos que constituye el espacio de estados (estos son las potenciales soluciones que se necesitan explorar),
un conjunto de movimientos de un nodo a otros nodos, llamados los sucesores del nodo,
un nodo inicial y
un nodo objetivo que es la solución.

Definir la función

   buscaAnchura :: Eq nodo => (nodo -> [nodo]) -> (nodo -> Bool)
                              -> nodo -> [nodo]

1 2	buscaAnchura :: Eq nodo => (nodo -> [nodo]) -> (nodo -> Bool) -> nodo -> [nodo]

tal que buscaAnchura s o e es la lista de soluciones del problema de espacio de estado definido por la función sucesores s, el objetivo o y estado inicial e obtenidas mediante búsqueda en anchura.

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

module BusquedaEnAnchura (buscaAnchura) where

import TAD.Cola (esVacia, inserta, primero, resto, vacia)

buscaAnchura :: Eq nodo => (nodo -> [nodo]) -> (nodo -> Bool)
                               -> nodo -> [nodo]
buscaAnchura sucesores esFinal inicial =
  aux (inserta inicial vacia)
  where
    aux p
      | esVacia p        = []
      | esFinal (primero p) = primero p : aux (resto p)
      | otherwise        = aux (foldr
                                inserta
                                (resto p)
                                (sucesores (primero p)))

module BusquedaEnAnchura (buscaAnchura) where

import TAD.Cola (esVacia, inserta, primero, resto, vacia)

buscaAnchura :: Eq nodo => (nodo -> [nodo]) -> (nodo -> Bool)

-> nodo -> [nodo]

buscaAnchura sucesores esFinal inicial =

aux (inserta inicial vacia)

where

aux p

| esVacia p = []

| esFinal (primero p) = primero p : aux (resto p)

| otherwise = aux (foldr

inserta

(resto p)

(sucesores (primero p)))

Soluciones en Python

from functools import reduce
from sys import setrecursionlimit
from typing import Callable, TypeVar

from src.TAD.cola import Cola, esVacia, inserta, primero, resto, vacia

A = TypeVar('A')

setrecursionlimit(10**6)

def buscaAnchura(sucesores: Callable[[A], list[A]],
                  esFinal: Callable[[A], bool],
                  inicial: A) -> list[A]:
    def aux(p: Cola[A]) -> list[A]:
        if esVacia(p):
            return []
        if esFinal(primero(p)):
            return [primero(p)] + aux(resto(p))
        return aux(reduce(lambda x, y: inserta(y, x),
                          sucesores(primero(p)),
                          resto(p)))

    return aux (inserta(inicial, vacia()))

from functools import reduce

from sys import setrecursionlimit

from typing import Callable, TypeVar

from src.TAD.cola import Cola, esVacia, inserta, primero, resto, vacia

A = TypeVar('A')

setrecursionlimit(10**6)

def buscaAnchura(sucesores: Callable[[A], list[A]],

esFinal: Callable[[A], bool],

inicial: A) -> list[A]:

def aux(p: Cola[A]) -> list[A]:

if esVacia(p):

return []

if esFinal(primero(p)):

return [primero(p)] + aux(resto(p))

return aux(reduce(lambda x, y: inserta(y, x),

sucesores(primero(p)),

resto(p)))

return aux (inserta(inicial, vacia()))

El problema de las n reinas (mediante búsqueda por profundidad en espacios de estados)

PorJosé A. Alonso 29-junio-202328-junio-2023

El problema de las n reinas consiste en colocar n reinas en un tablero cuadrado de dimensiones n por n de forma que no se encuentren más de una en la misma línea: horizontal, vertical o diagonal.

Las posiciones de las reinas en el tablero se representan por su columna y su fila.

   type Columna = Int
   type Fila    = Int

1 2	type Columna = Int type Fila = Int

Una solución del problema de las n reinas es una lista de posiciones.

   type SolNR = [(Columna,Fila)]

1	type SolNR = [(Columna,Fila)]

Usando el procedimiento de búsqueda en profundidad, definir las funciones

   solucionesNR      :: Columna -> [SolNR]
   primeraSolucionNR :: Columna -> SolNR
   nSolucionesNR     :: Columna -> Int

solucionesNR :: Columna -> [SolNR]

primeraSolucionNR :: Columna -> SolNR

nSolucionesNR :: Columna -> Int

tales que

solucionesNR n es la lista de las soluciones del problema de las n reinas, por búsqueda de espacio de estados en profundidad. Por ejemplo,

     take 3 (solucionesNR 8)
     [[(1,1),(2,5),(3,8),(4,6),(5,3),(6,7),(7,2),(8,4)],
      [(1,1),(2,6),(3,8),(4,3),(5,7),(6,4),(7,2),(8,5)],
      [(1,1),(2,7),(3,4),(4,6),(5,8),(6,2),(7,5),(8,3)]]

take 3 (solucionesNR 8)

[[(1,1),(2,5),(3,8),(4,6),(5,3),(6,7),(7,2),(8,4)],

[(1,1),(2,6),(3,8),(4,3),(5,7),(6,4),(7,2),(8,5)],

[(1,1),(2,7),(3,4),(4,6),(5,8),(6,2),(7,5),(8,3)]]

primeraSolucionNR n es la primera solución del problema de las n reinas, por búsqueda en espacio de estados por profundidad. Por ejemplo,

     λ> primeraSolucionNR 8
     [(1,1),(2,5),(3,8),(4,6),(5,3),(6,7),(7,2),(8,4)]

1 2	λ> primeraSolucionNR 8 [(1,1),(2,5),(3,8),(4,6),(5,3),(6,7),(7,2),(8,4)]

nSolucionesNR n es el número de soluciones del problema de las n reinas, por búsqueda en espacio de estados. Por ejemplo,

     nSolucionesNR 8  ==  92

1	nSolucionesNR 8 == 92

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

module BEE_Reinas_Profundidad where

import BusquedaEnProfundidad (buscaProfundidad)
import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe)

type Columna = Int
type Fila    = Int
type SolNR = [(Columna,Fila)]

-- Los nodos del problema de las n reinas son ternas formadas por la
-- columna de la última reina colocada, el número de columnas del
-- tablero y la solución parcial de las reinas colocadas anteriormente.
type NodoNR = (Columna,Columna,SolNR)

solucionesNR :: Columna -> [SolNR]
solucionesNR n =
  map estado (buscaProfundidad sucesoresNR esFinalNR (1,n,[]))
  where
    estado (_,_,e) = e

primeraSolucionNR :: Columna -> SolNR
primeraSolucionNR =
  head . solucionesNR

nSolucionesNR :: Columna -> Int
nSolucionesNR =
  length . solucionesNR

-- (valida sp p) se verifica si la posición p es válida respecto de la
-- solución parcial sp; es decir, la reina en la posición p no amenaza a
-- ninguna de las reinas de la sp (se supone que están en distintas
-- columnas). Por ejemplo,
--    valida [(1,1)] (2,2)  ==  False
--    valida [(1,1)] (2,3)  ==  True
valida :: SolNR -> (Columna,Fila) -> Bool
valida solp (c,r) = and [test s | s <- solp]
  where test (c',r') = c'+r'/=c+r && c'-r'/=c-r && r'/=r

-- (sucesoresNR e) es la lista de los sucesores del estado e en el
-- problema de las n reinas. Por ejemplo,
--    λ> sucesoresNR (1,4,[])
--    [(2,4,[(1,1)]),(2,4,[(1,2)]),(2,4,[(1,3)]),(2,4,[(1,4)])]
sucesoresNR :: NodoNR -> [NodoNR]
sucesoresNR (c,n,solp) =
  [(c+1,n,solp ++ [(c,r)]) | r <- [1..n] , valida solp (c,r)]

-- (esFinalNR e) se verifica si e es un estado final del problema de las
-- n reinas.
esFinalNR :: NodoNR -> Bool
esFinalNR (c,n,_) = c > n

-- Verificación
-- ============

verifica :: IO ()
verifica = hspec spec

spec :: Spec
spec = do
  it "e1" $
    take 3 (solucionesNR 8) `shouldBe`
    [[(1,1),(2,5),(3,8),(4,6),(5,3),(6,7),(7,2),(8,4)],
     [(1,1),(2,6),(3,8),(4,3),(5,7),(6,4),(7,2),(8,5)],
     [(1,1),(2,7),(3,4),(4,6),(5,8),(6,2),(7,5),(8,3)]]
  it "e2" $
    nSolucionesNR 8 `shouldBe` 92

-- La verificación es
--    λ> verifica
--
--    e1
--    e2
--
--    Finished in 0.1173 seconds
--    2 examples, 0 failures

module BEE_Reinas_Profundidad where

import BusquedaEnProfundidad (buscaProfundidad)

import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe)

type Columna = Int

type Fila = Int

type SolNR = [(Columna,Fila)]

-- Los nodos del problema de las n reinas son ternas formadas por la

-- columna de la última reina colocada, el número de columnas del

-- tablero y la solución parcial de las reinas colocadas anteriormente.

type NodoNR = (Columna,Columna,SolNR)

solucionesNR :: Columna -> [SolNR]

solucionesNR n =

map estado (buscaProfundidad sucesoresNR esFinalNR (1,n,[]))

where

estado (_,_,e) = e

primeraSolucionNR :: Columna -> SolNR

primeraSolucionNR =

head . solucionesNR

nSolucionesNR :: Columna -> Int

nSolucionesNR =

length . solucionesNR

-- (valida sp p) se verifica si la posición p es válida respecto de la

-- solución parcial sp; es decir, la reina en la posición p no amenaza a

-- ninguna de las reinas de la sp (se supone que están en distintas

-- columnas). Por ejemplo,

-- valida [(1,1)] (2,2) == False

-- valida [(1,1)] (2,3) == True

valida :: SolNR -> (Columna,Fila) -> Bool

valida solp (c,r) = and [test s | s <- solp]

where test (c',r') = c'+r'/=c+r && c'-r'/=c-r && r'/=r

-- (sucesoresNR e) es la lista de los sucesores del estado e en el

-- problema de las n reinas. Por ejemplo,

-- λ> sucesoresNR (1,4,[])

-- [(2,4,[(1,1)]),(2,4,[(1,2)]),(2,4,[(1,3)]),(2,4,[(1,4)])]

sucesoresNR :: NodoNR -> [NodoNR]

sucesoresNR (c,n,solp) =

[(c+1,n,solp ++ [(c,r)]) | r <- [1..n] , valida solp (c,r)]

-- (esFinalNR e) se verifica si e es un estado final del problema de las

-- n reinas.

esFinalNR :: NodoNR -> Bool

esFinalNR (c,n,_) = c > n

-- Verificación

-- ============

verifica :: IO ()

verifica = hspec spec

spec :: Spec

spec = do

it "e1" $

take 3 (solucionesNR 8) `shouldBe`

[[(1,1),(2,5),(3,8),(4,6),(5,3),(6,7),(7,2),(8,4)],

[(1,1),(2,6),(3,8),(4,3),(5,7),(6,4),(7,2),(8,5)],

[(1,1),(2,7),(3,4),(4,6),(5,8),(6,2),(7,5),(8,3)]]

it "e2" $

nSolucionesNR 8 `shouldBe` 92

-- La verificación es

-- λ> verifica

-- e1

-- e2

-- Finished in 0.1173 seconds

-- 2 examples, 0 failures

Soluciones en Python

from src.BusquedaEnProfundidad import buscaProfundidad

Columna = int
Fila = int
SolNR = list[tuple[Columna, Fila]]

# Los nodos del problema de las n reinas son ternas formadas por la
# columna de la última reina colocada, el número de columnas del
# tablero y la solución parcial de las reinas colocadas anteriormente.
NodoNR = tuple[Columna, Columna, SolNR]

# valida(sp, p) se verifica si la posición p es válida respecto de la
# solución parcial sp; es decir, la reina en la posición p no amenaza a
# ninguna de las reinas de la sp (se supone que están en distintas
# columnas). Por ejemplo,
#    valida([(1,1)], (2,2))  ==  False
#    valida([(1,1)], (2,3))  ==  True
def valida(sp: SolNR, p: tuple[Columna, Fila]) -> bool:
    c, r = p
    def test(s: tuple[Columna, Fila]) -> bool:
        c1, r1 = s
        return c1 + r1 != c + r and c1 - r1 != c - r and r1 != r

    return all(test(s) for s in sp)

# sucesoresNR(e) es la lista de los sucesores del estado e en el
# problema de las n reinas. Por ejemplo,
#    >>> sucesoresNR((1,4,[]))
#    [(2,4,[(1,1)]),(2,4,[(1,2)]),(2,4,[(1,3)]),(2,4,[(1,4)])]
def sucesoresNR (nd: NodoNR) -> list[NodoNR]:
    c,n,solp = nd
    return [(c+1,n,solp + [(c,r)]) for r in range(1, n+1) if valida(solp, (c,r))]

# esFinalNR(e) se verifica si e es un estado final del problema de las
# n reinas.
def esFinalNR(nd: NodoNR) -> bool:
    c, n, _ = nd
    return c > n

def solucionesNR(n: int) -> list[SolNR]:
    nInicial: NodoNR = (1,n,[])
    return [e for (_, _, e) in buscaProfundidad(sucesoresNR,
                                                esFinalNR,
                                                nInicial)]

def primeraSolucionNR(n: int) -> SolNR:
    return solucionesNR(n)[0]

def nSolucionesNR(n: int) -> int:
    return len(solucionesNR(n))

# Verificación
# ============

def test_nReinas() -> None:
    assert solucionesNR(8)[:3] == \
        [[(1,8),(2,4),(3,1),(4,3),(5,6),(6,2),(7,7),(8,5)],
         [(1,8),(2,3),(3,1),(4,6),(5,2),(6,5),(7,7),(8,4)],
         [(1,8),(2,2),(3,5),(4,3),(5,1),(6,7),(7,4),(8,6)]]
    assert nSolucionesNR(8) == 92
    print("Verificado")

# La verificación es
#    >>> test_nReinas()
#    Verificado

from src.BusquedaEnProfundidad import buscaProfundidad

Columna = int

Fila = int

SolNR = list[tuple[Columna, Fila]]

# Los nodos del problema de las n reinas son ternas formadas por la

# columna de la última reina colocada, el número de columnas del

# tablero y la solución parcial de las reinas colocadas anteriormente.

NodoNR = tuple[Columna, Columna, SolNR]

# valida(sp, p) se verifica si la posición p es válida respecto de la

# solución parcial sp; es decir, la reina en la posición p no amenaza a

# ninguna de las reinas de la sp (se supone que están en distintas

# columnas). Por ejemplo,

# valida([(1,1)], (2,2)) == False

# valida([(1,1)], (2,3)) == True

def valida(sp: SolNR, p: tuple[Columna, Fila]) -> bool:

c, r = p

def test(s: tuple[Columna, Fila]) -> bool:

c1, r1 = s

return c1 + r1 != c + r and c1 - r1 != c - r and r1 != r

return all(test(s) for s in sp)

# sucesoresNR(e) es la lista de los sucesores del estado e en el

# problema de las n reinas. Por ejemplo,

# >>> sucesoresNR((1,4,[]))

# [(2,4,[(1,1)]),(2,4,[(1,2)]),(2,4,[(1,3)]),(2,4,[(1,4)])]

def sucesoresNR (nd: NodoNR) -> list[NodoNR]:

c,n,solp = nd

return [(c+1,n,solp + [(c,r)]) for r in range(1, n+1) if valida(solp, (c,r))]

# esFinalNR(e) se verifica si e es un estado final del problema de las

# n reinas.

def esFinalNR(nd: NodoNR) -> bool:

c, n, _ = nd

return c > n

def solucionesNR(n: int) -> list[SolNR]:

nInicial: NodoNR = (1,n,[])

return [e for (_, _, e) in buscaProfundidad(sucesoresNR,

esFinalNR,

nInicial)]

def primeraSolucionNR(n: int) -> SolNR:

return solucionesNR(n)[0]

def nSolucionesNR(n: int) -> int:

return len(solucionesNR(n))

# Verificación

# ============

def test_nReinas() -> None:

assert solucionesNR(8)[:3] == \

[[(1,8),(2,4),(3,1),(4,3),(5,6),(6,2),(7,7),(8,5)],

[(1,8),(2,3),(3,1),(4,6),(5,2),(6,5),(7,7),(8,4)],

[(1,8),(2,2),(3,5),(4,3),(5,1),(6,7),(7,4),(8,6)]]

assert nSolucionesNR(8) == 92

print("Verificado")

# La verificación es

# >>> test_nReinas()

# Verificado

Búsqueda en espacios de estados por profundidad

PorJosé A. Alonso 28-junio-202327-junio-2023

Las características de los problemas de espacios de estados son:

un conjunto de las posibles situaciones o nodos que constituye el espacio de estados (estos son las potenciales soluciones que se necesitan explorar),
un conjunto de movimientos de un nodo a otros nodos, llamados los sucesores del nodo,
un nodo inicial y
un nodo objetivo que es la solución.

Definir la función

   buscaProfundidad :: Eq nodo => (nodo -> [nodo]) -> (nodo -> Bool)
                                  -> nodo -> [nodo]

1 2	buscaProfundidad :: Eq nodo => (nodo -> [nodo]) -> (nodo -> Bool) -> nodo -> [nodo]

tal que buscaProfundidad s o e es la lista de soluciones del problema de espacio de estado definido por la función sucesores s, el objetivo o y estado inicial e obtenidas mediante búsqueda en profundidad.

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

module BusquedaEnProfundidad (buscaProfundidad) where

import TAD.Pila (apila, cima, desapila, esVacia, vacia)

buscaProfundidad :: Eq nodo => (nodo -> [nodo]) -> (nodo -> Bool)
                               -> nodo -> [nodo]
buscaProfundidad sucesores esFinal inicial =
  aux (apila inicial vacia)
  where
    aux p
      | esVacia p        = []
      | esFinal (cima p) = cima p : aux (desapila p)
      | otherwise        = aux (foldr
                                apila
                                (desapila p)
                                (sucesores (cima p)))

module BusquedaEnProfundidad (buscaProfundidad) where

import TAD.Pila (apila, cima, desapila, esVacia, vacia)

buscaProfundidad :: Eq nodo => (nodo -> [nodo]) -> (nodo -> Bool)

-> nodo -> [nodo]

buscaProfundidad sucesores esFinal inicial =

aux (apila inicial vacia)

where

aux p

| esVacia p = []

| esFinal (cima p) = cima p : aux (desapila p)

| otherwise = aux (foldr

apila

(desapila p)

(sucesores (cima p)))

Soluciones en Python

from functools import reduce
from sys import setrecursionlimit
from typing import Callable, TypeVar

from src.TAD.pila import Pila, apila, cima, desapila, esVacia, vacia

A = TypeVar('A')

setrecursionlimit(10**6)

def buscaProfundidad1(sucesores: Callable[[A], list[A]],
                      esFinal: Callable[[A], bool],
                      inicial: A) -> list[A]:
    def aux(p: Pila[A]) -> list[A]:
        if esVacia(p):
            return []
        if esFinal(cima(p)):
            return [cima(p)] + aux(desapila(p))
        return aux(reduce(lambda x, y: apila(y, x),
                          sucesores(cima(p)),
                          desapila(p)))

    return aux(apila(inicial, vacia()))

from functools import reduce

from sys import setrecursionlimit

from typing import Callable, TypeVar

from src.TAD.pila import Pila, apila, cima, desapila, esVacia, vacia

A = TypeVar('A')

setrecursionlimit(10**6)

def buscaProfundidad1(sucesores: Callable[[A], list[A]],

esFinal: Callable[[A], bool],

inicial: A) -> list[A]:

def aux(p: Pila[A]) -> list[A]:

if esVacia(p):

return []

if esFinal(cima(p)):

return [cima(p)] + aux(desapila(p))

return aux(reduce(lambda x, y: apila(y, x),

sucesores(cima(p)),

desapila(p)))

return aux(apila(inicial, vacia()))

Rompecabeza del triominó mediante divide y vencerás

PorJosé A. Alonso 27-junio-202321-junio-2023

Un poliominó es una figura geométrica plana formada conectando dos o más cuadrados por alguno de sus lados. Los cuadrados se conectan lado con lado, pero no se pueden conectar ni por sus vértices, ni juntando solo parte de un lado de un cuadrado con parte de un lado de otro. Si unimos dos cuadrados se obtiene un dominó, si se juntan tres cuadrados se construye un triominó.

Sólo existen dos triominós, el I-triomino (por tener forma de I) y el L-triominó (por su forma de L) como se observa en las siguientes figuras

   X
   X     X
   X     XX

X X

X XX

El rompecabeza del triominó consiste en cubrir un tablero cuadrado con 2^n filas y 2^n columnas, en el que se ha eliminado una casilla, con L-triominós de formas que cubran todas las casillas excepto la eliminada y los triominós no se solapen.

La casilla eliminada se representará con -1 y los L-triominós sucesiones de tres números consecutivos en forma de L. Con esta representación una solución del rompecabeza del triominó con 4 filas y la fila eliminada en la posición (4,4) es

   (  3  3  2  2 )
   (  3  1  1  2 )
   (  4  1  5  5 )
   (  4  4  5 -1 )

( 3 3 2 2 )

( 3 1 1 2 )

( 4 1 5 5 )

( 4 4 5 -1 )

Definir la función

   triomino :: Int -> Posicion -> Tablero

1	triomino :: Int -> Posicion -> Tablero

tal que (triomino n p) es la solución, mediante divide y vencerás, del rompecabeza del triominó en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de la posición p. Por ejemplo,

   λ> triomino 4 (4,4)
   (  3  3  2  2 )
   (  3  1  1  2 )
   (  4  1  5  5 )
   (  4  4  5 -1 )

   λ> triomino 4 (2,3)
   (  3  3  2  2 )
   (  3  1 -1  2 )
   (  4  1  1  5 )
   (  4  4  5  5 )

   λ> triomino 16 (5,6)
   (  7  7  6  6  6  6  5  5  6  6  5  5  5  5  4  4 )
   (  7  5  5  6  6  4  4  5  6  4  4  5  5  3  3  4 )
   (  8  5  9  9  7  7  4  8  7  4  8  8  6  6  3  7 )
   (  8  8  9  3  3  7  8  8  7  7  8  2  2  6  7  7 )
   (  8  8  7  3  9 -1  8  8  7  7  6  6  2  8  7  7 )
   (  8  6  7  7  9  9  7  8  7  5  5  6  8  8  6  7 )
   (  9  6  6 10 10  7  7 11  8  8  5  9  9  6  6 10 )
   (  9  9 10 10 10 10 11 11  1  8  9  9  9  9 10 10 )
   (  8  8  7  7  7  7  6  1  1  9  8  8  8  8  7  7 )
   (  8  6  6  7  7  5  6  6  9  9  7  8  8  6  6  7 )
   (  9  6 10 10  8  5  5  9 10  7  7 11  9  9  6 10 )
   (  9  9 10  4  8  8  9  9 10 10 11 11  5  9 10 10 )
   (  9  9  8  4  4 10  9  9 10 10  9  5  5 11 10 10 )
   (  9  7  8  8 10 10  8  9 10  8  9  9 11 11  9 10 )
   ( 10  7  7 11 11  8  8 12 11  8  8 12 12  9  9 13 )
   ( 10 10 11 11 11 11 12 12 11 11 12 12 12 12 13 13 )

λ> triomino 4 (4,4)

( 3 3 2 2 )

( 3 1 1 2 )

( 4 1 5 5 )

( 4 4 5 -1 )

λ> triomino 4 (2,3)

( 3 3 2 2 )

( 3 1 -1 2 )

( 4 1 1 5 )

( 4 4 5 5 )

λ> triomino 16 (5,6)

( 7 7 6 6 6 6 5 5 6 6 5 5 5 5 4 4 )

( 7 5 5 6 6 4 4 5 6 4 4 5 5 3 3 4 )

( 8 5 9 9 7 7 4 8 7 4 8 8 6 6 3 7 )

( 8 8 9 3 3 7 8 8 7 7 8 2 2 6 7 7 )

( 8 8 7 3 9 -1 8 8 7 7 6 6 2 8 7 7 )

( 8 6 7 7 9 9 7 8 7 5 5 6 8 8 6 7 )

( 9 6 6 10 10 7 7 11 8 8 5 9 9 6 6 10 )

( 9 9 10 10 10 10 11 11 1 8 9 9 9 9 10 10 )

( 8 8 7 7 7 7 6 1 1 9 8 8 8 8 7 7 )

( 8 6 6 7 7 5 6 6 9 9 7 8 8 6 6 7 )

( 9 6 10 10 8 5 5 9 10 7 7 11 9 9 6 10 )

( 9 9 10 4 8 8 9 9 10 10 11 11 5 9 10 10 )

( 9 9 8 4 4 10 9 9 10 10 9 5 5 11 10 10 )

( 9 7 8 8 10 10 8 9 10 8 9 9 11 11 9 10 )

( 10 7 7 11 11 8 8 12 11 8 8 12 12 9 9 13 )

( 10 10 11 11 11 11 12 12 11 11 12 12 12 12 13 13 )

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

module Rompecabeza_del_triomino_mediante_divide_y_venceras where

import DivideVenceras (divideVenceras)
import Data.Matrix
import Data.List (delete)
import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe)

-- Los tableros son matrices de números enteros donde -1 representa el
-- hueco, 0 las posiciones sin rellenar y los números mayores que 0
-- representan los triominós.
type Tablero = Matrix Int

-- Los problemas se representarán mediante pares formados por un número
-- natural mayor que 0 (que indica el número con el que se formará el
-- siguiente triominó que se coloque) y un tablero.
type Problema = (Int,Tablero)

-- Las posiciones son pares de números enteros
type Posicion = (Int,Int)

triomino :: Int -> Posicion -> Tablero
triomino n p =
  divideVenceras ind resuelve divide combina (pbInicial n p)

-- (tablero n p) es el tablero inicial del problema del triominó
-- en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de la
-- posición (i,j). Por ejemplo,
--    λ> tablero 4 (3,4)
--    (  0  0  0  0 )
--    (  0  0  0  0 )
--    (  0  0  0 -1 )
--    (  0  0  0  0 )
tablero :: Int -> Posicion -> Tablero
tablero n (i,j) =
  setElem (-1) (i,j) (zero n n)

-- (pbInicial n p) es el problema inicial del rompecabeza del triominó
-- en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de la
-- posición p. Por ejemplo,
--    λ> pbInicial 4 (4,4)
--    (1,(  0  0  0  0 )
--       (  0  0  0  0 )
--       (  0  0  0  0 )
--       (  0  0  0 -1 ))
pbInicial :: Int -> Posicion -> Problema
pbInicial n p = (1,tablero n p)

-- (ind pb) se verifica si el problema pb es indivisible. Por ejemplo,
--    ind (pbInicial 2 (1,2))  ==  True
--    ind (pbInicial 4 (1,2))  ==  False
ind :: Problema -> Bool
ind (_,p) = ncols p == 2

-- (posicionHueco t) es la posición del hueco en el tablero t. Por
-- ejemplo,
--    posicionHueco (tablero 8 (5,2))  ==  (5,2)
posicionHueco :: Tablero -> Posicion
posicionHueco p =
  head [(i,j) | i <- [1..nrows p],
                j <- [1..ncols p],
                p!(i,j) /= 0]

-- (cuadranteHueco p) es el cuadrante donde se encuentra el hueco del
-- tablero t (donde la numeración de los cuadrantes es 1 el superior
-- izquierdo, 2 el inferior izquierdo, 3 el superior derecho y 4 el
-- inferior derecho). Por ejemplo,
--    cuadranteHueco (tablero 8 (4,4))  ==  1
--    cuadranteHueco (tablero 8 (5,2))  ==  2
--    cuadranteHueco (tablero 8 (3,6))  ==  3
--    cuadranteHueco (tablero 8 (6,6))  ==  4
cuadranteHueco :: Tablero -> Int
cuadranteHueco t
  | i <= x && j <= x = 1
  | i >  x && j <= x = 2
  | i <= x && j >  x = 3
  | otherwise        = 4
  where (i,j) = posicionHueco t
        x     = nrows t `div` 2

-- (centralHueco t) es la casilla central del cuadrante del tablero t
-- donde se encuentra el hueco. Por ejemplo,
--    centralHueco (tablero 8 (5,2))  ==  (5,4)
--    centralHueco (tablero 8 (4,4))  ==  (4,4)
--    centralHueco (tablero 8 (3,6))  ==  (4,5)
--    centralHueco (tablero 8 (6,6))  ==  (5,5)
centralHueco :: Tablero -> Posicion
centralHueco t =
  case cuadranteHueco t of
    1 -> (x,x)
    2 -> (x+1,x)
    3 -> (x,x+1)
    _ -> (x+1,x+1)
  where x = nrows t `div` 2

-- (centralesSinHueco t) son las posiciones centrales del tablero t de
-- los cuadrantes sin hueco. Por ejemplo,
--    centralesSinHueco (tablero 8 (5,2))  ==  [(4,4),(4,5),(5,5)]
centralesSinHueco :: Tablero -> [Posicion]
centralesSinHueco t =
  delete (i,j) [(x,x),(x+1,x),(x,x+1),(x+1,x+1)]
  where x     = nrows t `div` 2
        (i,j) = centralHueco t

-- (actualiza t ps) es la matriz obtenida cambiando en t los valores del
-- las posiciones indicadas en ps por sus correspondientes valores. Por
-- ejemplo,
--    λ> actualiza (identity 3) [((1,2),4),((3,1),5)]
--    ( 1 4 0 )
--    ( 0 1 0 )
--    ( 5 0 1 )
actualiza :: Matrix a -> [((Int,Int),a)] -> Matrix a
actualiza p []             = p
actualiza p (((i,j),x):zs) = setElem x (i,j) (actualiza p zs)

-- (triominoCentral (n,t) es el tablero obtenido colocando el triominó
-- formado por el número n en las posiciones centrales de los 3
-- cuadrantes que no contienen el hueco. Por ejemplo,
--    λ> triominoCentral (7,tablero 4 (4,4))
--    (  0  0  0  0 )
--    (  0  7  7  0 )
--    (  0  7  0  0 )
--    (  0  0  0 -1 )
triominoCentral :: Problema -> Tablero
triominoCentral (n,t) =
  actualiza t [((i,j),n) | (i,j) <- centralesSinHueco t]

-- (resuelve p) es la solución del problema indivisible p. Por ejemplo,
--    λ> tablero 2 (2,2)
--    (  0  0 )
--    (  0 -1 )
--
--    λ> resuelve (5,tablero 2 (2,2))
--    (  5  5 )
--    (  5 -1 )
resuelve :: Problema -> Tablero
resuelve = triominoCentral

-- (divide (n,t)) es la lista de de los problemas obtenidos colocando el
-- triominó n en las casillas centrales de t que no contienen el hueco y
-- dividir el tablero en sus cuatros cuadrantes y aumentar en uno el
-- número del correspondiente triominó. Por ejemplo,
--    λ> divide (3,tablero 4 (4,4))
--    [(4,(  0  0 )
--        (  3  0 )),
--     (5,(  0  0 )
--        (  0  3 )),
--     (6,(  0  3 )
--        (  0  0 )),
--     (7,(  0  0 )
--        (  0 -1 ))]
divide :: Problema -> [Problema]
divide (n,t) =
  [(n+1, submatrix 1     x (x+1) m q),
   (n+2, submatrix 1     x 1     x q),
   (n+3, submatrix (x+1) m 1     x q),
   (n+4, submatrix (x+1) m (x+1) m q)]
  where q = triominoCentral (n,t)
        m = nrows t
        x = m `div` 2

-- (combina p ts) es la combinación de las soluciones ts de los
-- subproblemas del problema p. Por ejemplo,
--    λ> let inicial = (1,tablero 4 (4,4)) :: (Int,Matrix Int)
--    λ> let [p1,p2,p3,p4] = divide inicial
--    λ> let [s1,s2,s3,s4] = map resuelve [p1,p2,p3,p4]
--    λ> combina inicial [s1,s2,s3,s4]
--    (  3  3  2  2 )
--    (  3  1  1  2 )
--    (  4  1  5  5 )
--    (  4  4  5 -1 )
combina :: Problema -> [Tablero] -> Tablero
combina _ [s1,s2,s3,s4] = joinBlocks (s2,s1,s3,s4)
combina _ _             = error "Imposible"

-- Verificación
-- ============

verifica :: IO ()
verifica = hspec spec

spec :: Spec
spec = do
  it "e1" $
    toLists (triomino 4 (4,4)) `shouldBe`
    [[3,3,2,2],
     [3,1,1,2],
     [4,1,5,5],
     [4,4,5,-1]]
  it "e2" $
    toLists (triomino 4 (2,3)) `shouldBe`
    [[3,3,2,2],
     [3,1,-1,2],
     [4,1,1,5],
     [4,4,5,5]]
  it "e3" $
    toLists (triomino 16 (5,6)) `shouldBe`
    [[7,7,6,6,6,6,5,5,6,6,5,5,5,5,4,4],
     [7,5,5,6,6,4,4,5,6,4,4,5,5,3,3,4],
     [8,5,9,9,7,7,4,8,7,4,8,8,6,6,3,7],
     [8,8,9,3,3,7,8,8,7,7,8,2,2,6,7,7],
     [8,8,7,3,9,-1,8,8,7,7,6,6,2,8,7,7],
     [8,6,7,7,9,9,7,8,7,5,5,6,8,8,6,7],
     [9,6,6,10,10,7,7,11,8,8,5,9,9,6,6,10],
     [9,9,10,10,10,10,11,11,1,8,9,9,9,9,10,10],
     [8,8,7,7,7,7,6,1,1,9,8,8,8,8,7,7],
     [8,6,6,7,7,5,6,6,9,9,7,8,8,6,6,7],
     [9,6,10,10,8,5,5,9,10,7,7,11,9,9,6,10],
     [9,9,10,4,8,8,9,9,10,10,11,11,5,9,10,10],
     [9,9,8,4,4,10,9,9,10,10,9,5,5,11,10,10],
     [9,7,8,8,10,10,8,9,10,8,9,9,11,11,9,10],
     [10,7,7,11,11,8,8,12,11,8,8,12,12,9,9,13],
     [10,10,11,11,11,11,12,12,11,11,12,12,12,12,13,13]]

-- La verificación es
--    λ> verifica
--
--    e1
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--
--    Finished in 0.0018 seconds
--    3 examples, 0 failures

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module Rompecabeza_del_triomino_mediante_divide_y_venceras where

import DivideVenceras (divideVenceras)

import Data.Matrix

import Data.List (delete)

import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe)

-- Los tableros son matrices de números enteros donde -1 representa el

-- hueco, 0 las posiciones sin rellenar y los números mayores que 0

-- representan los triominós.

type Tablero = Matrix Int

-- Los problemas se representarán mediante pares formados por un número

-- natural mayor que 0 (que indica el número con el que se formará el

-- siguiente triominó que se coloque) y un tablero.

type Problema = (Int,Tablero)

-- Las posiciones son pares de números enteros

type Posicion = (Int,Int)

triomino :: Int -> Posicion -> Tablero

triomino n p =

divideVenceras ind resuelve divide combina (pbInicial n p)

-- (tablero n p) es el tablero inicial del problema del triominó

-- en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de la

-- posición (i,j). Por ejemplo,

-- λ> tablero 4 (3,4)

-- ( 0 0 0 0 )

-- ( 0 0 0 -1 )

-- ( 0 0 0 0 )

tablero :: Int -> Posicion -> Tablero

tablero n (i,j) =

setElem (-1) (i,j) (zero n n)

-- (pbInicial n p) es el problema inicial del rompecabeza del triominó

-- en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de la

-- posición p. Por ejemplo,

-- λ> pbInicial 4 (4,4)

-- (1,( 0 0 0 0 )

-- ( 0 0 0 0 )

-- ( 0 0 0 -1 ))

pbInicial :: Int -> Posicion -> Problema

pbInicial n p = (1,tablero n p)

-- (ind pb) se verifica si el problema pb es indivisible. Por ejemplo,

-- ind (pbInicial 2 (1,2)) == True

-- ind (pbInicial 4 (1,2)) == False

ind :: Problema -> Bool

ind (_,p) = ncols p == 2

-- (posicionHueco t) es la posición del hueco en el tablero t. Por

-- ejemplo,

-- posicionHueco (tablero 8 (5,2)) == (5,2)

posicionHueco :: Tablero -> Posicion

posicionHueco p =

head [(i,j) | i <- [1..nrows p],

j <- [1..ncols p],

p!(i,j) /= 0]

-- (cuadranteHueco p) es el cuadrante donde se encuentra el hueco del

-- tablero t (donde la numeración de los cuadrantes es 1 el superior

-- izquierdo, 2 el inferior izquierdo, 3 el superior derecho y 4 el

-- inferior derecho). Por ejemplo,

-- cuadranteHueco (tablero 8 (4,4)) == 1

-- cuadranteHueco (tablero 8 (5,2)) == 2

-- cuadranteHueco (tablero 8 (3,6)) == 3

-- cuadranteHueco (tablero 8 (6,6)) == 4

cuadranteHueco :: Tablero -> Int

cuadranteHueco t

| i <= x && j <= x = 1

| i > x && j <= x = 2

| i <= x && j > x = 3

| otherwise = 4

where (i,j) = posicionHueco t

x = nrows t `div` 2

-- (centralHueco t) es la casilla central del cuadrante del tablero t

-- donde se encuentra el hueco. Por ejemplo,

-- centralHueco (tablero 8 (5,2)) == (5,4)

-- centralHueco (tablero 8 (4,4)) == (4,4)

-- centralHueco (tablero 8 (3,6)) == (4,5)

-- centralHueco (tablero 8 (6,6)) == (5,5)

centralHueco :: Tablero -> Posicion

centralHueco t =

case cuadranteHueco t of

1 -> (x,x)

2 -> (x+1,x)

3 -> (x,x+1)

_ -> (x+1,x+1)

where x = nrows t `div` 2

-- (centralesSinHueco t) son las posiciones centrales del tablero t de

-- los cuadrantes sin hueco. Por ejemplo,

-- centralesSinHueco (tablero 8 (5,2)) == [(4,4),(4,5),(5,5)]

centralesSinHueco :: Tablero -> [Posicion]

centralesSinHueco t =

delete (i,j) [(x,x),(x+1,x),(x,x+1),(x+1,x+1)]

where x = nrows t `div` 2

(i,j) = centralHueco t

-- (actualiza t ps) es la matriz obtenida cambiando en t los valores del

-- las posiciones indicadas en ps por sus correspondientes valores. Por

-- ejemplo,

-- λ> actualiza (identity 3) [((1,2),4),((3,1),5)]

-- ( 1 4 0 )

-- ( 0 1 0 )

-- ( 5 0 1 )

actualiza :: Matrix a -> [((Int,Int),a)] -> Matrix a

actualiza p [] = p

actualiza p (((i,j),x):zs) = setElem x (i,j) (actualiza p zs)

-- (triominoCentral (n,t) es el tablero obtenido colocando el triominó

-- formado por el número n en las posiciones centrales de los 3

-- cuadrantes que no contienen el hueco. Por ejemplo,

-- λ> triominoCentral (7,tablero 4 (4,4))

-- ( 0 0 0 0 )

-- ( 0 7 7 0 )

-- ( 0 7 0 0 )

-- ( 0 0 0 -1 )

triominoCentral :: Problema -> Tablero

triominoCentral (n,t) =

actualiza t [((i,j),n) | (i,j) <- centralesSinHueco t]

-- (resuelve p) es la solución del problema indivisible p. Por ejemplo,

-- λ> tablero 2 (2,2)

-- ( 0 0 )

-- ( 0 -1 )

-- λ> resuelve (5,tablero 2 (2,2))

-- ( 5 5 )

-- ( 5 -1 )

resuelve :: Problema -> Tablero

resuelve = triominoCentral

-- (divide (n,t)) es la lista de de los problemas obtenidos colocando el

-- triominó n en las casillas centrales de t que no contienen el hueco y

-- dividir el tablero en sus cuatros cuadrantes y aumentar en uno el

-- número del correspondiente triominó. Por ejemplo,

-- λ> divide (3,tablero 4 (4,4))

-- [(4,( 0 0 )

-- ( 3 0 )),

-- (5,( 0 0 )

-- ( 0 3 )),

-- (6,( 0 3 )

-- ( 0 0 )),

-- (7,( 0 0 )

-- ( 0 -1 ))]

divide :: Problema -> [Problema]

divide (n,t) =

[(n+1, submatrix 1 x (x+1) m q),

(n+2, submatrix 1 x 1 x q),

(n+3, submatrix (x+1) m 1 x q),

(n+4, submatrix (x+1) m (x+1) m q)]

where q = triominoCentral (n,t)

m = nrows t

x = m `div` 2

-- (combina p ts) es la combinación de las soluciones ts de los

-- subproblemas del problema p. Por ejemplo,

-- λ> let inicial = (1,tablero 4 (4,4)) :: (Int,Matrix Int)

-- λ> let [p1,p2,p3,p4] = divide inicial

-- λ> let [s1,s2,s3,s4] = map resuelve [p1,p2,p3,p4]

-- λ> combina inicial [s1,s2,s3,s4]

-- ( 3 3 2 2 )

-- ( 3 1 1 2 )

-- ( 4 1 5 5 )

-- ( 4 4 5 -1 )

combina :: Problema -> [Tablero] -> Tablero

combina _ [s1,s2,s3,s4] = joinBlocks (s2,s1,s3,s4)

combina _ _ = error "Imposible"

-- Verificación

-- ============

verifica :: IO ()

verifica = hspec spec

spec :: Spec

spec = do

it "e1" $

toLists (triomino 4 (4,4)) `shouldBe`

[[3,3,2,2],

[3,1,1,2],

[4,1,5,5],

[4,4,5,-1]]

it "e2" $

toLists (triomino 4 (2,3)) `shouldBe`

[[3,3,2,2],

[3,1,-1,2],

[4,1,1,5],

[4,4,5,5]]

it "e3" $

toLists (triomino 16 (5,6)) `shouldBe`

[[7,7,6,6,6,6,5,5,6,6,5,5,5,5,4,4],

[7,5,5,6,6,4,4,5,6,4,4,5,5,3,3,4],

[8,5,9,9,7,7,4,8,7,4,8,8,6,6,3,7],

[8,8,9,3,3,7,8,8,7,7,8,2,2,6,7,7],

[8,8,7,3,9,-1,8,8,7,7,6,6,2,8,7,7],

[8,6,7,7,9,9,7,8,7,5,5,6,8,8,6,7],

[9,6,6,10,10,7,7,11,8,8,5,9,9,6,6,10],

[9,9,10,10,10,10,11,11,1,8,9,9,9,9,10,10],

[8,8,7,7,7,7,6,1,1,9,8,8,8,8,7,7],

[8,6,6,7,7,5,6,6,9,9,7,8,8,6,6,7],

[9,6,10,10,8,5,5,9,10,7,7,11,9,9,6,10],

[9,9,10,4,8,8,9,9,10,10,11,11,5,9,10,10],

[9,9,8,4,4,10,9,9,10,10,9,5,5,11,10,10],

[9,7,8,8,10,10,8,9,10,8,9,9,11,11,9,10],

[10,7,7,11,11,8,8,12,11,8,8,12,12,9,9,13],

[10,10,11,11,11,11,12,12,11,11,12,12,12,12,13,13]]

-- La verificación es

-- λ> verifica

-- e1

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-- e3

-- Finished in 0.0018 seconds

-- 3 examples, 0 failures

Soluciones en Python

import numpy as np
import numpy.typing as npt

from src.DivideVenceras import divideVenceras

# Los tableros son matrices de números enteros donde -1 representa el
# hueco, 0 las posiciones sin rellenar y los números mayores que 0
# representan los triominós.
Tablero = npt.NDArray[np.complex64]

# Los problemas se representarán mediante pares formados por un número
# natural mayor que 0 (que indica el número con el que se formará el
# siguiente triominó que se coloque) y un tablero.
Problema = tuple[int, Tablero]

# Las posiciones son pares de números enteros
Posicion = tuple[int, int]

# tablero(n p) es el tablero inicial del problema del triominó
# en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de la
# posición p. Por ejemplo,
#    >>> tablero(4, (3,4))
#    array([[ 0,  0,  0,  0],
#           [ 0,  0,  0,  0],
#           [ 0,  0,  0, -1],
#           [ 0,  0,  0,  0]])
def tablero(n: int, p: Posicion) -> Tablero:
    (i, j) = p
    q = np.zeros((n, n), dtype=int)
    q[i - 1, j - 1] = -1
    return q

# pbInicial(n, p) es el problema inicial del rompecabeza del triominó
# en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de la
# posición p. Por ejemplo,
#    >>> pbInicial(4, (4,4))
#    (1, array([[ 0,  0,  0,  0],
#           [ 0,  0,  0,  0],
#           [ 0,  0,  0,  0],
#           [ 0,  0,  0, -1]]))
def pbInicial(n: int, p: Posicion) -> Problema:
    return 1, tablero(n, p)

# ind(pb) se verifica si el problema pb es indivisible. Por ejemplo,
#    ind(pbInicial(2, (1,2)))  ==  True
#    ind(pbInicial(4, (1,2)))  ==  False
def ind(pb: Problema) -> bool:
    _, p = pb
    return p.shape[1] == 2

# posicionHueco(t) es la posición del hueco en el tablero t. Por
# ejemplo,
#    posicionHueco(tablero(8, (5,2)))  ==  (5,2)
def posicionHueco(t: Tablero) -> Posicion:
    indices = np.argwhere(t != 0)
    (i, j) =  tuple(indices[0])
    return (i + 1, j + 1)

# cuadranteHueco(p) es el cuadrante donde se encuentra el hueco del
# tablero t (donde la numeración de los cuadrantes es 1 el superior
# izquierdo, 2 el inferior izquierdo, 3 el superior derecho y 4 el
# inferior derecho). Por ejemplo,
#    cuadranteHueco(tablero(8, (4,4)))  ==  1
#    cuadranteHueco(tablero(8, (5,2)))  ==  2
#    cuadranteHueco(tablero(8, (3,6)))  ==  3
#    cuadranteHueco(tablero(8, (6,6)))  ==  4
def cuadranteHueco(t: Tablero) -> int:
    i, j = posicionHueco(t)
    x = t.shape[0] // 2
    if j <= x:
        if i <= x:
            return 1
        return 2
    if i <= x:
        return 3
    return 4

# centralHueco(t) es la casilla central del cuadrante del tablero t
# donde se encuentra el hueco. Por ejemplo,
#    centralHueco(tablero(8, (5,2)))  ==  (5,4)
#    centralHueco(tablero(8, (4,4)))  ==  (4,4)
#    centralHueco(tablero(8, (3,6)))  ==  (4,5)
#    centralHueco(tablero(8, (6,6)))  ==  (5,5)
def centralHueco(t: Tablero) -> Posicion:
    x = t.shape[0] // 2
    cuadrante = cuadranteHueco(t)
    if cuadrante == 1:
        return (x, x)
    if cuadrante == 2:
        return (x+1, x)
    if cuadrante == 3:
        return (x, x+1)
    return (x+1, x+1)

# centralesSinHueco(t) son las posiciones centrales del tablero t de
# los cuadrantes sin hueco. Por ejemplo,
#    centralesSinHueco(tablero(8, (5,2)))  ==  [(4,4),(4,5),(5,5)]
def centralesSinHueco(t: Tablero) -> list[Posicion]:
    x = t.shape[0] // 2
    i, j = centralHueco(t)
    ps = [(x, x), (x+1, x), (x, x+1), (x+1, x+1)]
    return [p for p in ps if p != (i, j)]

# actualiza(t, ps) es la matriz obtenida cambiando en t los valores del
# las posiciones indicadas en ps por sus correspondientes valores. Por
# ejemplo,
#    >>> actualiza(np.identity(3, dtype=int), [((1,2),4),((3,1),5)])
#    array([[1, 4, 0],
#           [0, 1, 0],
#           [5, 0, 1]])
def actualiza(p: Tablero, ps: list[tuple[Posicion, int]]) -> Tablero:
    for (i, j), x in ps:
        p[i - 1, j - 1] = x
    return p

# triominoCentral(n,t) es el tablero obtenido colocando el triominó
# formado por el número n en las posiciones centrales de los 3
# cuadrantes que no contienen el hueco. Por ejemplo,
#    >>> triominoCentral((7, tablero(4, (4,4))))
#    array([[ 0,  0,  0,  0],
#           [ 0,  7,  7,  0],
#           [ 0,  7,  0,  0],
#           [ 0,  0,  0, -1]])
def triominoCentral(p: Problema) -> Tablero:
    n, t = p
    return actualiza(t, [((i,j),n) for (i,j) in centralesSinHueco(t)])

# resuelve(p) es la solución del problema indivisible p. Por ejemplo,
#    >>> tablero(2, (2,2))
#    array([[ 0,  0],
#           [ 0, -1]])
#    >>> resuelve((5,tablero(2, (2,2))))
#    array([[ 5,  5],
#           [ 5, -1]])
def resuelve(p: Problema) -> Tablero:
    return triominoCentral(p)

# divide(n,t) es la lista de de los problemas obtenidos colocando el
# triominó n en las casillas centrales de t que no contienen el hueco y
# dividir el tablero en sus cuatros cuadrantes y aumentar en uno el
# número del correspondiente triominó. Por ejemplo,
#    >>> divide((3,tablero(4, (4,4))))
#    [(4, array([[0, 0],
#                [3, 0]])),
#     (5, array([[0, 0],
#                [0, 3]])),
#     (6, array([[0, 3],
#                [0, 0]])),
#     (7, array([[ 0,  0],
#                [ 0, -1]]))]
def divide(p: Problema) -> list[Problema]:
    q = triominoCentral(p)
    n, t = p
    m = t.shape[0]
    x = m // 2
    subproblemas = [
        (n+1, q[0:x, x:m]),
        (n+2, q[0:x, 0:x]),
        (n+3, q[x:m, 0:x]),
        (n+4, q[x:m, x:m])
    ]
    return subproblemas

# combina(p, ts) es la combinación de las soluciones ts de los
# subproblemas del problema p. Por ejemplo,
#    >>> inicial = (1, tablero(4, (4, 4)))
#    >>> p1, p2, p3, p4 = divide(inicial)
#    >>> s1, s2, s3, s4 = map(resuelve, [p1, p2, p3, p4])
#    >>> combina(inicial, [s1, s2, s3, s4])
#    array([[ 3,  3,  2,  2],
#           [ 3,  1,  1,  2],
#           [ 4,  1,  5,  5],
#           [ 4,  4,  5, -1]])
def combina(_: Problema, ts: list[Tablero]) -> Tablero:
    s1, s2, s3, s4 = ts
    combined = np.block([[s2, s1], [s3, s4]])
    return combined

def triomino(n: int, p: Posicion) -> Tablero:
    return divideVenceras(ind, resuelve, divide, combina, pbInicial(n, p))

# Verificación
# ============

def test_triomino() -> None:
    def filas(p: Tablero) -> list[list[int]]:
        return p.tolist()

    assert filas(triomino(4, (4,4))) == \
        [[3,3,2,2],[3,1,1,2],[4,1,5,5],[4,4,5,-1]]
    assert filas(triomino(4, (2,3))) == \
        [[3,3,2,2],[3,1,-1,2],[4,1,1,5],[4,4,5,5]]
    assert filas(triomino(16, (5,6))) == \
        [[7,7,6,6,6,6,5,5,6,6,5,5,5,5,4,4],
         [7,5,5,6,6,4,4,5,6,4,4,5,5,3,3,4],
         [8,5,9,9,7,7,4,8,7,4,8,8,6,6,3,7],
         [8,8,9,3,3,7,8,8,7,7,8,2,2,6,7,7],
         [8,8,7,3,9,-1,8,8,7,7,6,6,2,8,7,7],
         [8,6,7,7,9,9,7,8,7,5,5,6,8,8,6,7],
         [9,6,6,10,10,7,7,11,8,8,5,9,9,6,6,10],
         [9,9,10,10,10,10,11,11,1,8,9,9,9,9,10,10],
         [8,8,7,7,7,7,6,1,1,9,8,8,8,8,7,7],
         [8,6,6,7,7,5,6,6,9,9,7,8,8,6,6,7],
         [9,6,10,10,8,5,5,9,10,7,7,11,9,9,6,10],
         [9,9,10,4,8,8,9,9,10,10,11,11,5,9,10,10],
         [9,9,8,4,4,10,9,9,10,10,9,5,5,11,10,10],
         [9,7,8,8,10,10,8,9,10,8,9,9,11,11,9,10],
         [10,7,7,11,11,8,8,12,11,8,8,12,12,9,9,13],
         [10,10,11,11,11,11,12,12,11,11,12,12,12,12,13,13]]
    print("Verificado")

# La verificación es
#    >>> test_triomino()
#    Verificado

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import numpy as np

import numpy.typing as npt

from src.DivideVenceras import divideVenceras

# Los tableros son matrices de números enteros donde -1 representa el

# hueco, 0 las posiciones sin rellenar y los números mayores que 0

# representan los triominós.

Tablero = npt.NDArray[np.complex64]

# Los problemas se representarán mediante pares formados por un número

# natural mayor que 0 (que indica el número con el que se formará el

# siguiente triominó que se coloque) y un tablero.

Problema = tuple[int, Tablero]

# Las posiciones son pares de números enteros

Posicion = tuple[int, int]

# tablero(n p) es el tablero inicial del problema del triominó

# en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de la

# posición p. Por ejemplo,

# >>> tablero(4, (3,4))

# array([[ 0, 0, 0, 0],

# [ 0, 0, 0, 0],

# [ 0, 0, 0, -1],

# [ 0, 0, 0, 0]])

def tablero(n: int, p: Posicion) -> Tablero:

(i, j) = p

q = np.zeros((n, n), dtype=int)

q[i - 1, j - 1] = -1

return q

# pbInicial(n, p) es el problema inicial del rompecabeza del triominó

# en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de la

# posición p. Por ejemplo,

# >>> pbInicial(4, (4,4))

# (1, array([[ 0, 0, 0, 0],

# [ 0, 0, 0, 0],

# [ 0, 0, 0, -1]]))

def pbInicial(n: int, p: Posicion) -> Problema:

return 1, tablero(n, p)

# ind(pb) se verifica si el problema pb es indivisible. Por ejemplo,

# ind(pbInicial(2, (1,2))) == True

# ind(pbInicial(4, (1,2))) == False

def ind(pb: Problema) -> bool:

_, p = pb

return p.shape[1] == 2

# posicionHueco(t) es la posición del hueco en el tablero t. Por

# ejemplo,

# posicionHueco(tablero(8, (5,2))) == (5,2)

def posicionHueco(t: Tablero) -> Posicion:

indices = np.argwhere(t != 0)

(i, j) = tuple(indices[0])

return (i + 1, j + 1)

# cuadranteHueco(p) es el cuadrante donde se encuentra el hueco del

# tablero t (donde la numeración de los cuadrantes es 1 el superior

# izquierdo, 2 el inferior izquierdo, 3 el superior derecho y 4 el

# inferior derecho). Por ejemplo,

# cuadranteHueco(tablero(8, (4,4))) == 1

# cuadranteHueco(tablero(8, (5,2))) == 2

# cuadranteHueco(tablero(8, (3,6))) == 3

# cuadranteHueco(tablero(8, (6,6))) == 4

def cuadranteHueco(t: Tablero) -> int:

i, j = posicionHueco(t)

x = t.shape[0] // 2

if j <= x:

if i <= x:

return 1

return 2

if i <= x:

return 3

return 4

# centralHueco(t) es la casilla central del cuadrante del tablero t

# donde se encuentra el hueco. Por ejemplo,

# centralHueco(tablero(8, (5,2))) == (5,4)

# centralHueco(tablero(8, (4,4))) == (4,4)

# centralHueco(tablero(8, (3,6))) == (4,5)

# centralHueco(tablero(8, (6,6))) == (5,5)

def centralHueco(t: Tablero) -> Posicion:

x = t.shape[0] // 2

cuadrante = cuadranteHueco(t)

if cuadrante == 1:

return (x, x)

if cuadrante == 2:

return (x+1, x)

if cuadrante == 3:

return (x, x+1)

return (x+1, x+1)

# centralesSinHueco(t) son las posiciones centrales del tablero t de

# los cuadrantes sin hueco. Por ejemplo,

# centralesSinHueco(tablero(8, (5,2))) == [(4,4),(4,5),(5,5)]

def centralesSinHueco(t: Tablero) -> list[Posicion]:

x = t.shape[0] // 2

i, j = centralHueco(t)

ps = [(x, x), (x+1, x), (x, x+1), (x+1, x+1)]

return [p for p in ps if p != (i, j)]

# actualiza(t, ps) es la matriz obtenida cambiando en t los valores del

# las posiciones indicadas en ps por sus correspondientes valores. Por

# ejemplo,

# >>> actualiza(np.identity(3, dtype=int), [((1,2),4),((3,1),5)])

# array([[1, 4, 0],

# [0, 1, 0],

# [5, 0, 1]])

def actualiza(p: Tablero, ps: list[tuple[Posicion, int]]) -> Tablero:

for (i, j), x in ps:

p[i - 1, j - 1] = x

return p

# triominoCentral(n,t) es el tablero obtenido colocando el triominó

# formado por el número n en las posiciones centrales de los 3

# cuadrantes que no contienen el hueco. Por ejemplo,

# >>> triominoCentral((7, tablero(4, (4,4))))

# array([[ 0, 0, 0, 0],

# [ 0, 7, 7, 0],

# [ 0, 7, 0, 0],

# [ 0, 0, 0, -1]])

def triominoCentral(p: Problema) -> Tablero:

n, t = p

return actualiza(t, [((i,j),n) for (i,j) in centralesSinHueco(t)])

# resuelve(p) es la solución del problema indivisible p. Por ejemplo,

# >>> tablero(2, (2,2))

# array([[ 0, 0],

# [ 0, -1]])

# >>> resuelve((5,tablero(2, (2,2))))

# array([[ 5, 5],

# [ 5, -1]])

def resuelve(p: Problema) -> Tablero:

return triominoCentral(p)

# divide(n,t) es la lista de de los problemas obtenidos colocando el

# triominó n en las casillas centrales de t que no contienen el hueco y

# dividir el tablero en sus cuatros cuadrantes y aumentar en uno el

# número del correspondiente triominó. Por ejemplo,

# >>> divide((3,tablero(4, (4,4))))

# [(4, array([[0, 0],

# [3, 0]])),

# (5, array([[0, 0],

# [0, 3]])),

# (6, array([[0, 3],

# [0, 0]])),

# (7, array([[ 0, 0],

# [ 0, -1]]))]

def divide(p: Problema) -> list[Problema]:

q = triominoCentral(p)

n, t = p

m = t.shape[0]

x = m // 2

subproblemas = [

(n+1, q[0:x, x:m]),

(n+2, q[0:x, 0:x]),

(n+3, q[x:m, 0:x]),

(n+4, q[x:m, x:m])

]

return subproblemas

# combina(p, ts) es la combinación de las soluciones ts de los

# subproblemas del problema p. Por ejemplo,

# >>> inicial = (1, tablero(4, (4, 4)))

# >>> p1, p2, p3, p4 = divide(inicial)

# >>> s1, s2, s3, s4 = map(resuelve, [p1, p2, p3, p4])

# >>> combina(inicial, [s1, s2, s3, s4])

# array([[ 3, 3, 2, 2],

# [ 3, 1, 1, 2],

# [ 4, 1, 5, 5],

# [ 4, 4, 5, -1]])

def combina(_: Problema, ts: list[Tablero]) -> Tablero:

s1, s2, s3, s4 = ts

combined = np.block([[s2, s1], [s3, s4]])

return combined

def triomino(n: int, p: Posicion) -> Tablero:

return divideVenceras(ind, resuelve, divide, combina, pbInicial(n, p))

# Verificación

# ============

def test_triomino() -> None:

def filas(p: Tablero) -> list[list[int]]:

return p.tolist()

assert filas(triomino(4, (4,4))) == \

[[3,3,2,2],[3,1,1,2],[4,1,5,5],[4,4,5,-1]]

assert filas(triomino(4, (2,3))) == \

[[3,3,2,2],[3,1,-1,2],[4,1,1,5],[4,4,5,5]]

assert filas(triomino(16, (5,6))) == \

[[7,7,6,6,6,6,5,5,6,6,5,5,5,5,4,4],

[7,5,5,6,6,4,4,5,6,4,4,5,5,3,3,4],

[8,5,9,9,7,7,4,8,7,4,8,8,6,6,3,7],

[8,8,9,3,3,7,8,8,7,7,8,2,2,6,7,7],

[8,8,7,3,9,-1,8,8,7,7,6,6,2,8,7,7],

[8,6,7,7,9,9,7,8,7,5,5,6,8,8,6,7],

[9,6,6,10,10,7,7,11,8,8,5,9,9,6,6,10],

[9,9,10,10,10,10,11,11,1,8,9,9,9,9,10,10],

[8,8,7,7,7,7,6,1,1,9,8,8,8,8,7,7],

[8,6,6,7,7,5,6,6,9,9,7,8,8,6,6,7],

[9,6,10,10,8,5,5,9,10,7,7,11,9,9,6,10],

[9,9,10,4,8,8,9,9,10,10,11,11,5,9,10,10],

[9,9,8,4,4,10,9,9,10,10,9,5,5,11,10,10],

[9,7,8,8,10,10,8,9,10,8,9,9,11,11,9,10],

[10,7,7,11,11,8,8,12,11,8,8,12,12,9,9,13],

[10,10,11,11,11,11,12,12,11,11,12,12,12,12,13,13]]

print("Verificado")

# La verificación es

# >>> test_triomino()

# Verificado

El problema de las n reinas (mediante búsqueda por anchura en espacios de estados)

Búsqueda por anchura en espacios de estados

El problema de las n reinas (mediante búsqueda por profundidad en espacios de estados)

Búsqueda en espacios de estados por profundidad

Rompecabeza del triominó mediante divide y vencerás

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