Operaciones con series de potencias

PorJosé A. Alonso 26-abril-201925-marzo-2022

Una serie de potencias es una serie de la forma

   a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...

1	a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...

Las series de potencias se pueden representar mediante listas infinitas. Por ejemplo, la serie de la función exponencial es

   e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

1	e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

y se puede representar por [1, 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120, …]

Las operaciones con series se pueden ver como una generalización de las de los polinomios.

En lo que sigue, usaremos el tipo (Serie a) para representar las series de potencias con coeficientes en a y su definición es

   type Serie a = [a]

1	type Serie a = [a]

Definir las siguientes funciones

   opuesta      :: Num a => Serie a -> Serie a
   suma         :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
   resta        :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
   producto     :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
   cociente     :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a
   derivada     :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a
   integral     :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a
   expx         :: Serie Rational

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a

expx :: Serie Rational

tales que

(opuesta xs) es la opuesta de la serie xs. Por ejemplo,

     λ> take 7 (opuesta [-6,-4..])
     [6,4,2,0,-2,-4,-6]

1 2	λ> take 7 (opuesta [-6,-4..]) [6,4,2,0,-2,-4,-6]

(suma xs ys) es la suma de las series xs e ys. Por ejemplo,

     λ> take 7 (suma [1,3..] [2,4..])
     [3,7,11,15,19,23,27]

1 2	λ> take 7 (suma [1,3..] [2,4..]) [3,7,11,15,19,23,27]

(resta xs ys) es la resta de las series xs es ys. Por ejemplo,

     λ> take 7 (resta [3,5..] [2,4..])
     [1,1,1,1,1,1,1]
     λ> take 7 (resta ([3,7,11,15,19,23,27] ++ repeat 0) [1,3..])
     [2,4,6,8,10,12,14]

λ> take 7 (resta [3,5..] [2,4..])

[1,1,1,1,1,1,1]

λ> take 7 (resta ([3,7,11,15,19,23,27] ++ repeat 0) [1,3..])

[2,4,6,8,10,12,14]

(producto xs ys) es el producto de las series xs e ys. Por ejemplo,

     λ> take 7 (producto [3,5..] [2,4..])
     [6,22,52,100,170,266,392]

1 2	λ> take 7 (producto [3,5..] [2,4..]) [6,22,52,100,170,266,392]

(cociente xs ys) es el cociente de las series xs e ys. Por ejemplo,

     λ> take 7 (cociente ([6,22,52,100,170,266,392] ++ repeat 0) [3,5..])
     [2.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]

1 2	λ> take 7 (cociente ([6,22,52,100,170,266,392] ++ repeat 0) [3,5..]) [2.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]

(derivada xs) es la derivada de la serie xs. Por ejemplo,

     λ> take 7 (derivada [2,4..])
     [4,12,24,40,60,84,112]

1 2	λ> take 7 (derivada [2,4..]) [4,12,24,40,60,84,112]

(integral xs) es la integral de la serie xs. Por ejemplo,

     λ> take 7 (integral ([4,12,24,40,60,84,112] ++ repeat 0))
     [0.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]

1 2	λ> take 7 (integral ([4,12,24,40,60,84,112] ++ repeat 0)) [0.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]

expx es la serie de la función exponencial. Por ejemplo,

     λ> take 8 expx
     [1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]
     λ> take 8 (derivada expx)
     [1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]
     λ> take 8 (integral expx)
     [0 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

λ> take 8 expx

[1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

λ> take 8 (derivada expx)

[1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

λ> take 8 (integral expx)

[0 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

Soluciones

type Serie a = [a] 

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a
opuesta = map negate

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
suma = zipWith (+)

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
resta xs ys = suma xs (opuesta ys)

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
producto (x:xs) zs@(y:ys) = 
    x*y : suma (producto xs zs) (map (x*) ys)

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a
cociente (x:xs) (y:ys) = zs 
    where zs = x/y : map (/y) (resta xs (producto zs ys))  

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a
derivada (_:xs) = zipWith (*) xs [1..]

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a
integral xs = 0 : zipWith (/) xs [1..]

expx :: Serie Rational
expx = map (1/) (map fromIntegral factoriales)

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo, 
--    take 7 factoriales  ==  [1,1,2,6,24,120,720]
factoriales :: [Integer]
factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

type Serie a = [a]

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a

opuesta = map negate

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

suma = zipWith (+)

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

resta xs ys = suma xs (opuesta ys)

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

producto (x:xs) zs@(y:ys) =

x*y : suma (producto xs zs) (map (x*) ys)

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a

cociente (x:xs) (y:ys) = zs

where zs = x/y : map (/y) (resta xs (producto zs ys))

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a

derivada (_:xs) = zipWith (*) xs [1..]

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a

integral xs = 0 : zipWith (/) xs [1..]

expx :: Serie Rational

expx = map (1/) (map fromIntegral factoriales)

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- take 7 factoriales == [1,1,2,6,24,120,720]

factoriales :: [Integer]

factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

Pensamiento

Ni mármol duro y eterno,
ni música ni pintura,
sino palabra en el tiempo.

Antonio Machado

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import Data.Matrix

type Serie a = [a]

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a
opuesta = map (\x -> -x)

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
suma = zipWith (+)

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
resta = zipWith (-)

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
producto xs ys = [sum [(xs !! i) * (ys !! (n-i)) | i <- [0..n]] | n <- [0..]]

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a
cociente xs ys = (xs !! 0 / b) : [1/(b ^(n+1))* detLaplace (matrizCociente xs ys n)| n <- [1..]]
  where b = ys !! 0

matrizCociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Int -> Matrix a
matrizCociente xs ys n = fromLists ([xs !! a | a <- [n,n-1..0]]:[[ys !! b | b <- [i,i-1..0]] ++ (replicate (n-i) (fromIntegral 0))  | i <- [1..n]])

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a
derivada xs = [(xs !! n) * (fromIntegral n) | n <- [1..]]

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a
integral xs = (0/xs !! 0):[(xs !! n)/fromIntegral (n+1) | n <- [0..]]

expx :: Serie Rational
expx = [1,1] ++ [1/(factorial n) | n <- [2..]]
  where factorial n = product [1..n]

import Data.Matrix

type Serie a = [a]

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a

opuesta = map (\x -> -x)

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

suma = zipWith (+)

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

resta = zipWith (-)

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

producto xs ys = [sum [(xs !! i) * (ys !! (n-i)) | i <- [0..n]] | n <- [0..]]

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a

cociente xs ys = (xs !! 0 / b) : [1/(b ^(n+1))* detLaplace (matrizCociente xs ys n)| n <- [1..]]

where b = ys !! 0

matrizCociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Int -> Matrix a

matrizCociente xs ys n = fromLists ([xs !! a | a <- [n,n-1..0]]:[[ys !! b | b <- [i,i-1..0]] ++ (replicate (n-i) (fromIntegral 0)) | i <- [1..n]])

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a

derivada xs = [(xs !! n) * (fromIntegral n) | n <- [1..]]

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a

integral xs = (0/xs !! 0):[(xs !! n)/fromIntegral (n+1) | n <- [0..]]

expx :: Serie Rational

expx = [1,1] ++ [1/(factorial n) | n <- [2..]]

where factorial n = product [1..n]

Responder

opuestaSerie      :: Num a => Serie a -> Serie a
opuestaSerie  = map ((-1)*) 
sumaSerie         :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
sumaSerie  = zipWith (+)
restaSerie         :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
restaSerie  = zipWith (-)
productoSerie     :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
productoSerie a b = [ sum [ a !! i * b !! (n-i)  |i <-[0..n] ] |   n <- [0..] ]
cocienteSerie     :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a
cocienteSerie a@(x:xs) b@(y:ys) = x/y : [ (M.detLaplace (aux n)) / (y^(n+1))  | n <- [1..]]
  where aux n  = M.matrix  (n+1) (n+1) f
          where f (k,1) = a !! (n+1-k)
                f (c,d) | c > d = fromIntegral 0
                        | otherwise = b !! (d-c)

derivadaSerie     :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a
derivadaSerie a  = [ fromIntegral (n+1) *a !!(n+1)  | n <- [0..]]
integralSerie     :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a
integralSerie a = [ a !!(n-1)/ (fromIntegral n)  | n <- [1..]]
expx         :: Serie Rational
expx = [ 1 / (product [1..n]) | n <- [0..]]

opuestaSerie :: Num a => Serie a -> Serie a

opuestaSerie = map ((-1)*)

sumaSerie :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

sumaSerie = zipWith (+)

restaSerie :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

restaSerie = zipWith (-)

productoSerie :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

productoSerie a b = [ sum [ a !! i * b !! (n-i) |i <-[0..n] ] | n <- [0..] ]

cocienteSerie :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a

cocienteSerie a@(x:xs) b@(y:ys) = x/y : [ (M.detLaplace (aux n)) / (y^(n+1)) | n <- [1..]]

where aux n = M.matrix (n+1) (n+1) f

where f (k,1) = a !! (n+1-k)

f (c,d) | c > d = fromIntegral 0

| otherwise = b !! (d-c)

derivadaSerie :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a

derivadaSerie a = [ fromIntegral (n+1) *a !!(n+1) | n <- [0..]]

integralSerie :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a

integralSerie a = [ a !!(n-1)/ (fromIntegral n) | n <- [1..]]

expx :: Serie Rational

expx = [ 1 / (product [1..n]) | n <- [0..]]

Responder

import Data.Matrix as M

type Serie a = [a]

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a
opuesta s = map (*(-1)) s

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
suma s1 s2 = zipWith (+) s1 s2

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
resta s1 s2 = zipWith (-) s1 s2

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
producto s1 s2 = [ sum( zipWith (*) (take n s1) (reverse (take n s2))) | n <- [1..]]

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a
derivada s = map fst (map (\(x,i) -> (i*x,i-1)) (zip  (tail s) [1..]))

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a
integral s = 0: map fst (map (\(x,i) -> (x/(i+1),i+1)) (zip s [0..]  ))

expx :: Serie Rational
expx = [ 1 / factorial k | k<- [0..]]
  where factorial 0 = 1
        factorial k = k * factorial (k-1)

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a
cociente (x:s1) (y:s2) = (x/y):[ (determinante n)/(y^(n+1)) | n <- [1..]]
  where determinante n = (M.detLaplace (matriz (x:s1) (y:s2) n ))


matriz :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Int -> M.Matrix a
matriz (x:s1) (y:s2) n = M.matrix (n+1) (n+1) (\(i,j) -> f i j (x:s1) (y:s2))
  where f i 1 (x:s1) (y:s2) | i == n+1 = x
                            | otherwise = s1!!(n-i)
        f i j (x:s1) (y:s2) | i == j = y
                            | i > j = 0
                            | otherwise = s2!!(j-i-1)

import Data.Matrix as M

type Serie a = [a]

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a

opuesta s = map (*(-1)) s

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

suma s1 s2 = zipWith (+) s1 s2

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

resta s1 s2 = zipWith (-) s1 s2

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

producto s1 s2 = [ sum( zipWith (*) (take n s1) (reverse (take n s2))) | n <- [1..]]

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a

derivada s = map fst (map (\(x,i) -> (i*x,i-1)) (zip (tail s) [1..]))

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a

integral s = 0: map fst (map (\(x,i) -> (x/(i+1),i+1)) (zip s [0..] ))

expx :: Serie Rational

expx = [ 1 / factorial k | k<- [0..]]

where factorial 0 = 1

factorial k = k * factorial (k-1)

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a

cociente (x:s1) (y:s2) = (x/y):[ (determinante n)/(y^(n+1)) | n <- [1..]]

where determinante n = (M.detLaplace (matriz (x:s1) (y:s2) n ))

matriz :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Int -> M.Matrix a

matriz (x:s1) (y:s2) n = M.matrix (n+1) (n+1) (\(i,j) -> f i j (x:s1) (y:s2))

where f i 1 (x:s1) (y:s2) | i == n+1 = x

| otherwise = s1!!(n-i)

f i j (x:s1) (y:s2) | i == j = y

| i > j = 0

| otherwise = s2!!(j-i-1)

Responder

import Data.Matrix
type Serie a = [a]

opuesta      :: Num a => Serie a -> Serie a
opuesta  = map (*(-1)) 

suma         :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
suma  = zipWith (+)

resta        :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
resta = zipWith (-)

producto     :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
producto xs ys = [ sum [(xs!!i)*(ys!!(n-i)) | i<-[0..n]] | n<-[0..]]

cociente     :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a
cociente xs ys =
   ((xs!!0)/(ys!!0)):
   [ 1/(ys!!0)^(n+1)*detLaplace (matrizCociente xs ys n)  |n<-[1..]]

matrizCociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Int -> Matrix a
matrizCociente xs ys n =
  fromLists ([xs!!a | a<-[n,n-1..0]]:[[ys!!b | b<-[i,i-1..0]]++
             (replicate (n-i) (fromIntegral 0)) | i<-[1..n]])

derivada     :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a
derivada xs = [(xs!!n)*(fromIntegral n) | n<-[1..]]

integral     :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a
integral xs = 0:[ (xs!!n)/fromIntegral(n+1) | n<-[0..]]

expx         :: Serie Rational
expx = 1:[1/fromIntegral (fact n) | n<-[1..]]
  where
    fact n = product [1..n]

import Data.Matrix

type Serie a = [a]

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a

opuesta = map (*(-1))

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

suma = zipWith (+)

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

resta = zipWith (-)

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

producto xs ys = [ sum [(xs!!i)*(ys!!(n-i)) | i<-[0..n]] | n<-[0..]]

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a

cociente xs ys =

((xs!!0)/(ys!!0)):

[ 1/(ys!!0)^(n+1)*detLaplace (matrizCociente xs ys n) |n<-[1..]]

matrizCociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Int -> Matrix a

matrizCociente xs ys n =

fromLists ([xs!!a | a<-[n,n-1..0]]:[[ys!!b | b<-[i,i-1..0]]++

(replicate (n-i) (fromIntegral 0)) | i<-[1..n]])

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a

derivada xs = [(xs!!n)*(fromIntegral n) | n<-[1..]]

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a

integral xs = 0:[ (xs!!n)/fromIntegral(n+1) | n<-[0..]]

expx :: Serie Rational

expx = 1:[1/fromIntegral (fact n) | n<-[1..]]

where

fact n = product [1..n]

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