Números abundantes

Un número natural n se denomina abundante si es menor que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 es abundante ya que la suma de sus divisores propios es 16 (= 1 + 2 + 3 + 4 + 6), pero 5 y 28 no lo son.

Definir la función

   numeroAbundante :: Int -> Bool

1	numeroAbundante :: Int -> Bool

tal que numeroAbundante n se verifica si n es un número abundante. Por ejemplo,

   numeroAbundante 5  == False
   numeroAbundante 12 == True
   numeroAbundante 28 == False
   numeroAbundante 30 == True
   numeroAbundante 100000000  ==  True
   numeroAbundante 100000001  ==  False

numeroAbundante 5 == False

numeroAbundante 12 == True

numeroAbundante 28 == False

numeroAbundante 30 == True

numeroAbundante 100000000 == True

numeroAbundante 100000001 == False

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

import Math.NumberTheory.ArithmeticFunctions (sigma)
import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

numeroAbundante1 :: Integer -> Bool
numeroAbundante1 x =
  x < sumaDivisores1 x - x

-- (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,
--    sumaDivisores 12                 ==  28
--    sumaDivisores 25                 ==  31
sumaDivisores1 :: Integer -> Integer
sumaDivisores1 n = sum (divisores1 n)

-- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,
--    divisores 60  ==  [1,5,3,15,2,10,6,30,4,20,12,60]
divisores1 :: Integer -> [Integer]
divisores1 n = [x | x <- [1..n], n `rem` x == 0]

-- 2ª solución
-- ===========

-- Sustituyendo la definición de sumaDivisores de la solución anterior por
-- cada una de las del ejercicio [Suma de divisores](https://bit.ly/3S9aonQ)
-- se obtiene una nueva definición de numeroAbundante. La usada en la
-- definición anterior es la menos eficiente y la que se usa en la
-- siguiente definición es la más eficiente.

numeroAbundante2 :: Integer -> Bool
numeroAbundante2 x =
  x < sumaDivisores2 x - x

sumaDivisores2 :: Integer -> Integer
sumaDivisores2 = sigma 1

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_numeroAbundante :: Positive Integer -> Bool
prop_numeroAbundante (Positive n) =
  numeroAbundante1 n == numeroAbundante2 n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_numeroAbundante
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> numeroAbundante1 (5*10^6)
--    True
--    (2.55 secs, 1,000,558,840 bytes)
--    λ> numeroAbundante2 (5*10^6)
--    True
--    (0.00 secs, 555,408 bytes)

import Math.NumberTheory.ArithmeticFunctions (sigma)

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

numeroAbundante1 :: Integer -> Bool

numeroAbundante1 x =

x < sumaDivisores1 x - x

-- (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,

-- sumaDivisores 12 == 28

-- sumaDivisores 25 == 31

sumaDivisores1 :: Integer -> Integer

sumaDivisores1 n = sum (divisores1 n)

-- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,

-- divisores 60 == [1,5,3,15,2,10,6,30,4,20,12,60]

divisores1 :: Integer -> [Integer]

divisores1 n = [x | x <- [1..n], n `rem` x == 0]

-- 2ª solución

-- ===========

-- Sustituyendo la definición de sumaDivisores de la solución anterior por

-- cada una de las del ejercicio [Suma de divisores](https://bit.ly/3S9aonQ)

-- se obtiene una nueva definición de numeroAbundante. La usada en la

-- definición anterior es la menos eficiente y la que se usa en la

-- siguiente definición es la más eficiente.

numeroAbundante2 :: Integer -> Bool

numeroAbundante2 x =

x < sumaDivisores2 x - x

sumaDivisores2 :: Integer -> Integer

sumaDivisores2 = sigma 1

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_numeroAbundante :: Positive Integer -> Bool

prop_numeroAbundante (Positive n) =

numeroAbundante1 n == numeroAbundante2 n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_numeroAbundante

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> numeroAbundante1 (5*10^6)

-- True

-- (2.55 secs, 1,000,558,840 bytes)

-- λ> numeroAbundante2 (5*10^6)

-- True

-- (0.00 secs, 555,408 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

Soluciones en Python

from timeit import Timer, default_timer

from hypothesis import given
from hypothesis import strategies as st
from sympy import divisor_sigma

# 1ª solución
# ===========

# divisores(n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,
#    divisores(30)  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
def divisores1(n: int) -> list[int]:
    return [x for x in range(1, n + 1) if n % x == 0]

# sumaDivisores(x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,
#    sumaDivisores(12)                ==  28
#    sumaDivisores(25)                ==  31
def sumaDivisores1(n: int) -> int:
    return sum(divisores1(n))

def numeroAbundante1(x: int) -> bool:
    return x < sumaDivisores1(x) - x

# 2ª solución
# ===========

# Sustituyendo la definición de sumaDivisores de la solución anterior por
# cada una de las del ejercicio [Suma de divisores](https://bit.ly/3S9aonQ)
# se obtiene una nueva definición de numeroAbundante. La usada en la
# definición anterior es la menos eficiente y la que se usa en la
# siguiente definición es la más eficiente.

def sumaDivisores2(n: int) -> int:
    return divisor_sigma(n, 1)

def numeroAbundante2(x: int) -> bool:
    return x < sumaDivisores2(x) - x

# Comprobación de equivalencia
# ============================

# La propiedad es
@given(st.integers(min_value=2, max_value=1000))
def test_numeroAbundante(n):
    assert numeroAbundante1(n) == numeroAbundante2(n)

# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q numeros_abundantes.py
#    1 passed in 0.38s

# Comparación de eficiencia
# =========================

def tiempo(e):
    """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e."""
    t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1)
    print(f"{t:0.2f} segundos")

# La comparación es
#    >>> tiempo('numeroAbundante1(4 * 10**7)')
#    2.02 segundos
#    >>> tiempo('numeroAbundante2(4 * 10**7)')
#    0.00 segundos

from timeit import Timer, default_timer

from hypothesis import given

from hypothesis import strategies as st

from sympy import divisor_sigma

# 1ª solución

# ===========

# divisores(n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,

# divisores(30) == [1,2,3,5,6,10,15,30]

def divisores1(n: int) -> list[int]:

return [x for x in range(1, n + 1) if n % x == 0]

# sumaDivisores(x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,

# sumaDivisores(12) == 28

# sumaDivisores(25) == 31

def sumaDivisores1(n: int) -> int:

return sum(divisores1(n))

def numeroAbundante1(x: int) -> bool:

return x < sumaDivisores1(x) - x

# 2ª solución

# ===========

# Sustituyendo la definición de sumaDivisores de la solución anterior por

# cada una de las del ejercicio [Suma de divisores](https://bit.ly/3S9aonQ)

# se obtiene una nueva definición de numeroAbundante. La usada en la

# definición anterior es la menos eficiente y la que se usa en la

# siguiente definición es la más eficiente.

def sumaDivisores2(n: int) -> int:

return divisor_sigma(n, 1)

def numeroAbundante2(x: int) -> bool:

return x < sumaDivisores2(x) - x

# Comprobación de equivalencia

# ============================

# La propiedad es

@given(st.integers(min_value=2, max_value=1000))

def test_numeroAbundante(n):

assert numeroAbundante1(n) == numeroAbundante2(n)

# La comprobación es

# src> poetry run pytest -q numeros_abundantes.py

# 1 passed in 0.38s

# Comparación de eficiencia

# =========================

def tiempo(e):

"""Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e."""

t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1)

print(f"{t:0.2f} segundos")

# La comparación es

# >>> tiempo('numeroAbundante1(4 * 10**7)')

# 2.02 segundos

# >>> tiempo('numeroAbundante2(4 * 10**7)')

# 0.00 segundos

El código se encuentra en GitHub.

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