Los números armónicos no son enteros

PorJosé A. Alonso 3-febrero-202110-febrero-2021

Los números armónicos son las sumas de los inversos de de los primeros números enteros positivos; es decir, el n-ésimo número armónico es

   H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ··· + 1/n

1	H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ··· + 1/n

Los primeros números armónicos son

   1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, ..

1	1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, ..

Definir, usando la librería de los números racionales (Data.Ratio), las funciones

   armonico  :: Integer -> Rational
   armonicos :: [Rational]
   esEntero  :: Rational -> Bool

armonico :: Integer -> Rational

armonicos :: [Rational]

esEntero :: Rational -> Bool

tales que

(armonico n) es el n-ésimo número armónico. Por ejemplo,

     armonico 2  ==    3 % 2
     armonico 3  ==   11 % 6
     armonico 4  ==   25 % 12
     armonico 5  ==  137 % 60

armonico 2 == 3 % 2

armonico 3 == 11 % 6

armonico 4 == 25 % 12

armonico 5 == 137 % 60

armonicos es la lista de los números armónicos. Por ejemplo,

     take 5 armonicos  ==  [1 % 1,3 % 2,11 % 6,25 % 12,137 % 60]

1	take 5 armonicos == [1 % 1,3 % 2,11 % 6,25 % 12,137 % 60]

(esEntero x) se verifica si x es un número entero. Por ejemplo,

     esEntero (1 % 7)           ==  False
     esEntero (1 % 7 + 20 % 7)  ==  True

1 2	esEntero (1 % 7) == False esEntero (1 % 7 + 20 % 7) == True

Comprobar con QuickCheck que

nigún número armónico, excepto el primero, es un número entero y
la diferencia de dos números armónicos distintos nunca es un número entero.

Nota: Este ejercicio está basado en el artículo Sums of consecutive reciprocals publicado por John D. Cook en su blog el 23 de enero de 2021.

Soluciones

import Data.List (genericIndex)
import Data.Ratio ((%), denominator)
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

armonico  :: Integer -> Rational
armonico 1 = 1
armonico n = 1 % n + armonico (n-1)

armonicos :: [Rational]
armonicos = map armonico [1..]

esEntero  :: Rational -> Bool
esEntero x = denominator x == 1

-- 2ª solución
-- ===========

armonicos2 :: [Rational]
armonicos2 = scanl1 (\ x y -> x + y) [1 % n | n <- [1..]]

armonico2  :: Integer -> Rational
armonico2 n = armonicos `genericIndex` n

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> fromRational (armonicos !! (10^4))
--    9.787706026045383
--    (9.17 secs, 29,293,137,856 bytes)
--    λ> fromRational (armonicos2 !! (10^4))
--    9.787706026045383
--    (9.42 secs, 29,292,225,904 bytes)

-- Propiedades
-- ===========

-- La 1ª propiedad es
prop_armonicos :: Integer -> Property
prop_armonicos n =
  n > 1 ==>
  not (esEntero (armonico n))

-- La comprobación de la 1ª propiedad es
--    λ> quickCheck prop_armonicos
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- La 2ª propiedad es
prop_armonicos2 :: Integer -> Integer -> Property
prop_armonicos2 n m =
  n > 0 && m > 0 && n /= m ==>
  not (esEntero (armonico n - armonico m))

-- La comprobación de la segunda propiedad es
--   λ> quickCheck prop_armonicos2
--   +++ OK, passed 100 tests.

import Data.List (genericIndex)

import Data.Ratio ((%), denominator)

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

armonico :: Integer -> Rational

armonico 1 = 1

armonico n = 1 % n + armonico (n-1)

armonicos :: [Rational]

armonicos = map armonico [1..]

esEntero :: Rational -> Bool

esEntero x = denominator x == 1

-- 2ª solución

-- ===========

armonicos2 :: [Rational]

armonicos2 = scanl1 (\ x y -> x + y) [1 % n | n <- [1..]]

armonico2 :: Integer -> Rational

armonico2 n = armonicos `genericIndex` n

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> fromRational (armonicos !! (10^4))

-- 9.787706026045383

-- (9.17 secs, 29,293,137,856 bytes)

-- λ> fromRational (armonicos2 !! (10^4))

-- 9.787706026045383

-- (9.42 secs, 29,292,225,904 bytes)

-- Propiedades

-- ===========

-- La 1ª propiedad es

prop_armonicos :: Integer -> Property

prop_armonicos n =

n > 1 ==>

not (esEntero (armonico n))

-- La comprobación de la 1ª propiedad es

-- λ> quickCheck prop_armonicos

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- La 2ª propiedad es

prop_armonicos2 :: Integer -> Integer -> Property

prop_armonicos2 n m =

n > 0 && m > 0 && n /= m ==>

not (esEntero (armonico n - armonico m))

-- La comprobación de la segunda propiedad es

-- λ> quickCheck prop_armonicos2

-- +++ OK, passed 100 tests.

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

4 Comentarios

import Data.Ratio
armonico :: Integer -> Rational
armonico 1 = 1
armonico n = (1 % n) + (armonico (n - 1))

armonicos :: [Rational]
armonicos = scanl f (1 % 1) [2..]
  where f r x = r + (1 % x)

esEntero :: Rational -> Bool
esEntero x = mod (numerator x) (denominator x) == 0

prop_armonicosEnteros :: Integer -> Property
prop_armonicosEnteros x = x > 1 ==> esEntero (armonico x) == False

-- λ> quickCheck prop_armonicosEnteros
-- +++ OK, passed 100 tests.

import Data.Ratio

armonico :: Integer -> Rational

armonico 1 = 1

armonico n = (1 % n) + (armonico (n - 1))

armonicos :: [Rational]

armonicos = scanl f (1 % 1) [2..]

where f r x = r + (1 % x)

esEntero :: Rational -> Bool

esEntero x = mod (numerator x) (denominator x) == 0

prop_armonicosEnteros :: Integer -> Property

prop_armonicosEnteros x = x > 1 ==> esEntero (armonico x) == False

-- λ> quickCheck prop_armonicosEnteros

-- +++ OK, passed 100 tests.

Responder

import Data.Ratio

armonico  :: Integer -> Rational
armonico n = last (take (fromIntegral n) (scanl1 (+) [(1 % n) |n<-[1..]]))

armonicos :: [Rational]
armonicos = [armonico n |n<-[1..]]

esEntero  :: Rational -> Bool
esEntero x = mod (numerator x) (denominator x) == 0

prop_armonico_Entero :: Bool
prop_armonico_Entero = all (==False) (map (esEntero) (tail (armonicos)))

prop_armonico_Entero_Dif :: Bool
prop_armonico_Entero_Dif = and [not (esEntero (y-x)) | x<-armonicos, y<-(filter (>x) (armonicos))] == True

import Data.Ratio

armonico :: Integer -> Rational

armonico n = last (take (fromIntegral n) (scanl1 (+) [(1 % n) |n<-[1..]]))

armonicos :: [Rational]

armonicos = [armonico n |n<-[1..]]

esEntero :: Rational -> Bool

esEntero x = mod (numerator x) (denominator x) == 0

prop_armonico_Entero :: Bool

prop_armonico_Entero = all (==False) (map (esEntero) (tail (armonicos)))

prop_armonico_Entero_Dif :: Bool

prop_armonico_Entero_Dif = and [not (esEntero (y-x)) | x<-armonicos, y<-(filter (>x) (armonicos))] == True

Responder

-- LOS NÚMEROS ARMONICOS 
import Data.Ratio
import Test.QuickCheck
-- En primer lugar, definimos la función armonicos con ayuda de una función
-- auxiliar, sumaArmonicos. 
armonicos :: [Rational]
armonicos =  [sumaArmonicos x | x <- [1..]]

-- Esta función auxiliar nos da la suma de los n primeros números
-- armonicos. Por ejemplo:
-- sumaArmonicos 2 == 3 % 2

sumaArmonicos :: Rational -> Rational  
sumaArmonicos n =  sum [1/x | x <- [1..n]]

-- Ahora, podremos definir la función armonico, que nos da el elemento en la
-- n-esima posicion en la lista de los armonicos. 

armonico :: Int -> Rational
armonico n = armonicos !! (n-1)

-- Con  esto definimos la funcion esEntero, tomamos las funciones numerator n
-- y denominator n definidas en la librería Data.Ratio.
esEntero :: Rational -> Bool
esEntero n = rem (numerator n) (denominator n) == 0

-- Por último, verificamos las propiedades
propiedad_1 :: Int     -> Property
propiedad_1 n = n /=1 && n > 0 ==> not (esEntero (armonico n))

propiedad_2 :: Int -> Int -> Property
propiedad_2 x y = x /= y && x > 0 && y >0 ==> not (esEntero p)
 where p =  armonico x - armonico y

--λ> quickCheck propiedad_1
--- OK, passed 100 tests.
--λ> quickCheck propiedad_2
--- OK, passed 100 tests.

-- LOS NÚMEROS ARMONICOS

import Data.Ratio

import Test.QuickCheck

-- En primer lugar, definimos la función armonicos con ayuda de una función

-- auxiliar, sumaArmonicos.

armonicos :: [Rational]

armonicos = [sumaArmonicos x | x <- [1..]]

-- Esta función auxiliar nos da la suma de los n primeros números

-- armonicos. Por ejemplo:

-- sumaArmonicos 2 == 3 % 2

sumaArmonicos :: Rational -> Rational

sumaArmonicos n = sum [1/x | x <- [1..n]]

-- Ahora, podremos definir la función armonico, que nos da el elemento en la

-- n-esima posicion en la lista de los armonicos.

armonico :: Int -> Rational

armonico n = armonicos !! (n-1)

-- Con esto definimos la funcion esEntero, tomamos las funciones numerator n

-- y denominator n definidas en la librería Data.Ratio.

esEntero :: Rational -> Bool

esEntero n = rem (numerator n) (denominator n) == 0

-- Por último, verificamos las propiedades

propiedad_1 :: Int -> Property

propiedad_1 n = n /=1 && n > 0 ==> not (esEntero (armonico n))

propiedad_2 :: Int -> Int -> Property

propiedad_2 x y = x /= y && x > 0 && y >0 ==> not (esEntero p)

where p = armonico x - armonico y

--λ> quickCheck propiedad_1

--- OK, passed 100 tests.

--λ> quickCheck propiedad_2

--- OK, passed 100 tests.

Responder

import Data.Ratio
import Test.QuickCheck

armonico  :: Integer -> Rational
armonico 0 = 0
armonico n = (1 % n) + armonico (n-1) 

armonicos :: [Rational]
armonicos = [armonico x | x<-[1..]]

esEntero  :: Rational -> Bool
esEntero x = rem (numerator x) (denominator x) == 0

enteros :: [Integer]
enteros = [1..]

prop_armonicos :: Integer -> Property
prop_armonicos n = n > 1 ==> not (esEntero (armonico n))

prop_diferencia :: Integer -> Integer -> Property
prop_diferencia a b = a>0 && b>0 && a/=b ==> not (esEntero (armonico (a)-(armonico (b))))

import Data.Ratio

import Test.QuickCheck

armonico :: Integer -> Rational

armonico 0 = 0

armonico n = (1 % n) + armonico (n-1)

armonicos :: [Rational]

armonicos = [armonico x | x<-[1..]]

esEntero :: Rational -> Bool

esEntero x = rem (numerator x) (denominator x) == 0

enteros :: [Integer]

enteros = [1..]

prop_armonicos :: Integer -> Property

prop_armonicos n = n > 1 ==> not (esEntero (armonico n))

prop_diferencia :: Integer -> Integer -> Property

prop_diferencia a b = a>0 && b>0 && a/=b ==> not (esEntero (armonico (a)-(armonico (b))))

Responder

Los números armónicos no son enteros

Soluciones

Nuevas soluciones

4 Comentarios

Escribe tu soluciónCancel reply

Entradas recientes

Buscar

Correo electrónico

Soluciones

Nuevas soluciones

Se puede imprimir o compartir con

4 Comentarios

Escribe tu soluciónCancel reply

Entradas recientes

Buscar

Correo electrónico