Integración por el método de los rectángulos

La integral definida de una función f entre los límites a y b puede calcularse mediante la regla del rectángulo usando la fórmula

   h * (f(a+h/2) + f(a+h+h/2) + f(a+2h+h/2) + ... + f(a+nh+h/2))

1	h * (f(a+h/2) + f(a+h+h/2) + f(a+2h+h/2) + ... + f(a+nh+h/2))

con a+nh+h/2 ≤ b < a+(n+1)h+h/2 y usando valores pequeños para h.

Definir la función

   integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a

1	integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a

tal que (integral a b f h) es el valor de dicha expresión. Por ejemplo, el cálculo de la integral de f(x) = x^3 entre 0 y 1, con paso 0.01, es

   integral 0 1 (^3) 0.01  ==  0.24998750000000042

1	integral 0 1 (^3) 0.01 == 0.24998750000000042

Otros ejemplos son

   integral 0 1 (^4) 0.01                        ==  0.19998333362500048
   integral 0 1 (\x -> 3*x^2 + 4*x^3) 0.01       ==  1.9999250000000026
   log 2 - integral 1 2 (\x -> 1/x) 0.01         ==  3.124931644782336e-6
   pi - 4 * integral 0 1 (\x -> 1/(x^2+1)) 0.01  ==  -8.333333331389525e-6

integral 0 1 (^4) 0.01 == 0.19998333362500048

integral 0 1 (\x -> 3*x^2 + 4*x^3) 0.01 == 1.9999250000000026

log 2 - integral 1 2 (\x -> 1/x) 0.01 == 3.124931644782336e-6

pi - 4 * integral 0 1 (\x -> 1/(x^2+1)) 0.01 == -8.333333331389525e-6

Nota: Definir la función también en Maxima. Por ejemplo,

   (%i3) integral (0,1,lambda ([x],x^3),0.01);
   (%o3) 0.2499875

1 2	(%i3) integral (0,1,lambda ([x],x^3),0.01); (%o3) 0.2499875

Soluciones

-- 1ª solución
-- ===========

integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a
integral a b f h = h * suma (a+h/2) b (+h) f

-- (suma a b s f) es l valor de
--    f(a) + f(s(a)) + f(s(s(a)) + ... + f(s(...(s(a))...))
-- hasta que s(s(...(s(a))...)) > b. Por ejemplo,
--    suma 2 5 (1+) (^3)  ==  224
suma :: (Ord t, Num a) => t -> t -> (t -> t) -> (t -> a) -> a
suma a b s f = sum [f x | x <- sucesion a b s]

-- (sucesion x y s) es la lista
--    [a, s(a), s(s(a), ..., s(...(s(a))...)]
-- hasta que s(s(...(s(a))...)) > b. Por ejemplo,
--    sucesion 3 20 (+2)  ==  [3,5,7,9,11,13,15,17,19]
sucesion :: Ord a => a -> a -> (a -> a) -> [a]
sucesion a b s = takeWhile (<=b) (iterate s a)

-- 2ª solución
-- ===========

integral2 :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a
integral2 a b f h
    | a+h/2 > b = 0
    | otherwise = h * f (a+h/2) + integral2 (a+h) b f h

-- 3ª solución
-- ===========

integral3 :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a
integral3 a b f h = aux a where
    aux x | x+h/2 > b = 0
          | otherwise = h * f (x+h/2) + aux (x+h)

-- 1ª solución

-- ===========

integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a

integral a b f h = h * suma (a+h/2) b (+h) f

-- (suma a b s f) es l valor de

-- f(a) + f(s(a)) + f(s(s(a)) + ... + f(s(...(s(a))...))

-- hasta que s(s(...(s(a))...)) > b. Por ejemplo,

-- suma 2 5 (1+) (^3) == 224

suma :: (Ord t, Num a) => t -> t -> (t -> t) -> (t -> a) -> a

suma a b s f = sum [f x | x <- sucesion a b s]

-- (sucesion x y s) es la lista

-- [a, s(a), s(s(a), ..., s(...(s(a))...)]

-- hasta que s(s(...(s(a))...)) > b. Por ejemplo,

-- sucesion 3 20 (+2) == [3,5,7,9,11,13,15,17,19]

sucesion :: Ord a => a -> a -> (a -> a) -> [a]

sucesion a b s = takeWhile (<=b) (iterate s a)

-- 2ª solución

-- ===========

integral2 :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a

integral2 a b f h

| a+h/2 > b = 0

| otherwise = h * f (a+h/2) + integral2 (a+h) b f h

-- 3ª solución

-- ===========

integral3 :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a

integral3 a b f h = aux a where

aux x | x+h/2 > b = 0

| otherwise = h * f (x+h/2) + aux (x+h)

Solución en Maxima

integral (a,b,f,h) := block ([c:a+h/2, s:0],
  while c <= b do
    ( s : s + f(c),
      c : c+h),
  float(h*s))$

integral (a,b,f,h) := block ([c:a+h/2, s:0],

while c <= b do

( s : s + f(c),

c : c+h),

float(h*s))$

Nota: En Maxima esta definida la función integrate para calcular integrales definidas. Por ejemplo,

     (%i7) integrate (x^3,x,0,1);
           1
     (%o7) -
           4
     (%i8) %, numer;
     (%o8) 0.25

(%i7) integrate (x^3,x,0,1);

(%o7) -

(%i8) %, numer;

(%o8) 0.25

7 Comentarios

import Data.List

integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a
integral a b f h = 
    h * (sum [f x | x <- (takeWhile (<=b) (iterate (+h) (a+h/2)))])

import Data.List

integral a b f h =

h * (sum [f x | x <- (takeWhile (<=b) (iterate (+h) (a+h/2)))])

Responder

erisan dice:

1-marzo-2016 a las 16:31

integral (a,b,f,h) := block ( if a > b then 0 else h * f (a+h/2) + integralA1 (a+h,b,f,h))$

1
2
3

integral (a,b,f,h) := block (
if a > b then 0
else h * f (a+h/2) + integralA1 (a+h,b,f,h))$

Responder
fracruzam dice:

1-marzo-2016 a las 17:54

Haskell

integral (a,b,f,h) := block([s:0], for k from (a+h/2) thru b step h do s : s + f(k), h * s)$

1
2
3

integral (a,b,f,h) := block([s:0],
for k from (a+h/2) thru b step h do s : s + f(k),
h * s)$

Responder
Alejandro dice:

2-marzo-2016 a las 07:13

Definición iterativa en Maxima

integral (a,b,f,h) := block ([c:a+h/2, s:0], while c <= b do ( s : s + f(c), c : c+h), float(h*s))$

1
2
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5

integral (a,b,f,h) := block ([c:a+h/2, s:0],
  while c <= b do
    ( s : s + f(c),
      c : c+h),
  float(h*s))$

Responder

integral :: (Fractional a, Ord a, Enum a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a
integral a b f h = h * sum (map f (generaLista a b h))

generaLista :: (Fractional a, Ord a, Enum a) => a -> a -> a -> [a]
generaLista a b h = takeWhile (<= b) [a+n*h+h/2 | n <- [0..]]

integral :: (Fractional a, Ord a, Enum a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a

integral a b f h = h * sum (map f (generaLista a b h))

generaLista :: (Fractional a, Ord a, Enum a) => a -> a -> a -> [a]

generaLista a b h = takeWhile (<= b) [a+n*h+h/2 | n <- [0..]]

abrdelrod dice:

5-marzo-2016 a las 15:27

Haskell

integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a integral a b f h = h * (sum.map f.takeWhile (<=b)) (iterate (+h) $ a+h/2)

1
2

integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a
integral a b f h = h * (sum.map f.takeWhile (<=b)) (iterate (+h) $ a+h/2)

Responder

integral :: (Fractional a,Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a
integral a b f h | b < a = 0 
                 | otherwise = h* (f (a+h/2)) + (integral (a+h) b f h)

integral a b f h | b < a = 0

| otherwise = h* (f (a+h/2)) + (integral (a+h) b f h)

Integración por el método de los rectángulos

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