El teorema de Midy

El ejercicio de hoy, propuesto por Antonio García Blázquez, tiene como objetivo comprobar la veracidad del Teorema de Midy, este teorema dice:

Sea a/p una fracción, donde a < p y p > 5 es un número primo. Si esta fracción tiene una expansión decimal periódica, donde la cantidad de dígitos en el período es par, entonces podemos partir el período en dos mitades, cuya suma es un número formado únicamente por nueves.

Por ejemplo, 2/7 = 0’285714285714… El período es 285714, cuya longitud es par (6). Lo partimos por la mitad y las sumamos: 285+714 = 999.

Definir la función

   teoremaMidy :: Integer -> Bool

1	teoremaMidy :: Integer -> Bool

tal que (teoremaMidy n) se verifica si para todo todo número primo p menor que n y mayor que 5 y todo número natural a menor que p tales que la cantidad de dígitos en el período de a/p es par, entonces podemos partir el período de a/p en dos mitades, cuya suma es un número formado únicamente por nueves. Por ejemplo,

   teoremaMidy 200  ==  True

1	teoremaMidy 200 == True

Además, comprobar el teorema de Midy usando QuickCheck.

Soluciones

import Data.List (genericTake)
import Data.Numbers.Primes (primes, isPrime)
import Test.QuickCheck

teoremaMidy :: Integer -> Bool
teoremaMidy n = 
    all conclusionMidy [(a,p) | p <- takeWhile (<n) (drop 3 primes),
                                a <- [1..p-1],
                                tienePeriodoDeLongitudPar (a,p)]

-- (tienePeriodoDeLongitudPar (a,p)) se verifica si el período de a/p
-- (con p un primo mayor que 5 y que a) es de longitud par. Por ejemplo,  
--    tienePeriodoDeLongitudPar (1,7)   ==  True
--    tienePeriodoDeLongitudPar (1,37)  ==  False
tienePeriodoDeLongitudPar :: (Integer,Integer) -> Bool
tienePeriodoDeLongitudPar (a,p) =
    even (longitudPeriodo p)

-- (expansionDec (a,p)) es la expansión decimal de a/p. Por ejemplo, 
--    take 10 (expansionDec (1,4))    ==  [0,2,5]
--    take 10 (expansionDec (1,7))    ==  [0,1,4,2,8,5,7,1,4,2]
--    take 12 (expansionDec (90,7))   ==  [12,8,5,7,1,4,2,8,5,7,1,4]
--    take 12 (expansionDec (23,14))  ==  [1,6,4,2,8,5,7,1,4,2,8,5]
expansionDec :: (Integer,Integer) -> [Integer]
expansionDec (x,y) 
    | r == 0    = [q] 
    | otherwise = q : expansionDec (r*10,y)
    where (q,r) = quotRem x y

-- (longitudPeriodo p) es la longitud del período de 1/p (y de
-- cualquier fracción irreducible de denominador p), donde p es un
-- número primo mayor que 5. Por ejemplo, 
--    longitudPeriodo 7   ==  6
--    longitudPeriodo 37  ==  3
--    longitudPeriodo 83  ==  41
longitudPeriodo :: Integer -> Integer
longitudPeriodo p = head [k | k <- [1..], 10^k `mod` p == 1]

-- (periodo (a,p)) es el período de a/b (para a < p y p > 5 es primo). 
-- Por ejemplo, 
--    periodo (1,7)   ==  [1,4,2,8,5,7]
--    periodo (2,7)   ==  [2,8,5,7,1,4]
--    periodo (6,7)   ==  [8,5,7,1,4,2]
--    periodo (1,73)  ==  [0,1,3,6,9,8,6,3]
periodo :: (Integer,Integer) -> [Integer]
periodo (a,p) = genericTake t xs
    where (_:xs) = expansionDec (a,p)
          t      = longitudPeriodo p

-- (conclusionMidy (a,p)) se verifica si a/p verifica la conclusión del
-- teorema de Midy; es decir, podemos partir el período de a/p en dos
-- mitades, cuya suma es un número formado únicamente por nueves. Por
-- ejemplo,  
--    conclusionMidy (1,7)   ==  True
--    conclusionMidy (1,37)  ==  False
conclusionMidy :: (Integer,Integer) -> Bool
conclusionMidy (a,p) = 
    all (==9) (zipWith (+) ys zs)
    where xs      = periodo (a,p)
          (ys,zs) = splitAt (length xs `div` 2) xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Comprobación con QuickCheck                                      --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- (condicionMidy (a,p)) se verifica si a/p cumple las condiciones del
-- teorema de Midy. Por ejemplo,
--    condicionMidy (1,7)   ==  True
--    condicionMidy (1,37)  ==  False
condicionMidy :: (Integer,Integer) -> Bool
condicionMidy (a,p) = 
    a > 0 && 
    a < p && 
    isPrime p && 
    p > 5 && 
    tienePeriodoDeLongitudPar (a,p)

-- La propiedad es 
prop_teoremaMidy :: (Integer,Integer) -> Property
prop_teoremaMidy (a,p) = 
    condicionMidy (a,p) ==> conclusionMidy (a,p)

-- La comprobación es 
--    ghci> quickCheck prop_teoremaMidy
--    *** Gave up! Passed only 24 tests.

-- En la comprobación se observa que la mayoría de los ejemplos
-- generados no cumplen la condición del teorema de Midy y sólo 24 de
-- ellos la cumplen y también la conclusión. 

-- Para aumentar el número de casos en lo que se cumpla la condición, se
-- puede aumentar el valor de maxSuccess; por ejemplo,   
--    ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSuccess=700}) prop_teoremaMidy
--    *** Gave up! Passed only 137 tests.

-- Otra forma de conseguirlo es definir un generador de números de Midy
-- (es decir, de pares (a,p) que cumplan la condición del teorema de
-- Midy). Por ejemplo, 
--    ghci> sample numeroMidy
--    (15,19)
--    (5,7)
--    (1,23)
--    (7,11)
numeroMidy :: Gen (Integer,Integer)
numeroMidy = suchThat arbitrary condicionMidy

-- La propiedad es
prop_teoremaMidy2 :: Property
prop_teoremaMidy2 = forAll numeroMidy conclusionMidy

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_teoremaMidy2
--    +++ OK, passed 100 tests.

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import Data.List (genericTake)

import Data.Numbers.Primes (primes, isPrime)

import Test.QuickCheck

teoremaMidy :: Integer -> Bool

teoremaMidy n =

all conclusionMidy [(a,p) | p <- takeWhile (<n) (drop 3 primes),

a <- [1..p-1],

tienePeriodoDeLongitudPar (a,p)]

-- (tienePeriodoDeLongitudPar (a,p)) se verifica si el período de a/p

-- (con p un primo mayor que 5 y que a) es de longitud par. Por ejemplo,

-- tienePeriodoDeLongitudPar (1,7) == True

-- tienePeriodoDeLongitudPar (1,37) == False

tienePeriodoDeLongitudPar :: (Integer,Integer) -> Bool

tienePeriodoDeLongitudPar (a,p) =

even (longitudPeriodo p)

-- (expansionDec (a,p)) es la expansión decimal de a/p. Por ejemplo,

-- take 10 (expansionDec (1,4)) == [0,2,5]

-- take 10 (expansionDec (1,7)) == [0,1,4,2,8,5,7,1,4,2]

-- take 12 (expansionDec (90,7)) == [12,8,5,7,1,4,2,8,5,7,1,4]

-- take 12 (expansionDec (23,14)) == [1,6,4,2,8,5,7,1,4,2,8,5]

expansionDec :: (Integer,Integer) -> [Integer]

expansionDec (x,y)

| r == 0 = [q]

| otherwise = q : expansionDec (r*10,y)

where (q,r) = quotRem x y

-- (longitudPeriodo p) es la longitud del período de 1/p (y de

-- cualquier fracción irreducible de denominador p), donde p es un

-- número primo mayor que 5. Por ejemplo,

-- longitudPeriodo 7 == 6

-- longitudPeriodo 37 == 3

-- longitudPeriodo 83 == 41

longitudPeriodo :: Integer -> Integer

longitudPeriodo p = head [k | k <- [1..], 10^k `mod` p == 1]

-- (periodo (a,p)) es el período de a/b (para a < p y p > 5 es primo).

-- Por ejemplo,

-- periodo (1,7) == [1,4,2,8,5,7]

-- periodo (2,7) == [2,8,5,7,1,4]

-- periodo (6,7) == [8,5,7,1,4,2]

-- periodo (1,73) == [0,1,3,6,9,8,6,3]

periodo :: (Integer,Integer) -> [Integer]

periodo (a,p) = genericTake t xs

where (_:xs) = expansionDec (a,p)

t = longitudPeriodo p

-- (conclusionMidy (a,p)) se verifica si a/p verifica la conclusión del

-- teorema de Midy; es decir, podemos partir el período de a/p en dos

-- mitades, cuya suma es un número formado únicamente por nueves. Por

-- ejemplo,

-- conclusionMidy (1,7) == True

-- conclusionMidy (1,37) == False

conclusionMidy :: (Integer,Integer) -> Bool

conclusionMidy (a,p) =

all (==9) (zipWith (+) ys zs)

where xs = periodo (a,p)

(ys,zs) = splitAt (length xs `div` 2) xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Comprobación con QuickCheck --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- (condicionMidy (a,p)) se verifica si a/p cumple las condiciones del

-- teorema de Midy. Por ejemplo,

-- condicionMidy (1,7) == True

-- condicionMidy (1,37) == False

condicionMidy :: (Integer,Integer) -> Bool

condicionMidy (a,p) =

a > 0 &&

a < p &&

isPrime p &&

p > 5 &&

tienePeriodoDeLongitudPar (a,p)

-- La propiedad es

prop_teoremaMidy :: (Integer,Integer) -> Property

prop_teoremaMidy (a,p) =

condicionMidy (a,p) ==> conclusionMidy (a,p)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_teoremaMidy

-- *** Gave up! Passed only 24 tests.

-- En la comprobación se observa que la mayoría de los ejemplos

-- generados no cumplen la condición del teorema de Midy y sólo 24 de

-- ellos la cumplen y también la conclusión.

-- Para aumentar el número de casos en lo que se cumpla la condición, se

-- puede aumentar el valor de maxSuccess; por ejemplo,

-- ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSuccess=700}) prop_teoremaMidy

-- *** Gave up! Passed only 137 tests.

-- Otra forma de conseguirlo es definir un generador de números de Midy

-- (es decir, de pares (a,p) que cumplan la condición del teorema de

-- Midy). Por ejemplo,

-- ghci> sample numeroMidy

-- (15,19)

-- (5,7)

-- (1,23)

-- (7,11)

numeroMidy :: Gen (Integer,Integer)

numeroMidy = suchThat arbitrary condicionMidy

-- La propiedad es

prop_teoremaMidy2 :: Property

prop_teoremaMidy2 = forAll numeroMidy conclusionMidy

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_teoremaMidy2

-- +++ OK, passed 100 tests.

import Data.Numbers.Primes
import Test.QuickCheck

teoremaMidy :: Integer -> Bool
teoremaMidy n = all (==9) (concat xs)
    where xs = [f (periodo a b) | b <- takeWhile (<n) primes
                                , a <- [1..b-1]
                                , b > 5
                                , even (longitudPeriodo a b)]
          f xs = zipWith (+) (take l xs) (drop l xs)
          l = div (length xs) 2
 
prop_midy :: Integer -> Property
prop_midy n = n < 200 && n > 0 ==> teoremaMidy n == True

-- Funciones del ejercicio anterior

periodo :: Integer -> Integer -> [Integer]
periodo a b 
    | puro a b  = take l (tail (decimales a b))
    | mixto a b = periodoMixto l a b
    where l = fromIntegral (longitudPeriodo a b)
          periodoMixto l a b = buscaPeriodo l (decimales a b)
          buscaPeriodo l p@(x:xs) | take l p == take l (drop l p) = take l p
                                  | otherwise = buscaPeriodo l xs

antiperiodo :: [Integer] -> [Integer] -> Int -> [Integer]  
antiperiodo ys (x:xs) l | take l (x:xs) == ys = []
                        | otherwise = x:antiperiodo ys xs l

decimales :: Integer -> Integer -> [Integer]
decimales a b = let (d,r) = (div a b,(mod a b)*10)
                in d:decimales r b

longitudPeriodo :: Integer -> Integer -> Integer
longitudPeriodo a b 
    | puro a b  = head [x | x <- [1..], mod (10^x - 1) b == 0]
    | mixto a b = longitudMixto a b
    | otherwise = 0
    where longitudMixto a b = 
              longitudPeriodo a (product [x | x <- primeFactors b
                                            , x /= 2, x /= 5])

puro :: Integer -> Integer -> Bool
puro _ b = gcd b 5 == 1 && gcd 2 b == 1

mixto :: Integer -> Integer -> Bool
mixto _ b = not $ null [x | x <- primeFactors b, x /= 2, x /= 5]

import Data.Numbers.Primes

import Test.QuickCheck

teoremaMidy :: Integer -> Bool

teoremaMidy n = all (==9) (concat xs)

where xs = [f (periodo a b) | b <- takeWhile (<n) primes

, a <- [1..b-1]

, b > 5

, even (longitudPeriodo a b)]

f xs = zipWith (+) (take l xs) (drop l xs)

l = div (length xs) 2

prop_midy :: Integer -> Property

prop_midy n = n < 200 && n > 0 ==> teoremaMidy n == True

-- Funciones del ejercicio anterior

periodo :: Integer -> Integer -> [Integer]

periodo a b

| puro a b = take l (tail (decimales a b))

| mixto a b = periodoMixto l a b

where l = fromIntegral (longitudPeriodo a b)

periodoMixto l a b = buscaPeriodo l (decimales a b)

buscaPeriodo l p@(x:xs) | take l p == take l (drop l p) = take l p

| otherwise = buscaPeriodo l xs

antiperiodo :: [Integer] -> [Integer] -> Int -> [Integer]

antiperiodo ys (x:xs) l | take l (x:xs) == ys = []

| otherwise = x:antiperiodo ys xs l

decimales :: Integer -> Integer -> [Integer]

decimales a b = let (d,r) = (div a b,(mod a b)*10)

in d:decimales r b

longitudPeriodo :: Integer -> Integer -> Integer

longitudPeriodo a b

| puro a b = head [x | x <- [1..], mod (10^x - 1) b == 0]

| mixto a b = longitudMixto a b

| otherwise = 0

where longitudMixto a b =

longitudPeriodo a (product [x | x <- primeFactors b

, x /= 2, x /= 5])

puro :: Integer -> Integer -> Bool

puro _ b = gcd b 5 == 1 && gcd 2 b == 1

mixto :: Integer -> Integer -> Bool

mixto _ b = not $ null [x | x <- primeFactors b, x /= 2, x /= 5]

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