Camino de máxima suma en una matriz
Los caminos desde el extremo superior izquierdo (posición (1,1)) hasta el extremo inferior derecho (posición (3,4)) en la matriz
1 2 3 |
( 1 6 11 2 ) ( 7 12 3 8 ) ( 3 8 4 9 ) |
moviéndose en cada paso una casilla hacia abajo o hacia la derecha, son los siguientes:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
1, 7, 3, 8, 4, 9 1, 7, 12, 8, 4, 9 1, 7, 12, 3, 4, 9 1, 7, 12, 3, 8, 9 1, 6, 12, 8, 4, 9 1, 6, 12, 3, 4, 9 1, 6, 12, 3, 8, 9 1, 6, 11, 3, 4, 9 1, 6, 11, 3, 8, 9 1, 6, 11, 2, 8, 9 |
Las sumas de los caminos son 32, 41, 36, 40, 40, 35, 39, 34, 38 y 37, respectivamente. El camino de máxima suma es el segundo (1, 7, 12, 8, 4, 9) que tiene una suma de 41.
Definir la función
1 |
caminoMaxSuma :: Matrix Int -> [Int] |
tal que (caminoMaxSuma m) es un camino de máxima suma en la matriz m desde el extremo superior izquierdo hasta el extremo inferior derecho, moviéndose en cada paso una casilla hacia abajo o hacia la derecha. Por ejemplo,
1 2 3 4 |
λ> caminoMaxSuma (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) [1,7,12,8,4,9] λ> sum (caminoMaxSuma (fromList 800 800 [1..])) 766721999 |
Nota: Se recomienda usar programación dinámica.
Soluciones
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import Data.Matrix -- 1ª definición -- ============= caminoMaxSuma1 :: Matrix Int -> [Int] caminoMaxSuma1 m = head [c | c <- cs, sum c == k] where cs = caminos1 m k = maximum (map sum cs) caminos1 :: Matrix Int -> [[Int]] caminos1 m = map reverse (caminos1Aux m (nf,nc)) where nf = nrows m nc = ncols m -- (caminos1Aux p x) es la lista de los caminos invertidos en la matriz p -- desde la posición (1,1) hasta la posición x. Por ejemplo, caminos1Aux :: Matrix Int -> (Int,Int) -> [[Int]] caminos1Aux m (1,1) = [[m!(1,1)]] caminos1Aux m (1,j) = [[m!(1,k) | k <- [j,j-1..1]]] caminos1Aux m (i,1) = [[m!(k,1) | k <- [i,i-1..1]]] caminos1Aux m (i,j) = [m!(i,j) : xs | xs <- caminos1Aux m (i,j-1) ++ caminos1Aux m (i-1,j)] -- 2ª definición -- ============= caminoMaxSuma2 :: Matrix Int -> [Int] caminoMaxSuma2 m = head [c | c <- cs, sum c == k] where cs = caminos2 m k = maximum (map sum cs) caminos2 :: Matrix Int -> [[Int]] caminos2 m = map reverse (matrizCaminos m ! (nrows m, ncols m)) matrizCaminos :: Matrix Int -> Matrix [[Int]] matrizCaminos m = q where q = matrix (nrows m) (ncols m) f f (1,y) = [[m!(1,z) | z <- [y,y-1..1]]] f (x,1) = [[m!(z,1) | z <- [x,x-1..1]]] f (x,y) = [m!(x,y) : cs | cs <- q!(x-1,y) ++ q!(x,y-1)] -- 3ª definición (con programación dinámica) -- ========================================= caminoMaxSuma3 :: Matrix Int -> [Int] caminoMaxSuma3 m = reverse (snd (q ! (nf,nc))) where nf = nrows m nc = ncols m q = caminoMaxSumaAux m caminoMaxSumaAux :: Matrix Int -> Matrix (Int,[Int]) caminoMaxSumaAux m = q where nf = nrows m nc = ncols m q = matrix nf nc f where f (1,1) = (m!(1,1),[m!(1,1)]) f (1,j) = (k + m!(1,j), m!(1,j):xs) where (k,xs) = q!(1,j-1) f (i,1) = (k + m!(i,1), m!(i,1):xs) where (k,xs) = q!(i-1,1) f (i,j) | k1 > k2 = (k1 + m!(i,j), m!(i,j):xs) | otherwise = (k2 + m!(i,j), m!(i,j):ys) where (k1,xs) = q!(i,j-1) (k2,ys) = q!(i-1,j) -- Comparación de eficiencia -- ------------------------- -- λ> length (caminoMaxSuma1 (fromList 11 11 [1..])) -- 21 -- (10.00 secs, 1,510,120,328 bytes) -- λ> length (caminoMaxSuma2 (fromList 11 11 [1..])) -- 21 -- (3.84 secs, 745,918,544 bytes) -- λ> length (caminoMaxSuma3 (fromList 11 11 [1..])) -- 21 -- (0.01 secs, 0 bytes) |
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