José A. Alonso

Números que no son sumas de progresiones aritméticas de diferencia uno

PorJosé A. Alonso 3-junio-202126-enero-2022

El número 3 es la suma de números enteros positivos en progresión aritmética de diferencia uno (ya que es 1+2) y también lo es el 5 (ya que es 2+3) y el 6 (ya que es (1+2+3), pero el 4 no lo es.

Definir la función

   noSonSumasDePADeDiferenciaUno :: [Integer]

1	noSonSumasDePADeDiferenciaUno :: [Integer]

cuyos elementos son los números que no se pueden escribir como de progresiones aritméticas de diferencia uno, con al menos dos términos, de números enteros positivos. Por ejemplo,

   noSonSumasDePADeDiferenciaUno !! 2  ==  4
   length (show (noSonSumasDePADeDiferenciaUno !! (10^7))) == 3010300

1 2	noSonSumasDePADeDiferenciaUno !! 2 == 4 length (show (noSonSumasDePADeDiferenciaUno !! (10^7))) == 3010300

Soluciones

import Data.List (foldr1)

-- 1ª solución
-- ===========

noSonSumasDePADeDiferenciaUno :: [Integer]
noSonSumasDePADeDiferenciaUno =
  diferencia [1..] sonSumasDePADeDiferenciaUno

-- sonSumasDePADeDiferenciaUno es la lista de los números que se pueden
-- escribir como sumas de progresiones aritméticas de diferencia uno,
-- con al menos dos términos, de números enteros positivos. Por ejemplo,
--    λ> take 10 sonSumasDePADeDiferenciaUno
--    [3,5,6,7,9,10,11,12,13,14]
sonSumasDePADeDiferenciaUno :: [Integer]
sonSumasDePADeDiferenciaUno =
  mezclaTodas [sumasDePADeDiferenciaUno a | a <- [1..]]

-- (sumasDePADeDiferenciaUno a) es la lista de las sumas de la
-- progresión aritmética de término inicial a y diferencia uno. Por
-- ejemplo,
--    take 7 (sumasDePADeDiferenciaUno 1)  ==  [3,6,10,15,21,28,36]
--    take 7 (sumasDePADeDiferenciaUno 2)  ==  [5,9,14,20,27,35,44]
--    take 7 (sumasDePADeDiferenciaUno 3)  ==  [7,12,18,25,33,42,52]
sumasDePADeDiferenciaUno :: Integer -> [Integer]
sumasDePADeDiferenciaUno a =
  tail (scanl1 (+) [a,a+1..])

-- (mezclaTodas xss) es la mezcla ordenada de xss, donde tanto xss como
-- sus elementos son listas infinitas ordenadas. Por ejemplo,
--    λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2..]])
--    [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]
--    λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2,9..]])
--    [2,4,6,8,9,10,12,14,16,18]
mezclaTodas :: Ord a => [[a]] -> [a]
mezclaTodas = foldr1 xmezcla
  where xmezcla (x:xs) ys = x : mezcla xs ys

-- (mezcla xs ys) es la lista obtenida mezclando las dos lista infinitas
-- ordenadas crecientes xs e ys. Por ejemplo,
--    λ> take 20 (mezcla [1,3..] [2,5..])
--    [1,2,3,5,7,8,9,11,13,14,15,17,19,20,21,23,25,26,27,29]
mezcla :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
mezcla (x:xs) (y:ys) | x < y  = x : mezcla xs (y:ys)
                     | x == y = x : mezcla xs ys
                     | x > y  = y : mezcla (x:xs) ys

-- (diferencia xs ys) es la diferencia las listas infinitas ordenadas
-- crecientes xs e ys. Por ejemplo,
--    λ> take 8 (diferencia [1..] [2,4..])
--    [1,3,5,7,9,11,13,15]
diferencia :: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]
diferencia (x:xs) (y:ys)
  | x == y    = diferencia xs ys
  | otherwise = x : diferencia xs (y:ys)

-- 2ª solución
-- ===========

-- Observando el siguiente cálculo
--    λ> take 10 noSonSumasDePADeDiferenciaUno
--    [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512]
noSonSumasDePADeDiferenciaUno2 :: [Integer]
noSonSumasDePADeDiferenciaUno2 = [2^k | k <- [0..]]

-- 3ª solución
-- ===========

noSonSumasDePADeDiferenciaUno3 :: [Integer]
noSonSumasDePADeDiferenciaUno3 =
  iterate (*2) 1

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> noSonSumasDePADeDiferenciaUno !! 14
--    16384
--    (36.00 secs, 28,609,441,984 bytes)
--    λ> noSonSumasDePADeDiferenciaUno2 !! 14
--    16384
--    (0.01 secs, 102,712 bytes)
--    λ> noSonSumasDePADeDiferenciaUno3 !! 14
--    16384
--    (0.00 secs, 102,432 bytes)
--
--    λ> length (show (noSonSumasDePADeDiferenciaUno3 !! (3*10^5)))
--    90309
--    (2.78 secs, 5,770,583,328 bytes)
--    λ> length (show (noSonSumasDePADeDiferenciaUno2 !! (3*10^5)))
--    90309
--    (0.09 secs, 60,840,304 bytes)
--
--    λ> length (show (noSonSumasDePADeDiferenciaUno2 !! (10^7)))
--    3010300
--    (3.55 secs, 2,030,646,392 bytes)

import Data.List (foldr1)

-- 1ª solución

-- ===========

noSonSumasDePADeDiferenciaUno :: [Integer]

noSonSumasDePADeDiferenciaUno =

diferencia [1..] sonSumasDePADeDiferenciaUno

-- sonSumasDePADeDiferenciaUno es la lista de los números que se pueden

-- escribir como sumas de progresiones aritméticas de diferencia uno,

-- con al menos dos términos, de números enteros positivos. Por ejemplo,

-- λ> take 10 sonSumasDePADeDiferenciaUno

-- [3,5,6,7,9,10,11,12,13,14]

sonSumasDePADeDiferenciaUno :: [Integer]

sonSumasDePADeDiferenciaUno =

mezclaTodas [sumasDePADeDiferenciaUno a | a <- [1..]]

-- (sumasDePADeDiferenciaUno a) es la lista de las sumas de la

-- progresión aritmética de término inicial a y diferencia uno. Por

-- ejemplo,

-- take 7 (sumasDePADeDiferenciaUno 1) == [3,6,10,15,21,28,36]

-- take 7 (sumasDePADeDiferenciaUno 2) == [5,9,14,20,27,35,44]

-- take 7 (sumasDePADeDiferenciaUno 3) == [7,12,18,25,33,42,52]

sumasDePADeDiferenciaUno :: Integer -> [Integer]

sumasDePADeDiferenciaUno a =

tail (scanl1 (+) [a,a+1..])

-- (mezclaTodas xss) es la mezcla ordenada de xss, donde tanto xss como

-- sus elementos son listas infinitas ordenadas. Por ejemplo,

-- λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2..]])

-- [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]

-- λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2,9..]])

-- [2,4,6,8,9,10,12,14,16,18]

mezclaTodas :: Ord a => [[a]] -> [a]

mezclaTodas = foldr1 xmezcla

where xmezcla (x:xs) ys = x : mezcla xs ys

-- (mezcla xs ys) es la lista obtenida mezclando las dos lista infinitas

-- ordenadas crecientes xs e ys. Por ejemplo,

-- λ> take 20 (mezcla [1,3..] [2,5..])

-- [1,2,3,5,7,8,9,11,13,14,15,17,19,20,21,23,25,26,27,29]

mezcla :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]

mezcla (x:xs) (y:ys) | x < y = x : mezcla xs (y:ys)

| x == y = x : mezcla xs ys

| x > y = y : mezcla (x:xs) ys

-- (diferencia xs ys) es la diferencia las listas infinitas ordenadas

-- crecientes xs e ys. Por ejemplo,

-- λ> take 8 (diferencia [1..] [2,4..])

-- [1,3,5,7,9,11,13,15]

diferencia :: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]

diferencia (x:xs) (y:ys)

| x == y = diferencia xs ys

| otherwise = x : diferencia xs (y:ys)

-- 2ª solución

-- ===========

-- Observando el siguiente cálculo

-- λ> take 10 noSonSumasDePADeDiferenciaUno

-- [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512]

noSonSumasDePADeDiferenciaUno2 :: [Integer]

noSonSumasDePADeDiferenciaUno2 = [2^k | k <- [0..]]

-- 3ª solución

-- ===========

noSonSumasDePADeDiferenciaUno3 :: [Integer]

noSonSumasDePADeDiferenciaUno3 =

iterate (*2) 1

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> noSonSumasDePADeDiferenciaUno !! 14

-- 16384

-- (36.00 secs, 28,609,441,984 bytes)

-- λ> noSonSumasDePADeDiferenciaUno2 !! 14

-- 16384

-- (0.01 secs, 102,712 bytes)

-- λ> noSonSumasDePADeDiferenciaUno3 !! 14

-- 16384

-- (0.00 secs, 102,432 bytes)

-- λ> length (show (noSonSumasDePADeDiferenciaUno3 !! (3*10^5)))

-- 90309

-- (2.78 secs, 5,770,583,328 bytes)

-- λ> length (show (noSonSumasDePADeDiferenciaUno2 !! (3*10^5)))

-- 90309

-- (0.09 secs, 60,840,304 bytes)

-- λ> length (show (noSonSumasDePADeDiferenciaUno2 !! (10^7)))

-- 3010300

-- (3.55 secs, 2,030,646,392 bytes)

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Productos de elementos de dos conjuntos

PorJosé A. Alonso 2-junio-202126-enero-2022

Definir la función

   productos :: [Integer] -> [Integer] -> Integer -> [(Integer,Integer)]

1	productos :: [Integer] -> [Integer] -> Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (productos as bs c) es la lista de pares (a,b) tales que a un elementos de as, b es un elemento de bs y su producto es x, donde as y bs son listas (posiblemente infinitas) ordenadas crecientes. Por ejemplo,

   productos [3,5..] [2,4..] 2000  ==  [(5,400),(25,80),(125,16)]
   productos [3,5..] [2,4..] 2001  ==  []
   length (productos [3,5..] [2,4..] (product [1..11]))  ==  59

productos [3,5..] [2,4..] 2000 == [(5,400),(25,80),(125,16)]

productos [3,5..] [2,4..] 2001 == []

length (productos [3,5..] [2,4..] (product [1..11])) == 59

Soluciones

import Data.List (group, inits, nub, sort, subsequences)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

-- 1ª solución
-- ===========

productos :: [Integer] -> [Integer] -> Integer -> [(Integer,Integer)]
productos as bs c =
  [(a,b) | a <- takeWhile (<= c) as,
           c `mod` a == 0,
           let b = c `div` a,
           b `pertenece` bs]

-- (pertenece x ys) se verifica si x pertenece a la lista ordenada
-- creciente ys. Por ejemplo,
--    pertenece 15 [1,3..]  ==  True
--    pertenece 16 [1,3..]  ==  False
pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool
pertenece x ys =
  x == head (dropWhile (< x) ys)

-- 2ª solución
-- ===========

productos2 :: [Integer] -> [Integer] -> Integer -> [(Integer,Integer)]
productos2 as bs c =
  [(a,b) | a <- as',
           let b = c `div` a,
           b `pertenece` bs']
  where cs  = divisores c
        as' = interseccion cs (takeWhile (<=c) as)
        bs' = interseccion cs (takeWhile (<=c) bs)

-- (divisores x) es el conjunto de divisores de los x. Por ejemplo,
--   divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores = sort
          . map (product . concat)
          . sequence
          . map inits
          . group
          . primeFactors

-- (interseccion xs ys) es la intersección entre las listas ordenadas
-- crecientes xs e ys. Por ejemplo,
--    λ> take 10 (interseccion [1,3..] [2,5..])
--    [5,11,17,23,29,35,41,47,53,59]
interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
interseccion = aux
  where aux as@(x:xs) bs@(y:ys) = case compare x y of
                                    LT ->     aux xs bs
                                    EQ -> x : aux xs ys
                                    GT ->     aux as ys
        aux _         _         = []

-- 2ª solución
-- ===========

productos3 :: [Integer] -> [Integer] -> Integer -> [(Integer,Integer)]
productos3 as bs c = aux as' bs'
  where aux (x:xs) (y:ys) | x * y == c = (x,y) : aux xs ys
                          | x * y >  c = aux (x:xs) ys
                          | otherwise  = aux xs (y:ys)
        aux _ _           = []
        cs  = divisores c
        as' = interseccion cs (takeWhile (<=c) as)
        bs' = reverse (interseccion cs (takeWhile (<=c) bs))

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La compactación es
--    λ> length (productos [3,5..] [2,4..] (product [1..11]))
--    59
--    (9.83 secs, 5,588,474,408 bytes)
--    λ> length (productos2 [3,5..] [2,4..] (product [1..11]))
--    59
--    (10.48 secs, 8,942,746,480 bytes)
--    λ> length (productos3 [3,5..] [2,4..] (product [1..11]))
--    59
--    (17.39 secs, 13,413,570,800 bytes)

import Data.List (group, inits, nub, sort, subsequences)

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

-- 1ª solución

-- ===========

productos :: [Integer] -> [Integer] -> Integer -> [(Integer,Integer)]

productos as bs c =

[(a,b) | a <- takeWhile (<= c) as,

c `mod` a == 0,

let b = c `div` a,

b `pertenece` bs]

-- (pertenece x ys) se verifica si x pertenece a la lista ordenada

-- creciente ys. Por ejemplo,

-- pertenece 15 [1,3..] == True

-- pertenece 16 [1,3..] == False

pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool

pertenece x ys =

x == head (dropWhile (< x) ys)

-- 2ª solución

-- ===========

productos2 :: [Integer] -> [Integer] -> Integer -> [(Integer,Integer)]

productos2 as bs c =

[(a,b) | a <- as',

let b = c `div` a,

b `pertenece` bs']

where cs = divisores c

as' = interseccion cs (takeWhile (<=c) as)

bs' = interseccion cs (takeWhile (<=c) bs)

-- (divisores x) es el conjunto de divisores de los x. Por ejemplo,

-- divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30]

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores = sort

. map (product . concat)

. sequence

. map inits

. group

. primeFactors

-- (interseccion xs ys) es la intersección entre las listas ordenadas

-- crecientes xs e ys. Por ejemplo,

-- λ> take 10 (interseccion [1,3..] [2,5..])

-- [5,11,17,23,29,35,41,47,53,59]

interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]

interseccion = aux

where aux as@(x:xs) bs@(y:ys) = case compare x y of

LT -> aux xs bs

EQ -> x : aux xs ys

GT -> aux as ys

aux _ _ = []

-- 2ª solución

-- ===========

productos3 :: [Integer] -> [Integer] -> Integer -> [(Integer,Integer)]

productos3 as bs c = aux as' bs'

where aux (x:xs) (y:ys) | x * y == c = (x,y) : aux xs ys

| x * y > c = aux (x:xs) ys

| otherwise = aux xs (y:ys)

aux _ _ = []

cs = divisores c

as' = interseccion cs (takeWhile (<=c) as)

bs' = reverse (interseccion cs (takeWhile (<=c) bs))

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La compactación es

-- λ> length (productos [3,5..] [2,4..] (product [1..11]))

-- 59

-- (9.83 secs, 5,588,474,408 bytes)

-- λ> length (productos2 [3,5..] [2,4..] (product [1..11]))

-- 59

-- (10.48 secs, 8,942,746,480 bytes)

-- λ> length (productos3 [3,5..] [2,4..] (product [1..11]))

-- 59

-- (17.39 secs, 13,413,570,800 bytes)

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Potencias con mismos finales

PorJosé A. Alonso 1-junio-202126-enero-2022

El enunciado del primer problema de la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1978 es

Sean n > m ≥ 1 números naturales tales que los 3 últimos dígitos de 1978^m y 1978^n coinciden. Calcular el par (m,n) de dichos pares para el que m+n es mínimo.

Definir la función

   potenciasMismoFinales :: Integer -> [(Integer,Integer)]

1	potenciasMismoFinales :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (potenciasMismoFinales x) es la lista de los pares de naturales (m,n) tales que n > m ≥ 1 y los 3 últimos dígitos de x^m y x^n coinciden (además, la lista está ordenada por la suma de las componentes de sus elementos). Por ejemplo,

   take 3 (potenciasMismoFinales 1001) == [(1,2),(1,3),(1,4)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1002) == [(3,103),(4,104),(5,105)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1003) == [(1,101),(2,102),(3,103)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1004) == [(2,52),(3,53),(4,54)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1005) == [(3,5),(3,7),(4,6)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1006) == [(3,28),(4,29),(5,30)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1007) == [(1,21),(2,22),(3,23)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1008) == [(1,101),(2,102),(3,103)]
   take 3 (potenciasMismoFinales 1009) == [(1,51),(2,52),(3,53)]

take 3 (potenciasMismoFinales 1001) == [(1,2),(1,3),(1,4)]

take 3 (potenciasMismoFinales 1002) == [(3,103),(4,104),(5,105)]

take 3 (potenciasMismoFinales 1003) == [(1,101),(2,102),(3,103)]

take 3 (potenciasMismoFinales 1004) == [(2,52),(3,53),(4,54)]

take 3 (potenciasMismoFinales 1005) == [(3,5),(3,7),(4,6)]

take 3 (potenciasMismoFinales 1006) == [(3,28),(4,29),(5,30)]

take 3 (potenciasMismoFinales 1007) == [(1,21),(2,22),(3,23)]

take 3 (potenciasMismoFinales 1008) == [(1,101),(2,102),(3,103)]

take 3 (potenciasMismoFinales 1009) == [(1,51),(2,52),(3,53)]

Usando la función potenciasMismoFinales, calcular la respuesta al problema de la Olimpiada.

Soluciones

potenciasMismoFinales :: Integer -> [(Integer,Integer)]
potenciasMismoFinales x =
   [(m,n) | (m,n) <- pares,
            x^m `mod` 1000 == x^n `mod` 1000]

-- pares el lista de pares de enteros positivos, con el primero menor que
-- el segundo, ordenados por su suma y primer elemento. Por ejemplo,
--    λ> take 10 pares
--    [(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(1,5),(2,4),(1,6),(2,5),(3,4),(1,7)]
pares :: [(Integer,Integer)]
pares = [(m,n) | x <- [1..],
                 m <- [1..x],
                 let n = x-m,
                 n > m]

-- Cálculo de la respuesta
-- =======================

-- El cálculo es
--    λ> head (potenciasMismoFinales 1978)
--    (3,103)

potenciasMismoFinales :: Integer -> [(Integer,Integer)]

potenciasMismoFinales x =

[(m,n) | (m,n) <- pares,

x^m `mod` 1000 == x^n `mod` 1000]

-- pares el lista de pares de enteros positivos, con el primero menor que

-- el segundo, ordenados por su suma y primer elemento. Por ejemplo,

-- λ> take 10 pares

-- [(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(1,5),(2,4),(1,6),(2,5),(3,4),(1,7)]

pares :: [(Integer,Integer)]

pares = [(m,n) | x <- [1..],

m <- [1..x],

let n = x-m,

n > m]

-- Cálculo de la respuesta

-- =======================

-- El cálculo es

-- λ> head (potenciasMismoFinales 1978)

-- (3,103)

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Mayor producto con sumandos de la descomposición

PorJosé A. Alonso 31-mayo-202126-enero-2022

El enunciado del 4º problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1976 es

Calcular el mayor número que se puede obtener multiplicando los enteros positivos cuya suma es 1976.

Definir la función

   mayorProductoSumandos :: Integer -> Integer

1	mayorProductoSumandos :: Integer -> Integer

tal que (mayorProductoSumandos n) el mayor número que se puede obtener multiplicando los enteros positivos cuya suma es n. Por ejemplo,

   mayorProductoSumandos 5 == 6

1	mayorProductoSumandos 5 == 6

ya que los posibles listas de sumandos con suma 5 son

   [5], [2,3], [1,4], [1,2,2], [1,1,3], [1,1,1,2], [1,1,1,1,1]

1	[5], [2,3], [1,4], [1,2,2], [1,1,3], [1,1,1,2], [1,1,1,1,1]

sus productos son

   5,   6,     4,     4,       3,       2,         1

1	5, 6, 4, 4, 3, 2, 1

y el mayor de dichos productos es 6.

Otros ejemplos son

   mayorProductoSumandos 10   ==  36
   mayorProductoSumandos 100  ==  7412080755407364
   length (show (mayorProductoSumandos (10^8)))  ==  15904042

mayorProductoSumandos 10 == 36

mayorProductoSumandos 100 == 7412080755407364

length (show (mayorProductoSumandos (10^8))) == 15904042

Usando la función mayorProductoSumandos, calcular la respuesta al problema de la Olimpiada.

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Data.List (genericLength, group)
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

mayorProductoSumandos :: Integer -> Integer
mayorProductoSumandos n =
  maximum [product xs | xs <- sumandos n]

-- (sumandos n) es la lista de las descomposiciones de n
-- como suma de números naturales. Por ejemplo,
--    sumandos 3  ==  [[3],[1,2],[1,1,1],[2,1]]
sumandos :: Integer -> [[Integer]]
sumandos 1 = [[1]]
sumandos n =
  [n]: [n-x:ys | x <- [1..n-1], ys <- sumandos x, n-x <= head ys]

-- 2ª solución
-- ===========

mayorProductoSumandos2 :: Integer -> Integer
mayorProductoSumandos2 n
  | n < 5     = n
  | otherwise = maximum [(n-i) * mayorProductoSumandos2 i
                        | i <- [1..n-1]]

-- 3ª solución
-- ===========

-- Observando los siguientes cálculos
--    λ> [mayorProductoSumandos n | n <- [0..20]]
--    [0,1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,81,108,162,243,324,486,729,972,1458]
--    λ> [mayorProductoSumandos n | n <- [0,3..20]]
--    [0,3,9,27,81,243,729]
--    λ> [mayorProductoSumandos n | n <- [1,4..20]]
--    [1,4,12,36,108,324,972]
--    λ> [mayorProductoSumandos n | n <- [2,5..20]]
--    [2,6,18,54,162,486,1458]

mayorProductoSumandos3 :: Integer -> Integer
mayorProductoSumandos3 n
  | n < 5     = n
  | otherwise = 3 * mayorProductoSumandos3 (n-3)

-- 4ª solución
-- ===========

-- (factorizacion n) es la descomposición de n en factores primos como
-- una lista de pares donde los primeros elementos son la base y los
-- segundo son los exponentes. Por ejemplo,
--    factorizacion 3000  ==  [(2,3),(3,1),(5,3)]
-- ya que 3000 = 2^3*3*5^3
factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion n =
  [(head xs,genericLength xs) | xs <- group (primeFactors n)]

-- Observando los siguientes cálculos
--    λ> [factorizacion (mayorProductoSumandos3 n) | n <- [3,6..20]]
--    [[(3,1)],[(3,2)],[(3,3)],[(3,4)],[(3,5)],[(3,6)]]
--    λ> [factorizacion (mayorProductoSumandos3 n) | n <- [4,7..20]]
--    [[(2,2)],[(2,2),(3,1)],[(2,2),(3,2)],[(2,2),(3,3)],[(2,2),(3,4)],[(2,2),(3,5)]]
--    λ> [factorizacion (mayorProductoSumandos3 n) | n <- [5,8..20]]
--    [[(2,1),(3,1)],[(2,1),(3,2)],[(2,1),(3,3)],[(2,1),(3,4)],[(2,1),(3,5)],[(2,1),(3,6)]]

mayorProductoSumandos4 :: Integer -> Integer
mayorProductoSumandos4 n
    | n < 5     = n
    | otherwise = case r of
                    0 -> 3^q
                    1 -> 4*3^(q-1)
                    2 -> 2*3^q
  where (q,r) = quotRem n 3

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- Para los primeros valores la propiedad es
prop_equivalencia1 :: Integer -> Bool
prop_equivalencia1 n =
  and [f k == mayorProductoSumandos4 k
      | k <- [0..n],
        f <- [mayorProductoSumandos,
              mayorProductoSumandos2,
              mayorProductoSumandos3]]

-- La comprobación es
--    λ> prop_equivalencia1 20
--    True

-- Para los grandes valores la propiedad es
prop_equivalencia2 :: Integer -> Property
prop_equivalencia2 n =
  n >= 0 ==>
  mayorProductoSumandos3 n == mayorProductoSumandos4 n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_equivalencia2
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> mayorProductoSumandos 22
--    2916
--    (2.99 secs, 2,319,928,184 bytes)
--    λ> mayorProductoSumandos2 22
--    2916
--    (0.47 secs, 313,625,800 bytes)
--    λ> mayorProductoSumandos3 22
--    2916
--    (0.01 secs, 103,864 bytes)
--    λ> mayorProductoSumandos4 22
--    2916
--    (0.01 secs, 102,712 bytes)
--
--    λ> mayorProductoSumandos2 25
--    8748
--    (3.26 secs, 2,508,295,368 bytes)
--    λ> mayorProductoSumandos3 25
--    8748
--    (0.00 secs, 103,960 bytes)
--    λ> mayorProductoSumandos4 25
--    8748
--    (0.00 secs, 102,856 bytes)
--
--    λ> length (show (mayorProductoSumandos3 (10^6)))
--    159041
--    (9.83 secs, 11,400,807,392 bytes)
--    λ> length (show (mayorProductoSumandos4 (10^6)))
--    159041
--    (0.03 secs, 10,082,080 bytes)
--
--    λ> length (show (mayorProductoSumandos4 (10^8)))
--    15904042
--    (3.53 secs, 1,022,783,472 bytes)

-- Cálculo de la respuesta al problema
-- ===================================

-- El cálculo es
--    λ> mayorProductoSumandos4 1976
--    176528813092650631321824697527678863603414507360733532172646534742
--    374472004561447647833551576599071841268147340684692909561979543969
--    046876247215728742219795875277856143555895806750102055076974383708
--    360617266962123284615873951950033196388833843896325045289546019012
--    398784375461116652095995292235273337590912307103378
--    λ> factorizacion (mayorProductoSumandos4 1976)
--    [(2,1),(3,658)]
--    λ> mayorProductoSumandos3 1976 == 2*3^658
--    True

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

import Data.List (genericLength, group)

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

mayorProductoSumandos :: Integer -> Integer

mayorProductoSumandos n =

maximum [product xs | xs <- sumandos n]

-- (sumandos n) es la lista de las descomposiciones de n

-- como suma de números naturales. Por ejemplo,

-- sumandos 3 == [[3],[1,2],[1,1,1],[2,1]]

sumandos :: Integer -> [[Integer]]

sumandos 1 = [[1]]

sumandos n =

[n]: [n-x:ys | x <- [1..n-1], ys <- sumandos x, n-x <= head ys]

-- 2ª solución

-- ===========

mayorProductoSumandos2 :: Integer -> Integer

mayorProductoSumandos2 n

| n < 5 = n

| otherwise = maximum [(n-i) * mayorProductoSumandos2 i

| i <- [1..n-1]]

-- 3ª solución

-- ===========

-- Observando los siguientes cálculos

-- λ> [mayorProductoSumandos n | n <- [0..20]]

-- [0,1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,81,108,162,243,324,486,729,972,1458]

-- λ> [mayorProductoSumandos n | n <- [0,3..20]]

-- [0,3,9,27,81,243,729]

-- λ> [mayorProductoSumandos n | n <- [1,4..20]]

-- [1,4,12,36,108,324,972]

-- λ> [mayorProductoSumandos n | n <- [2,5..20]]

-- [2,6,18,54,162,486,1458]

mayorProductoSumandos3 :: Integer -> Integer

mayorProductoSumandos3 n

| n < 5 = n

| otherwise = 3 * mayorProductoSumandos3 (n-3)

-- 4ª solución

-- ===========

-- (factorizacion n) es la descomposición de n en factores primos como

-- una lista de pares donde los primeros elementos son la base y los

-- segundo son los exponentes. Por ejemplo,

-- factorizacion 3000 == [(2,3),(3,1),(5,3)]

-- ya que 3000 = 2^3*3*5^3

factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]

factorizacion n =

[(head xs,genericLength xs) | xs <- group (primeFactors n)]

-- Observando los siguientes cálculos

-- λ> [factorizacion (mayorProductoSumandos3 n) | n <- [3,6..20]]

-- [[(3,1)],[(3,2)],[(3,3)],[(3,4)],[(3,5)],[(3,6)]]

-- λ> [factorizacion (mayorProductoSumandos3 n) | n <- [4,7..20]]

-- [[(2,2)],[(2,2),(3,1)],[(2,2),(3,2)],[(2,2),(3,3)],[(2,2),(3,4)],[(2,2),(3,5)]]

-- λ> [factorizacion (mayorProductoSumandos3 n) | n <- [5,8..20]]

-- [[(2,1),(3,1)],[(2,1),(3,2)],[(2,1),(3,3)],[(2,1),(3,4)],[(2,1),(3,5)],[(2,1),(3,6)]]

mayorProductoSumandos4 :: Integer -> Integer

mayorProductoSumandos4 n

| n < 5 = n

| otherwise = case r of

0 -> 3^q

1 -> 4*3^(q-1)

2 -> 2*3^q

where (q,r) = quotRem n 3

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- Para los primeros valores la propiedad es

prop_equivalencia1 :: Integer -> Bool

prop_equivalencia1 n =

and [f k == mayorProductoSumandos4 k

| k <- [0..n],

f <- [mayorProductoSumandos,

mayorProductoSumandos2,

mayorProductoSumandos3]]

-- La comprobación es

-- λ> prop_equivalencia1 20

-- True

-- Para los grandes valores la propiedad es

prop_equivalencia2 :: Integer -> Property

prop_equivalencia2 n =

n >= 0 ==>

mayorProductoSumandos3 n == mayorProductoSumandos4 n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_equivalencia2

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> mayorProductoSumandos 22

-- 2916

-- (2.99 secs, 2,319,928,184 bytes)

-- λ> mayorProductoSumandos2 22

-- 2916

-- (0.47 secs, 313,625,800 bytes)

-- λ> mayorProductoSumandos3 22

-- 2916

-- (0.01 secs, 103,864 bytes)

-- λ> mayorProductoSumandos4 22

-- 2916

-- (0.01 secs, 102,712 bytes)

-- λ> mayorProductoSumandos2 25

-- 8748

-- (3.26 secs, 2,508,295,368 bytes)

-- λ> mayorProductoSumandos3 25

-- 8748

-- (0.00 secs, 103,960 bytes)

-- λ> mayorProductoSumandos4 25

-- 8748

-- (0.00 secs, 102,856 bytes)

-- λ> length (show (mayorProductoSumandos3 (10^6)))

-- 159041

-- (9.83 secs, 11,400,807,392 bytes)

-- λ> length (show (mayorProductoSumandos4 (10^6)))

-- 159041

-- (0.03 secs, 10,082,080 bytes)

-- λ> length (show (mayorProductoSumandos4 (10^8)))

-- 15904042

-- (3.53 secs, 1,022,783,472 bytes)

-- Cálculo de la respuesta al problema

-- ===================================

-- El cálculo es

-- λ> mayorProductoSumandos4 1976

-- 176528813092650631321824697527678863603414507360733532172646534742

-- 374472004561447647833551576599071841268147340684692909561979543969

-- 046876247215728742219795875277856143555895806750102055076974383708

-- 360617266962123284615873951950033196388833843896325045289546019012

-- 398784375461116652095995292235273337590912307103378

-- λ> factorizacion (mayorProductoSumandos4 1976)

-- [(2,1),(3,658)]

-- λ> mayorProductoSumandos3 1976 == 2*3^658

-- True

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Múltiplos sin ceros

PorJosé A. Alonso 28-mayo-20214-junio-2021

El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1972 es

Demostrar que cada n ≢ 0 (mod 10) posee algún múltiplo sin el dígito 0.

Definir la función

   multiplosSinCeros :: Integer -> [Integer]

1	multiplosSinCeros :: Integer -> [Integer]

tal que (multiplosSinCeros n) es la lista de los múltiplos de n sin el dígito 0. Por ejemplo,

   λ> take 10 (multiplosSinCeros 101)
   [1111,1212,1313,1414,1515,1616,1717,1818,1919,2121]

1 2	λ> take 10 (multiplosSinCeros 101) [1111,1212,1313,1414,1515,1616,1717,1818,1919,2121]

Comprobar con QuickCheck que si n es un número entero positivo no divisible por 10, entonces n posee algún múltiplo sin el dígito 0.

Soluciones

import Test.QuickCheck (Property(..), (==>), quickCheck)

multiplosSinCeros :: Integer -> [Integer]
multiplosSinCeros n =
  filter sinCeros [n,2*n..]

sinCeros :: Integer -> Bool
sinCeros n =
  '0' `notElem` show n

-- La propiedad es
prop_multiplosSinCeros :: Integer -> Property
prop_multiplosSinCeros n =
  n > 0 && n `mod` 10 /= 0 ==>
  not (null (multiplosSinCeros n))

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_multiplosSinCeros
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck (Property(..), (==>), quickCheck)

multiplosSinCeros :: Integer -> [Integer]

multiplosSinCeros n =

filter sinCeros [n,2*n..]

sinCeros :: Integer -> Bool

sinCeros n =

'0' `notElem` show n

-- La propiedad es

prop_multiplosSinCeros :: Integer -> Property

prop_multiplosSinCeros n =

n > 0 && n `mod` 10 /= 0 ==>

not (null (multiplosSinCeros n))

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_multiplosSinCeros

-- +++ OK, passed 100 tests.

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Autor: José A. Alonso

Números que no son sumas de progresiones aritméticas de diferencia uno

Soluciones

Nuevas soluciones

Productos de elementos de dos conjuntos

Soluciones

Nuevas soluciones

Potencias con mismos finales

Soluciones

Nuevas soluciones

Mayor producto con sumandos de la descomposición

Soluciones

Nuevas soluciones

Múltiplos sin ceros

Soluciones

Nuevas soluciones

Entradas recientes

Buscar

Correo electrónico