José A. Alonso

Potencias de primos con exponentes potencias de dos

PorJosé A. Alonso 8-mayo-201513-junio-2015

Se llaman potencias de Fermi-Dirac a los números de la forma p^(2^k), donde p es un número primo y k es un número natural.

Definir la sucesión

   potencias :: [Integer]

1	potencias :: [Integer]

cuyos términos sean las potencias de Fermi-Dirac ordenadas de menor a mayor. Por ejemplo,

   take 14 potencias    ==  [2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,19,23,25,29]
   potencias !! 60      ==  241
   potencias !! (10^6)  ==  15476303

take 14 potencias == [2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,19,23,25,29]

potencias !! 60 == 241

potencias !! (10^6) == 15476303

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primes)

potencias :: [Integer]
potencias = 2 : mezcla (tail primes) (map (^2) potencias)

-- (mezcla xs ys) es la lista obtenida mezclando las dos listas xs e ys,
-- que se suponen ordenadas y disjuntas. Por ejemplo,
--    ghci> take 15 (mezcla [2^n | n <- [1..]] [3^n | n <- [1..]])
--    [2,3,4,8,9,16,27,32,64,81,128,243,256,512,729]
mezcla :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
mezcla (x:xs) (y:ys) | x < y = x : mezcla xs (y:ys)
                     | x > y = y : mezcla (x:xs) ys

import Data.Numbers.Primes (primes)

potencias :: [Integer]

potencias = 2 : mezcla (tail primes) (map (^2) potencias)

-- (mezcla xs ys) es la lista obtenida mezclando las dos listas xs e ys,

-- que se suponen ordenadas y disjuntas. Por ejemplo,

-- ghci> take 15 (mezcla [2^n | n <- [1..]] [3^n | n <- [1..]])

-- [2,3,4,8,9,16,27,32,64,81,128,243,256,512,729]

mezcla :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]

mezcla (x:xs) (y:ys) | x < y = x : mezcla xs (y:ys)

| x > y = y : mezcla (x:xs) ys

Múltiplos especiales

PorJosé A. Alonso 7-mayo-201515-mayo-2015

Dado dos números n y m, decimos que m es un múltiplo especial de n si m es un múltiplo de n y m no tiene ningún factor primo que sea congruente con 1 módulo 3.

Definir la función

   multiplosEspecialesCota :: Int -> Int -> [Int]

1	multiplosEspecialesCota :: Int -> Int -> [Int]

tal que (multiplosEspecialesCota n k) es la lista ordenada de todos los múltiplos especiales de n que son menores o iguales que k. Por ejemplo,

   multiplosEspecialesCota 5 50  ==  [5,10,15,20,25,30,40,45,50]
   multiplosEspecialesCota 7 50  ==  []

1 2	multiplosEspecialesCota 5 50 == [5,10,15,20,25,30,40,45,50] multiplosEspecialesCota 7 50 == []

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

multiplosEspecialesCota :: Int -> Int -> [Int]
multiplosEspecialesCota n k =
    [m | m <- [n,2*n..k], 
         all (\p -> p `mod` 3 /= 1) (primeFactors m)]

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

multiplosEspecialesCota :: Int -> Int -> [Int]

multiplosEspecialesCota n k =

[m | m <- [n,2*n..k],

all (\p -> p `mod` 3 /= 1) (primeFactors m)]

Mínimo y máximo de un montículo

PorJosé A. Alonso 6-mayo-201515-mayo-2015

Definir la función

   minMax :: Ord a => Monticulo a -> Maybe (a,a)

1	minMax :: Ord a => Monticulo a -> Maybe (a,a)

tal que (minMax m) es justamente el par formado por el menor y el mayor elemento de m, si el montículo m es no vacío. Por ejemplo,

   minMax (foldr inserta vacio [4,8,2,1,5])  ==  Just (1,8)
   minMax (foldr inserta vacio [4])          ==  Just (4,4)
   minMax vacio                              ==  Nothing

minMax (foldr inserta vacio [4,8,2,1,5]) == Just (1,8)

minMax (foldr inserta vacio [4]) == Just (4,4)

minMax vacio == Nothing

Nota: Este ejercicio debe realizarse usando únicamente las funciones de la librería de montículo (I1M.Monticulo) que se describe aquí y se encuentra aquí.

Soluciones

import I1M.Monticulo   -- http://bit.ly/1AKmUQB

minMax :: Ord a => Monticulo a -> Maybe (a, a)
minMax m | esVacio m = Nothing
         | otherwise = Just (menor m,mayor m)

-- (mayor m) es el mayor elemento del montículo m. Por ejemplo,
--     mayor (foldr inserta vacio [1,8,2,4,5])  ==  8
mayor :: Ord a => Monticulo a -> a
mayor m | esVacio r = menor m
        | otherwise = mayor r
        where r = resto m

-- 2ª definición de mayor 
mayor2 :: Ord a => Monticulo a -> a
mayor2 m = last (monticulo2Lista m)

monticulo2Lista :: Ord a => Monticulo a -> [a]
monticulo2Lista m | esVacio m = []
                  | otherwise = menor m : monticulo2Lista (resto m)

import I1M.Monticulo -- http://bit.ly/1AKmUQB

minMax :: Ord a => Monticulo a -> Maybe (a, a)

minMax m | esVacio m = Nothing

| otherwise = Just (menor m,mayor m)

-- (mayor m) es el mayor elemento del montículo m. Por ejemplo,

-- mayor (foldr inserta vacio [1,8,2,4,5]) == 8

mayor :: Ord a => Monticulo a -> a

mayor m | esVacio r = menor m

| otherwise = mayor r

where r = resto m

-- 2ª definición de mayor

mayor2 :: Ord a => Monticulo a -> a

mayor2 m = last (monticulo2Lista m)

monticulo2Lista :: Ord a => Monticulo a -> [a]

monticulo2Lista m | esVacio m = []

| otherwise = menor m : monticulo2Lista (resto m)

Números cuyas cifras coinciden con las de sus factores primos

PorJosé A. Alonso 4-mayo-201525-marzo-2022

Un número n es especial si al unir las cifras de sus factores primos, se obtienen exactamente las cifras de n, aunque puede ser en otro orden. Por ejemplo, 1255 es especial, pues los factores primos de 1255 son 5 y 251.

Definir la función

   esEspecial :: Integer -> Bool

1	esEspecial :: Integer -> Bool

tal que (esEspecial n) se verifica si un número n es especial. Por ejemplo,

   esEspecial 1255 == True
   esEspecial 125  == False

1 2	esEspecial 1255 == True esEspecial 125 == False

Comprobar con QuickCheck que todo número primo es especial.

Calcular los 5 primeros números especiales que no son primos.

Soluciones

import Data.List (nub, sort)
import Data.Numbers.Primes (isPrime, primeFactors)
import Test.QuickCheck

esEspecial :: Integer -> Bool
esEspecial n = 
    sort (show n) == sort (concatMap show (nub (primeFactors n)))

-- La propiedad es
prop_primos:: Integer -> Property
prop_primos n = 
    isPrime (abs n) ==> esEspecial (abs n)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_primos
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- El cálculo es
--    ghci> take 5 [n | n <- [2..], esEspecial n, not (isPrime n)]
--    [735,1255,3792,7236,11913]

import Data.List (nub, sort)

import Data.Numbers.Primes (isPrime, primeFactors)

import Test.QuickCheck

esEspecial :: Integer -> Bool

esEspecial n =

sort (show n) == sort (concatMap show (nub (primeFactors n)))

-- La propiedad es

prop_primos:: Integer -> Property

prop_primos n =

isPrime (abs n) ==> esEspecial (abs n)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_primos

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- El cálculo es

-- ghci> take 5 [n | n <- [2..], esEspecial n, not (isPrime n)]

-- [735,1255,3792,7236,11913]

Rotaciones de un número

PorJosé A. Alonso 30-abril-20157-mayo-2015

Definir la función

   rotacionesNumero :: Integer -> [Integer]

1	rotacionesNumero :: Integer -> [Integer]

(rotacionesNumero n) es la lista de las rotaciones obtenidas desplazando el primer dígito de n al final. Por ejemplo,

   rotacionesNumero 325  ==  [325,253,532]

1	rotacionesNumero 325 == [325,253,532]

Soluciones

-- 1ª definición (por comprensión)
-- ===============================

rotacionesNumero1 :: Integer -> [Integer]
rotacionesNumero1 n = [read xs | xs <- rotaciones (show n)]

-- (rotaciones xs) es la lista de las rotaciones obtenidas desplazando
-- el primer elemento xs al final. Por ejemplo,
--    rotaciones [2,3,5]  ==  [[2,3,5],[3,5,2],[5,2,3]]
rotaciones :: [a] -> [[a]]
rotaciones xs = take (length xs) (iterate rota xs)

-- (rota xs) es la lista añadiendo el primer elemento de xs al
-- final. Por ejemplo, 
--    rota [3,2,5,7]  ==  [2,5,7,3]
rota :: [a] -> [a]
rota (x:xs) = xs ++ [x]

-- 2ª definición (con map)
-- =======================

rotacionesNumero2 :: Integer -> [Integer]
rotacionesNumero2 n = map read (rotaciones (show n))

-- 3ª definición (sin argumentos)
-- ==============================

rotacionesNumero3 :: Integer -> [Integer]
rotacionesNumero3 = map read . rotaciones . show

-- 1ª definición (por comprensión)

-- ===============================

rotacionesNumero1 :: Integer -> [Integer]

rotacionesNumero1 n = [read xs | xs <- rotaciones (show n)]

-- (rotaciones xs) es la lista de las rotaciones obtenidas desplazando

-- el primer elemento xs al final. Por ejemplo,

-- rotaciones [2,3,5] == [[2,3,5],[3,5,2],[5,2,3]]

rotaciones :: [a] -> [[a]]

rotaciones xs = take (length xs) (iterate rota xs)

-- (rota xs) es la lista añadiendo el primer elemento de xs al

-- final. Por ejemplo,

-- rota [3,2,5,7] == [2,5,7,3]

rota :: [a] -> [a]

rota (x:xs) = xs ++ [x]

-- 2ª definición (con map)

-- =======================

rotacionesNumero2 :: Integer -> [Integer]

rotacionesNumero2 n = map read (rotaciones (show n))

-- 3ª definición (sin argumentos)

-- ==============================

rotacionesNumero3 :: Integer -> [Integer]

rotacionesNumero3 = map read . rotaciones . show

Autor: José A. Alonso

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