Algoritmo de bajada para resolver un sistema triangular inferior
Un sistema de ecuaciones lineales Ax = b es triangular inferior si todos los elementos de la matriz A que están por encima de la diagonal principal son nulos; es decir, es de la forma
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a(1,1)*x(1) = b(1) a(2,1)*x(1) + a(2,2)*x(2) = b(2) a(3,1)*x(1) + a(3,2)*x(2) + a(3,3)*x(3) = b(3) ... a(n,1)*x(1) + a(n,2)*x(2) + a(n,3)*x(3) +...+ a(x,x)*x(n) = b(n) |
El sistema es compatible si, y sólo si, el producto de los elementos de la diagonal principal es distinto de cero. En este caso, la solución se puede calcular mediante el algoritmo de bajada:
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x(1) = b(1) / a(1,1) x(2) = (b(2) - a(2,1)*x(1)) / a(2,2) x(3) = (b(3) - a(3,1)*x(1) - a(3,2)*x(2)) / a(3,3) ... x(n) = (b(n) - a(n,1)*x(1) - a(n,2)*x(2) -...- a(n,n-1)*x(n-1)) / a(n,n) |
Definir la función
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bajada :: Matrix Double -> Matrix Double -> Matrix Double |
tal que (bajada a b) es la solución, mediante el algoritmo de bajada, del sistema compatible triangular superior ax = b. Por ejemplo,
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ghci> let a = fromLists [[2,0,0],[3,1,0],[4,2,5.0]] ghci> let b = fromLists [[3],[6.5],[10]] ghci> bajada a b ( 1.5 ) ( 2.0 ) ( 0.0 ) |
Es decir, la solución del sistema
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2x = 3 3x + y = 6.5 4x + 2y + 5 z = 10 |
es x=1.5, y=2 y z=0.
Soluciones
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import Data.Matrix bajada :: Matrix Double -> Matrix Double -> Matrix Double bajada a b = fromLists [[x i] | i <- [1..m]] where m = nrows a x k = (b!(k,1) - sum [a!(k,j) * x j | j <- [1..k-1]]) / a!(k,k) |
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