junio 2023 – Página 3

TAD de los grafos: Grado positivo y negativo de un vértice

PorJosé A. Alonso 2-junio-20233-junio-2023

El grado positivo de un vértice v de un grafo g es el número de vértices de g adyacentes con v y su grado negativo es el número de vértices de g incidentes con v.

Usando el tipo abstracto de datos de los grafos, definir las funciones,

   gradoPos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int
   gradoNeg :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int

1 2	gradoPos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int gradoNeg :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int

tales que
+ gradoPos g v es el grado positivo del vértice v en el grafo g. Por ejemplo,

     λ> g1 = creaGrafo' ND (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)]
     λ> g2 = creaGrafo' D  (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(4,3),(4,5)]
     λ> gradoPos g1 5
     4
     λ> gradoPos g2 5
     0
     λ> gradoPos g2 1
     3

λ> g1 = creaGrafo' ND (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)]

λ> g2 = creaGrafo' D (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(4,3),(4,5)]

λ> gradoPos g1 5

λ> gradoPos g2 5

λ> gradoPos g2 1

gradoNeg g v es el grado negativo del vértice v en el grafo g. Por ejemplo,

     λ> gradoNeg g1 5
     4
     λ> gradoNeg g2 5
     3
     λ> gradoNeg g2 1
     0

λ> gradoNeg g1 5

λ> gradoNeg g2 5

λ> gradoNeg g2 1

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

module Grafo_Grados_positivos_y_negativos where

import TAD.Grafo (Grafo, Orientacion (D, ND), adyacentes, creaGrafo')
import Data.Ix (Ix)
import Grafo_Incidentes_de_un_vertice (incidentes)
import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe)

-- 1ª definición de gradoPos
gradoPos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int
gradoPos g v = length (adyacentes g v)

-- 2ª definición de gradoPos
gradoPos2 :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int
gradoPos2 g = length . adyacentes g

-- 1ª definición de gradoNeg
gradoNeg :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int
gradoNeg g v = length (incidentes g v)

-- 2ª definición de gradoNeg
gradoNeg2 :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int
gradoNeg2 g = length . incidentes g

-- Verificación
-- ============

verifica :: IO ()
verifica = hspec spec

spec :: Spec
spec = do
  it "e1" $
    gradoPos g1 5 `shouldBe` 4
  it "e2" $
    gradoPos g2 5 `shouldBe` 0
  it "e3" $
    gradoPos g2 1 `shouldBe` 3
  it "e4" $
    gradoNeg g1 5 `shouldBe` 4
  it "e5" $
    gradoNeg g2 5 `shouldBe` 3
  it "e6" $
    gradoNeg g2 1 `shouldBe` 0
  it "e7" $
    gradoPos2 g1 5 `shouldBe` 4
  it "e8" $
    gradoPos2 g2 5 `shouldBe` 0
  it "e9" $
    gradoPos2 g2 1 `shouldBe` 3
  it "e10" $
    gradoNeg2 g1 5 `shouldBe` 4
  it "e11" $
    gradoNeg2 g2 5 `shouldBe` 3
  it "e12" $
    gradoNeg2 g2 1 `shouldBe` 0
  where
    g1, g2 :: Grafo Int Int
    g1 = creaGrafo' ND (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)]
    g2 = creaGrafo' D  (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(4,3),(4,5)]

-- La verificación es
--    λ> verifica
--
--    def. 1
--      e1
--      e2
--      e3
--      e4
--      e5
--      e6
--    def. 2
--      e1
--      e2
--      e3
--      e4
--      e5
--      e6
--
--    Finished in 0.0013 seconds
--    12 examples, 0 failures

module Grafo_Grados_positivos_y_negativos where

import TAD.Grafo (Grafo, Orientacion (D, ND), adyacentes, creaGrafo')

import Data.Ix (Ix)

import Grafo_Incidentes_de_un_vertice (incidentes)

import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe)

-- 1ª definición de gradoPos

gradoPos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int

gradoPos g v = length (adyacentes g v)

-- 2ª definición de gradoPos

gradoPos2 :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int

gradoPos2 g = length . adyacentes g

-- 1ª definición de gradoNeg

gradoNeg :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int

gradoNeg g v = length (incidentes g v)

-- 2ª definición de gradoNeg

gradoNeg2 :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int

gradoNeg2 g = length . incidentes g

-- Verificación

-- ============

verifica :: IO ()

verifica = hspec spec

spec :: Spec

spec = do

it "e1" $

gradoPos g1 5 `shouldBe` 4

it "e2" $

gradoPos g2 5 `shouldBe` 0

it "e3" $

gradoPos g2 1 `shouldBe` 3

it "e4" $

gradoNeg g1 5 `shouldBe` 4

it "e5" $

gradoNeg g2 5 `shouldBe` 3

it "e6" $

gradoNeg g2 1 `shouldBe` 0

it "e7" $

gradoPos2 g1 5 `shouldBe` 4

it "e8" $

gradoPos2 g2 5 `shouldBe` 0

it "e9" $

gradoPos2 g2 1 `shouldBe` 3

it "e10" $

gradoNeg2 g1 5 `shouldBe` 4

it "e11" $

gradoNeg2 g2 5 `shouldBe` 3

it "e12" $

gradoNeg2 g2 1 `shouldBe` 0

where

g1, g2 :: Grafo Int Int

g1 = creaGrafo' ND (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)]

g2 = creaGrafo' D (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(4,3),(4,5)]

-- La verificación es

-- λ> verifica

-- def. 1

-- e1

-- e2

-- e3

-- e4

-- e5

-- e6

-- def. 2

-- e1

-- e2

-- e3

-- e4

-- e5

-- e6

-- Finished in 0.0013 seconds

-- 12 examples, 0 failures

Soluciones en Python

from src.Grafo_Incidentes_de_un_vertice import incidentes
from src.TAD.Grafo import Grafo, Orientacion, Vertice, adyacentes, creaGrafo_


def gradoPos(g: Grafo, v: Vertice) -> int:
    return len(adyacentes(g, v))

def gradoNeg(g: Grafo, v: Vertice) -> int:
    return len(incidentes(g, v))

# Verificación
# ============

def test_GradoPosNeg() -> None:
    g1 = creaGrafo_(Orientacion.ND, (1,5),
                    [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)])
    g2 = creaGrafo_(Orientacion.D, (1,5),
                    [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(4,3),(4,5)])
    assert gradoPos(g1, 5) == 4
    assert gradoPos(g2, 5) == 0
    assert gradoPos(g2, 1) == 3
    assert gradoNeg(g1, 5) == 4
    assert gradoNeg(g2, 5) == 3
    assert gradoNeg(g2, 1) == 0
    print("Verificado")

# La verificación es
#    >>> test_GradoPosNeg()
#    Verificado

from src.Grafo_Incidentes_de_un_vertice import incidentes

from src.TAD.Grafo import Grafo, Orientacion, Vertice, adyacentes, creaGrafo_

def gradoPos(g: Grafo, v: Vertice) -> int:

return len(adyacentes(g, v))

def gradoNeg(g: Grafo, v: Vertice) -> int:

return len(incidentes(g, v))

# Verificación

# ============

def test_GradoPosNeg() -> None:

g1 = creaGrafo_(Orientacion.ND, (1,5),

[(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)])

g2 = creaGrafo_(Orientacion.D, (1,5),

[(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(4,3),(4,5)])

assert gradoPos(g1, 5) == 4

assert gradoPos(g2, 5) == 0

assert gradoPos(g2, 1) == 3

assert gradoNeg(g1, 5) == 4

assert gradoNeg(g2, 5) == 3

assert gradoNeg(g2, 1) == 0

print("Verificado")

# La verificación es

# >>> test_GradoPosNeg()

# Verificado

TAD de los grafos: Número de aristas de un grafo

PorJosé A. Alonso 1-junio-20233-junio-2023

Usando el tipo abstracto de datos de los grafos, definir la función,

   nAristas :: (Ix v,Num p) => Grafo v p ->  Int

1	nAristas :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int

tal que nAristas g es el número de aristas del grafo g. Si g es no dirigido, las aristas de v1 a v2 y de v2 a v1 sólo se cuentan una vez. Por ejemplo,

   λ> g1 = creaGrafo' ND (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)]
   λ> g2 = creaGrafo' D  (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(4,3),(4,5)]
   λ> g3 = creaGrafo' ND (1,3) [(1,2),(1,3),(2,3),(3,3)]
   λ> g4 = creaGrafo' ND (1,4) [(1,1),(1,2),(3,3)]
   λ> nAristas g1
   8
   λ> nAristas g2
   7
   λ> nAristas g3
   4
   λ> nAristas g4
   3
   λ> nAristas (completo 4)
   6
   λ> nAristas (completo 5)
   10

λ> g1 = creaGrafo' ND (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)]

λ> g2 = creaGrafo' D (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(4,3),(4,5)]

λ> g3 = creaGrafo' ND (1,3) [(1,2),(1,3),(2,3),(3,3)]

λ> g4 = creaGrafo' ND (1,4) [(1,1),(1,2),(3,3)]

λ> nAristas g1

λ> nAristas g2

λ> nAristas g3

λ> nAristas g4

λ> nAristas (completo 4)

λ> nAristas (completo 5)

Definir la función

   prop_nAristasCompleto :: Int -> Bool

1	prop_nAristasCompleto :: Int -> Bool

tal que prop_nAristasCompleto n se verifica si el número de aristas del grafo completo de orden n es n*(n-1)/2 y, usando la función, comprobar que la propiedad se cumple para n de 1 a 20.

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

module Grafo_Numero_de_aristas_de_un_grafo where

import TAD.Grafo (Grafo, Orientacion (D, ND), dirigido, aristas, creaGrafo')
import Data.Ix (Ix)
import Grafo_Lazos_de_un_grafo (nLazos)
import Grafo_Grafos_completos (completo)
import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe, describe)

-- 1ª solución
-- ===========

nAristas :: (Ix v,Num p) => Grafo v p ->  Int
nAristas g | dirigido g = length (aristas g)
           | otherwise  = (length (aristas g) + nLazos g) `div` 2

-- 2ª solución
-- ===========

nAristas2 :: (Ix v,Num p) => Grafo v p ->  Int
nAristas2 g | dirigido g = length (aristas g)
            | otherwise  = length [(x,y) | ((x,y),_) <- aristas g, x <= y]

-- Propiedad
-- =========

prop_nAristasCompleto :: Int -> Bool
prop_nAristasCompleto n =
  nAristas (completo n) == n*(n-1) `div` 2

-- La comprobación es
--    λ> and [prop_nAristasCompleto n | n <- [1..20]]
--    True

-- Verificación
-- ============

verifica :: IO ()
verifica = hspec spec

spec :: Spec
spec = do
  describe "def. 1" $ specG nAristas
  describe "def. 2" $ specG nAristas2

specG :: (Grafo Int Int -> Int) -> Spec
specG nAristas' = do
  it "e1" $
    nAristas' g1 `shouldBe` 8
  it "e2" $
    nAristas' g2 `shouldBe` 7
  it "e3" $
    nAristas' g3 `shouldBe` 4
  it "e4" $
    nAristas' g4 `shouldBe` 3
  it "e5" $
    nAristas' (completo 4) `shouldBe` 6
  it "e6" $
    nAristas' (completo 5) `shouldBe` 10
  where
    g1, g2, g3, g4 :: Grafo Int Int
    g1 = creaGrafo' ND (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)]
    g2 = creaGrafo' D  (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(4,3),(4,5)]
    g3 = creaGrafo' ND (1,3) [(1,2),(1,3),(2,3),(3,3)]
    g4 = creaGrafo' ND (1,4) [(1,1),(1,2),(3,3)]

-- La verificación es
--    λ> verifica
--
--    def. 1
--      e1
--      e2
--      e3
--      e4
--      e5
--      e6
--    def. 2
--      e1
--      e2
--      e3
--      e4
--      e5
--      e6
--
--    Finished in 0.0013 seconds
--    12 examples, 0 failures

module Grafo_Numero_de_aristas_de_un_grafo where

import TAD.Grafo (Grafo, Orientacion (D, ND), dirigido, aristas, creaGrafo')

import Data.Ix (Ix)

import Grafo_Lazos_de_un_grafo (nLazos)

import Grafo_Grafos_completos (completo)

import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe, describe)

-- 1ª solución

-- ===========

nAristas :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int

nAristas g | dirigido g = length (aristas g)

| otherwise = (length (aristas g) + nLazos g) `div` 2

-- 2ª solución

-- ===========

nAristas2 :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int

nAristas2 g | dirigido g = length (aristas g)

| otherwise = length [(x,y) | ((x,y),_) <- aristas g, x <= y]

-- Propiedad

-- =========

prop_nAristasCompleto :: Int -> Bool

prop_nAristasCompleto n =

nAristas (completo n) == n*(n-1) `div` 2

-- La comprobación es

-- λ> and [prop_nAristasCompleto n | n <- [1..20]]

-- True

-- Verificación

-- ============

verifica :: IO ()

verifica = hspec spec

spec :: Spec

spec = do

describe "def. 1" $ specG nAristas

describe "def. 2" $ specG nAristas2

specG :: (Grafo Int Int -> Int) -> Spec

specG nAristas' = do

it "e1" $

nAristas' g1 `shouldBe` 8

it "e2" $

nAristas' g2 `shouldBe` 7

it "e3" $

nAristas' g3 `shouldBe` 4

it "e4" $

nAristas' g4 `shouldBe` 3

it "e5" $

nAristas' (completo 4) `shouldBe` 6

it "e6" $

nAristas' (completo 5) `shouldBe` 10

where

g1, g2, g3, g4 :: Grafo Int Int

g1 = creaGrafo' ND (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)]

g2 = creaGrafo' D (1,5) [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(4,3),(4,5)]

g3 = creaGrafo' ND (1,3) [(1,2),(1,3),(2,3),(3,3)]

g4 = creaGrafo' ND (1,4) [(1,1),(1,2),(3,3)]

-- La verificación es

-- λ> verifica

-- def. 1

-- e1

-- e2

-- e3

-- e4

-- e5

-- e6

-- def. 2

-- e1

-- e2

-- e3

-- e4

-- e5

-- e6

-- Finished in 0.0013 seconds

-- 12 examples, 0 failures

Soluciones en Python

from src.Grafo_Grafos_completos import completo
from src.Grafo_Lazos_de_un_grafo import nLazos
from src.TAD.Grafo import Grafo, Orientacion, aristas, creaGrafo_, dirigido

# 1ª solución
# ===========

def nAristas(g: Grafo) -> int:
    if dirigido(g):
        return len(aristas(g))
    return (len(aristas(g)) + nLazos(g)) // 2

# 2ª solución
# ===========

def nAristas2(g: Grafo) -> int:
    if dirigido(g):
        return len(aristas(g))
    return len([(x, y) for ((x,y),_) in aristas(g) if x <= y])

# Propiedad
# =========

def prop_nAristasCompleto(n: int) -> bool:
    return nAristas(completo(n)) == n*(n-1) // 2

# La comprobación es
#    >>> all(prop_nAristasCompleto(n) for n in range(1, 21))
#    True

# Verificación
# ============

def test_nAristas() -> None:
    g1 = creaGrafo_(Orientacion.ND, (1,5),
                    [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)])
    g2 = creaGrafo_(Orientacion.D, (1,5),
                    [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(4,3),(4,5)])
    g3 = creaGrafo_(Orientacion.ND, (1,3), [(1,2),(1,3),(2,3),(3,3)])
    g4 = creaGrafo_(Orientacion.ND, (1,4), [(1,1),(1,2),(3,3)])
    for nAristas_ in [nAristas, nAristas2]:
        assert nAristas_(g1) == 8
        assert nAristas_(g2) == 7
        assert nAristas_(g3) == 4
        assert nAristas_(g4) == 3
        assert nAristas_(completo(4)) == 6
        assert nAristas_(completo(5)) == 10
    print("Verificado")

# La verificación es
#    >>> test_nAristas()
#    Verificado

from src.Grafo_Grafos_completos import completo

from src.Grafo_Lazos_de_un_grafo import nLazos

from src.TAD.Grafo import Grafo, Orientacion, aristas, creaGrafo_, dirigido

# 1ª solución

# ===========

def nAristas(g: Grafo) -> int:

if dirigido(g):

return len(aristas(g))

return (len(aristas(g)) + nLazos(g)) // 2

# 2ª solución

# ===========

def nAristas2(g: Grafo) -> int:

if dirigido(g):

return len(aristas(g))

return len([(x, y) for ((x,y),_) in aristas(g) if x <= y])

# Propiedad

# =========

def prop_nAristasCompleto(n: int) -> bool:

return nAristas(completo(n)) == n*(n-1) // 2

# La comprobación es

# >>> all(prop_nAristasCompleto(n) for n in range(1, 21))

# True

# Verificación

# ============

def test_nAristas() -> None:

g1 = creaGrafo_(Orientacion.ND, (1,5),

[(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)])

g2 = creaGrafo_(Orientacion.D, (1,5),

[(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(4,3),(4,5)])

g3 = creaGrafo_(Orientacion.ND, (1,3), [(1,2),(1,3),(2,3),(3,3)])

g4 = creaGrafo_(Orientacion.ND, (1,4), [(1,1),(1,2),(3,3)])

for nAristas_ in [nAristas, nAristas2]:

assert nAristas_(g1) == 8

assert nAristas_(g2) == 7

assert nAristas_(g3) == 4

assert nAristas_(g4) == 3

assert nAristas_(completo(4)) == 6

assert nAristas_(completo(5)) == 10

print("Verificado")

# La verificación es

# >>> test_nAristas()

# Verificado

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TAD de los grafos: Número de aristas de un grafo

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