Búsqueda por anchura en espacios de estados

Las características de los problemas de espacios de estados son:

  • un conjunto de las posibles situaciones o nodos que constituye el espacio de estados (estos son las potenciales soluciones que se necesitan explorar),
  • un conjunto de movimientos de un nodo a otros nodos, llamados los sucesores del nodo,
  • un nodo inicial y
  • un nodo objetivo que es la solución.

Definir la función

tal que buscaAnchura s o e es la lista de soluciones del problema de espacio de estado definido por la función sucesores s, el objetivo o y estado inicial e obtenidas mediante búsqueda en anchura.

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.


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El problema de las n reinas (mediante búsqueda por profundidad en espacios de estados)

El problema de las n reinas consiste en colocar n reinas en un tablero cuadrado de dimensiones n por n de forma que no se encuentren más de una en la misma línea: horizontal, vertical o diagonal.

Las posiciones de las reinas en el tablero se representan por su columna y su fila.

Una solución del problema de las n reinas es una lista de posiciones.

Usando el procedimiento de búsqueda en profundidad, definir las funciones

tales que

  • solucionesNR n es la lista de las soluciones del problema de las n reinas, por búsqueda de espacio de estados en profundidad. Por ejemplo,

  • primeraSolucionNR n es la primera solución del problema de las n reinas, por búsqueda en espacio de estados por profundidad. Por ejemplo,

  • nSolucionesNR n es el número de soluciones del problema de las n reinas, por búsqueda en espacio de estados. Por ejemplo,

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.


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Búsqueda en espacios de estados por profundidad

Las características de los problemas de espacios de estados son:

  • un conjunto de las posibles situaciones o nodos que constituye el espacio de estados (estos son las potenciales soluciones que se necesitan explorar),
  • un conjunto de movimientos de un nodo a otros nodos, llamados los sucesores del nodo,
  • un nodo inicial y
  • un nodo objetivo que es la solución.

Definir la función

tal que buscaProfundidad s o e es la lista de soluciones del problema de espacio de estado definido por la función sucesores s, el objetivo o y estado inicial e obtenidas mediante búsqueda en profundidad.

Soluciones

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Rompecabeza del triominó mediante divide y vencerás

Un poliominó es una figura geométrica plana formada conectando dos o más cuadrados por alguno de sus lados. Los cuadrados se conectan lado con lado, pero no se pueden conectar ni por sus vértices, ni juntando solo parte de un lado de un cuadrado con parte de un lado de otro. Si unimos dos cuadrados se obtiene un dominó, si se juntan tres cuadrados se construye un triominó.

Sólo existen dos triominós, el I-triomino (por tener forma de I) y el L-triominó (por su forma de L) como se observa en las siguientes figuras

El rompecabeza del triominó consiste en cubrir un tablero cuadrado con 2^n filas y 2^n columnas, en el que se ha eliminado una casilla, con L-triominós de formas que cubran todas las casillas excepto la eliminada y los triominós no se solapen.

La casilla eliminada se representará con -1 y los L-triominós sucesiones de tres números consecutivos en forma de L. Con esta representación una solución del rompecabeza del triominó con 4 filas y la fila eliminada en la posición (4,4) es

Definir la función

tal que (triomino n p) es la solución, mediante divide y vencerás, del rompecabeza del triominó en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de la posición p. Por ejemplo,

Soluciones

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Algoritmo divide y vencerás

La técnica divide y vencerás consta de los siguientes pasos:

  • Dividir el problema en subproblemas menores.
  • Resolver por separado cada uno de los subproblemas:
    • si los subproblemas son complejos, usar la misma técnica recursivamente;
    • si son simples, resolverlos directamente.
  • Combinar todas las soluciones de los subproblemas en una solución simple.

Definir la función

tal que divideVenceras ind resuelve divide combina pbInicial resuelve el problema pbInicial mediante la técnica de divide y vencerás, donde

  • ind pb se verifica si el problema pb es indivisible
  • resuelve pb es la solución del problema indivisible pb
  • divide pb es la lista de subproblemas de pb
  • combina pb ss es la combinación de las soluciones ss de los subproblemas del problema pb.
  • pbInicial es el problema inicial

Usando la función DivideVenceras, definir las funciones

tales que

  • ordenaPorMezcla xs es la lista obtenida ordenando xs por el procedimiento de ordenación por mezcla. Por ejemplo,

  • ordenaRapida xs es la lista obtenida ordenando xs por el procedimiento de ordenación rápida. Por ejemplo,

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TAD de los grafos: Algoritmo de Prim

El algoritmo de Prim calcula un árbol recubridor mínimo en un grafo conexo y ponderado. Es decir, busca un subconjunto de aristas que, formando un árbol, incluyen todos los vértices y donde el valor de la suma de todas las aristas del árbol es el mínimo.

El algoritmo de Prim funciona de la siguiente manera:

  • Inicializar un árbol con un único vértice, elegido arbitrariamente, del grafo.
  • Aumentar el árbol por un lado. Llamamos lado a la unión entre dos vértices: de las posibles uniones que pueden conectar el árbol a los vértices que no están aún en el árbol, encontrar el lado de menor distancia y unirlo al árbol.
  • Repetir el paso 2 (hasta que todos los vértices pertenezcan al árbol)

Usando el tipo abstracto de datos de los grafos, definir la función,

tal que prim g es el árbol de expansión mínimo del grafo g calculado mediante el algoritmo de Prim. Por ejemplo, si g1, g2, g3 y g4 son los grafos definidos por

entonces

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TAD de los grafos: Algoritmo de Kruskal

El algoritmo de Kruskal calcula un árbol recubridor mínimo en un grafo conexo y ponderado. Es decir, busca un subconjunto de aristas que, formando un árbol, incluyen todos los vértices y donde el valor de la suma de todas las aristas del árbol es el mínimo.

El algoritmo de Kruskal funciona de la siguiente manera:

  • se crea un bosque B (un conjunto de árboles), donde cada vértice del grafo es un árbol separado
  • se crea un conjunto C que contenga a todas las aristas del grafo
  • mientras C es no vacío,
    • eliminar una arista de peso mínimo de C
    • si esa arista conecta dos árboles diferentes se añade al bosque, combinando los dos árboles en un solo árbol
    • en caso contrario, se desecha la arista

Al acabar el algoritmo, el bosque tiene un solo componente, el cual forma un árbol de expansión mínimo del grafo.

Usando el tipo abstracto de datos de los grafos, definir la función,

tal que kruskal g es el árbol de expansión mínimo del grafo g calculado mediante el algoritmo de Kruskal. Por ejemplo, si g1, g2, g3 y g4 son los grafos definidos por

entonces

Soluciones

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TAD de los grafos: Nodos conectados en un grafo

Usando el tipo abstracto de datos de los grafos, definir la función,

tal que conectados g v1 v2 se verifica si los vértices v1 y v2 están conectados en el grafo g. Por ejemplo, si grafo1 es el grafo definido por

entonces,

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