Límite de sucesiones no decrecientes

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

En Lean, se define que a es el límite de la sucesión u, por

y que la sucesión u es no decreciente por

Demostrar que si u es una sucesión no decreciente y su límite es a, entonces u(n) ≤ a para todo n.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
[/expand]

[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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Las sucesiones divergentes positivas no tienen límites finitos

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

Se define que a es el límite de la sucesión u, por

donde se usa la notación |x| para el valor absoluto de x

La sucesión u diverge positivamente cuando, para cada número real A, se puede encontrar un número natural m tal que, para n > m , se tenga u(n) > A. En Lean se puede definir por

Demostrar que si u diverge positivamente, entonces ningún número real es límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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Si a es un punto de acumulación de la sucesión de Cauchy u, entonces a es el límite de u

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción queconserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

que a es un límite de u por

que a es un punto de acumulación de u por

que la sucesión u es de Cauchy por

Demostrar que si u es una sucesión de Cauchy y a es un punto de acumulación de u, entonces a es el límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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El punto de acumulación de las sucesiones convergente es su límite

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

que a es un límite de u por

que u es convergente por

que a es un punto de acumulación de u por

Demostrar que si u es una sucesión convergente y a es un punto de acumulación de u, entonces a es un límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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Las subsucesiones tienen el mismo límite que la sucesión

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

que v es una subsucesión de u por

y que a es un límite de u por

Demostrar que las subsucesiones de una sucesión convergente tienen el mismo límite que la sucesión.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
[/expand]

[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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Si a es un punto de acumulación de u, entonces ∀ε>0, ∀ N, ∃k≥N, |u(k)−a| < ε

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

También se puede definir que a es un límite de u por

Los puntos de acumulación de una sucesión son los límites de sus subsucesiones. En Lean se puede definir por

Demostrar que si a es un punto de acumulación de u, entonces

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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Las sucesiones convergentes son sucesiones de Cauchy

Nota: El problema de hoy lo ha escrito Sara Díaz Real y es uno de los que se encuentran en su Trabajo Fin de Máster Formalización en Lean de problemas de las Olimpiadas Internacionales de Matemáticas (IMO). Concretamente, el problema se encuentra en la página 52 junto con la demostración en lenguaje natural.


En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

Se define

  • el valor absoluto de x por

  • a es un límite de la sucesión u, por

  • la sucesión u es convergente por

  • la sucesión u es de Cauchy por

Demostrar que las sucesiones convergentes son de Cauchy.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]