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Etiqueta: IH.meson

Si a es un punto de acumulación de la sucesión de Cauchy u, entonces a es el límite de u

José A. Alonso-

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción queconserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

   uₒ, u₂, u₄, u₆, ...

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

que a es un límite de u por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

que a es un punto de acumulación de u por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

que la sucesión u es de Cauchy por

   def suc_cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε

Demostrar que si u es una sucesión de Cauchy y a es un punto de acumulación de u, entonces a es el límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (l : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - l| < ε
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
def suc_cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε
 
example
  (hu : suc_cauchy u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
sorry
Soluciones con Lean
import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (l : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - l| < ε
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
def suc_cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε
 
lemma aux1
  (h : extraccion φ)
  : ∀ n, n ≤ φ n :=
begin
  intro n,
  induction n with m HI,
  { exact nat.zero_le (φ 0), },
  { apply nat.succ_le_of_lt,
    calc m ≤ φ m        : HI
       ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), },
end
 
lemma aux2
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
λ N N', ⟨max N N', ⟨le_max_right N N',
                    le_trans (le_max_left N N')
                             (aux1 h (max N N'))⟩⟩
 
lemma cerca_acumulacion
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  exact ⟨φ m, hm', hN' _ hm⟩,
end
 
-- 1ª demostración
example
  (hu : suc_cauchy u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
begin
  unfold limite,
  intros ε hε,
  unfold suc_cauchy at hu,
  cases hu (ε/2) (half_pos hε) with N hN,
  use N,
  have ha' : ∃ N' ≥ N, |u N' - a| < ε/2,
    apply cerca_acumulacion ha (ε/2) (half_pos hε),
  cases ha' with N' h,
  cases h with hNN' hN',
  intros n hn,
  calc   |u n - a|
       = |(u n - u N') + (u N' - a)| : by ring_nf
   ... ≤ |u n - u N'| + |u N' - a|   : abs_add (u n - u N') (u N' - a)
   ... < ε/2 + |u N' - a|            : add_lt_add_right (hN n hn N' hNN') _
   ... < ε/2 + ε/2                   : add_lt_add_left hN' (ε / 2)
   ... = ε                           : add_halves ε
end
 
-- 2ª demostración
example
  (hu : suc_cauchy u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
begin
  intros ε hε,
  cases hu (ε/2) (by linarith) with N hN,
  use N,
  have ha' : ∃ N' ≥ N, |u N' - a| < ε/2,
    apply cerca_acumulacion ha (ε/2) (by linarith),
  rcases ha' with ⟨N', hNN', hN'⟩,
  intros n hn,
  calc  |u n - a|
      = |(u n - u N') + (u N' - a)| : by ring_nf
  ... ≤ |u n - u N'| + |u N' - a|   : by simp [abs_add]
  ... < ε                           : by linarith [hN n hn N' hNN'],
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory "Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_la_sucesion_de_Cauchy_u,_entonces_a_es_el_limite_de_u"
imports Main HOL.Real
begin
 
definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where
  "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)"
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)"
 
definition punto_acumulacion :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "punto_acumulacion u a ⟷ (∃φ. extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a)"
 
definition suc_cauchy :: "(nat ⇒ real) ⇒ bool"
  where "suc_cauchy u ⟷ (∀ε>0. ∃k. ∀m≥k. ∀n≥k. ¦u m - u n¦ < ε)"
 
(* Lemas auxiliares *)
 
lemma aux1 :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "n ≤ φ n"
proof (induct n)
  show "0 ≤ φ 0" by simp
next
  fix n assume HI : "n ≤ φ n"
  then show "Suc n ≤ φ (Suc n)"
    using assms extraccion_def
    by (metis Suc_leI lessI order_le_less_subst1)
qed
 
lemma aux2 :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "∀ N N'. ∃ k ≥ N'. φ k ≥ N"
proof (intro allI)
  fix N N' :: nat
  have "max N N' ≥ N' ∧ φ (max N N') ≥ N"
    by (meson assms aux1 max.bounded_iff max.cobounded2)
  then show "∃k ≥ N'. φ k ≥ N"
    by blast
qed
 
lemma cerca_acumulacion :
  assumes "punto_acumulacion u a"
  shows   "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
proof (intro allI impI)
  fix ε :: real and N :: nat
  assume "ε > 0"
  obtain φ where hφ1 : "extraccion φ"
             and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a"
    using assms punto_acumulacion_def by blast
  obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε"
    using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto
  obtain m where "m ≥ N' ∧ φ m ≥ N"
    using aux2 hφ1 by blast
  then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    using hN' by auto
qed
 
(* Demostración *)
lemma
  assumes "suc_cauchy u"
          "punto_acumulacion u a"
  shows   "limite u a"
proof (unfold limite_def; intro allI impI)
  fix ε :: real
  assume "ε > 0"
  then have "ε/2 > 0"
    by simp
  then obtain N where hN : "∀m≥N. ∀n≥N. ¦u m - u n¦ < ε/2"
    using assms(1) suc_cauchy_def
    by blast
  have "∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
  proof (intro allI impI)
    fix k
    assume hk : "k ≥ N"
    obtain N' where hN'1 : "N' ≥ N" and
                    hN'2 : "¦u N' - a¦ < ε/2"
      using assms(2) cerca_acumulacion ‹ε/2 > 0› by blast
    have "¦u k - a¦ = ¦(u k - u N') + (u N'  - a)¦"
      by simp
    also have "… ≤ ¦u k - u N'¦ + ¦u N'  - a¦"
      by simp
    also have "… < ε/2 + ¦u N'  - a¦"
      using hk hN hN'1 by auto
    also have "… < ε/2 + ε/2"
      using hN'2 by auto
    also have "… = ε"
      by simp
    finally show "¦u k - a¦ < ε" .
  qed
  then show "∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    by auto
qed
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

Si a es un punto de acumulación de u, entonces ∀ε>0, ∀ N, ∃k≥N, |u(k)−a| < ε

José A. Alonso-

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

   uₒ, u₂, u₄, u₆, ...

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

También se puede definir que a es un límite de u por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

Los puntos de acumulación de una sucesión son los límites de sus subsucesiones. En Lean se puede definir por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

Demostrar que si a es un punto de acumulación de u, entonces

   ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε :=
sorry
Soluciones con Lean
import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
-- En la demostración se usarán los siguientes lemas.
 
lemma aux1
  (h : extraccion φ)
  : ∀ n, n ≤ φ n :=
begin
  intro n,
  induction n with m HI,
  { exact nat.zero_le (φ 0), },
  { apply nat.succ_le_of_lt,
    calc m ≤ φ m        : HI
       ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), },
end
 
lemma aux2
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
λ N N', ⟨max N N', ⟨le_max_right N N',
                    le_trans (le_max_left N N')
                             (aux1 h (max N N'))⟩⟩
 
-- 1ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  unfold punto_acumulacion at h,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  unfold limite at hφ2,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  clear hφ1 hφ2,
  use φ m,
  split,
  { exact hm', },
  { exact hN' m hm, },
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  use φ m,
  exact ⟨hm', hN' m hm⟩,
end
 
-- 3ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  exact ⟨φ m, hm', hN' _ hm⟩,
end
 
-- 4ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  use φ m ; finish,
end
 
-- 5ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              ( assume hm1 : m ≥ N',
                assume hm2 : φ m ≥ N,
                have h2 : |u (φ m) - a| < ε,
                  from hN' m hm1,
                show ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε,
                  from exists.intro (φ m) (exists.intro hm2 h2)))))
 
-- 6ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              ( assume hm1 : m ≥ N',
                assume hm2 : φ m ≥ N,
                have h2 : |u (φ m) - a| < ε,
                  from hN' m hm1,
                show ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε,
                  from ⟨φ m, hm2, h2⟩))))
 
-- 7ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              ( assume hm1 : m ≥ N',
                assume hm2 : φ m ≥ N,
                have h2 : |u (φ m) - a| < ε,
                  from hN' m hm1,
                ⟨φ m, hm2, h2⟩))))
 
-- 8ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              ( assume hm1 : m ≥ N',
                assume hm2 : φ m ≥ N,
                ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 9ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 10ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 11ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        exists.elim (aux2 hφ.1 N N')
          (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 12ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N')
        (λ m hm, exists.elim hm
          (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 13ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  (λ φ hφ, exists.elim (hφ.2 ε hε)
    (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N')
      (λ m hm, exists.elim hm
        (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 14ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
λ ε hε N, exists.elim h
  (λ φ hφ, exists.elim (hφ.2 ε hε)
    (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N')
      (λ m hm, exists.elim hm
        (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory "Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_u,_entonces_a_tiene_puntos_cercanos"
imports Main HOL.Real
begin
 
definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where
  "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)"
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)"
 
definition punto_acumulacion :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "punto_acumulacion u a ⟷ (∃φ. extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a)"
 
(* En la demostración se usarán los siguientes lemas *)
lemma aux1 :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "n ≤ φ n"
proof (induct n)
  show "0 ≤ φ 0" by simp
next
  fix n assume HI : "n ≤ φ n"
  then show "Suc n ≤ φ (Suc n)"
    using assms extraccion_def
    by (metis Suc_leI lessI order_le_less_subst1)
qed
 
lemma aux2 :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "∀ N N'. ∃ k ≥ N'. φ k ≥ N"
proof (intro allI)
  fix N N' :: nat
  have "max N N' ≥ N' ∧ φ (max N N') ≥ N"
    by (meson assms aux1 max.bounded_iff max.cobounded2)
  then show "∃k ≥ N'. φ k ≥ N"
    by blast
qed
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "punto_acumulacion u a"
  shows   "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
proof (intro allI impI)
  fix ε :: real and N :: nat
  assume "ε > 0"
  obtain φ where hφ1 : "extraccion φ"
             and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a"
    using assms punto_acumulacion_def by blast
  obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε"
    using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto
  obtain m where hm1 : "m ≥ N'" and hm2 : "φ m ≥ N"
    using aux2 hφ1 by blast
  have "φ m ≥ N ∧ ¦u (φ m) - a¦ < ε"
    using hN' hm1 hm2 by force
  then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    by auto
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "punto_acumulacion u a"
  shows   "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
proof (intro allI impI)
  fix ε :: real and N :: nat
  assume "ε > 0"
  obtain φ where hφ1 : "extraccion φ"
             and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a"
    using assms punto_acumulacion_def by blast
  obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε"
    using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto
  obtain m where "m ≥ N' ∧ φ m ≥ N"
    using aux2 hφ1 by blast
  then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    using hN' by auto
qed
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

Las particiones definen relaciones de equivalencia

José A. Alonso-

Cada familia de conjuntos P define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de P contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia de subconjuntos de X es una partición de X si cada elemento de X pertenece a un único conjunto de P y todos los elementos de P son no vacíos. Se puede definir en Lean por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar que si P es una partición de X, entonces la relación definida por P es una relación de equivalencia.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
 
variable {X : Type}
variable (P : set (set X))
 
def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A
 
def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P
 
example
  (h : particion P)
  : equivalence (relacion P) :=
sorry
Soluciones con Lean
import tactic
 
variable {X : Type}
variable (P : set (set X))
 
def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A
 
def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P
 
example
  (h : particion P)
  : equivalence (relacion P) :=
begin
  repeat { split },
  { intro x,
    rcases (h.1 x) with ⟨A, hAP, hxA, -⟩,
    use [A, ⟨hAP, hxA, hxA⟩], },
  { intros x y hxy,
    rcases hxy with ⟨B, hBP, ⟨hxB, hyB⟩⟩,
    use [B, ⟨hBP, hyB, hxB⟩], },
  { rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,
    use B1,
    repeat { split },
    { exact hB1P, },
    { exact hxB1, },
    { convert hzB2,
      rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
      exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm (hB B2 hB2P hyB2), }},
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory Las_particiones_definen_relaciones_de_equivalencia
imports Main
begin
 
definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where
  "relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)"
 
definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where
  "particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P"
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "equivp (relacion P)"
proof (rule equivpI)
  show "reflp (relacion P)"
  proof (rule reflpI)
    fix x
    obtain A where "A ∈ P ∧ x ∈ A"
      using assms particion_def by metis
    then show "relacion P x x"
      using relacion_def by metis
  qed
next
  show "symp (relacion P)"
  proof (rule sympI)
    fix x y
    assume "relacion P x y"
    then obtain A where "A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A"
      using relacion_def by metis
    then show "relacion P y x"
      using relacion_def by metis
  qed
next
  show "transp (relacion P)"
  proof (rule transpI)
    fix x y z
    assume "relacion P x y" and "relacion P y z"
    obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"
      using ‹relacion P x y› by (meson relacion_def)
    obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"
      using ‹relacion P y z› by (meson relacion_def)
    have "A = B"
    proof -
      obtain C where "C ∈ P"
                 and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
        using assms particion_def by metis
      then show "A = B"
        using ‹A ∈ P› ‹B ∈ P› hA hB by blast
    qed
    then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"  using hA hB by auto
    then show "relacion P x z"
      using ‹A = B› ‹A ∈ P› relacion_def by metis
  qed
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "equivp (relacion P)"
proof (rule equivpI)
  show "reflp (relacion P)"
    using assms particion_def relacion_def
    by (metis reflpI)
next
  show "symp (relacion P)"
    using assms relacion_def
    by (metis sympI)
next
  show "transp (relacion P)"
    using assms relacion_def particion_def
    by (smt (verit) transpI)
qed
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

Las particiones definen relaciones transitivas

José A. Alonso-

Cada familia de conjuntos P define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de P contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia de subconjuntos de X es una partición de X si cada de X pertenece a un único conjunto de P y todos los elementos de P son no vacíos. Se puede definir en Lean por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar que si P es una partición de X, entonces la relación definida por P es transitiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
 
variable {X : Type}
variable (P : set (set X))
 
def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A
 
def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P
 
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
sorry
Soluciones con Lean
import tactic
 
variable {X : Type}
variable (P : set (set X))
 
def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A
 
def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P
 
-- 1ª demostración
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
begin
  unfold transitive,
  intros x y z h1 h2,
  unfold relacion at *,
  rcases h1 with ⟨B1, hB1P, hxB1, hyB1⟩,
  rcases h2 with ⟨B2, hB2P, hyB2, hzB2⟩,
  use B1,
  repeat { split },
  { exact hB1P, },
  { exact hxB1, },
  { convert hzB2,
    rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
    have hBB1 : B = B1 := hB B1 hB1P hyB1,
    have hBB2 : B = B2 := hB B2 hB2P hyB2,
    exact eq.trans hBB1.symm hBB2, },
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
begin
  rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,
  use B1,
  repeat { split },
  { exact hB1P, },
  { exact hxB1, },
  { convert hzB2,
    rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
    exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm (hB B2 hB2P hyB2), },
end
 
-- 3ª demostración
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
begin
  rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,
  use [B1, ⟨hB1P,
            hxB1,
            by { convert hzB2,
                 rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
                 exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm
                                (hB B2 hB2P hyB2), }⟩],
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory Las_particiones_definen_relaciones_transitivas
imports Main
begin
 
definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where
  "relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)"
 
definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where
  "particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P"
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "transp (relacion P)"
proof (rule transpI)
  fix x y z
  assume "relacion P x y" and "relacion P y z"
  have "∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A"
    using ‹relacion P x y›
    by (simp only: relacion_def)
  then obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"
    by (rule bexE)
  have "∃B∈P. y ∈ B ∧ z ∈ B"
    using ‹relacion P y z›
    by (simp only: relacion_def)
  then obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"
    by (rule bexE)
  have "A = B"
  proof -
    have "∃C ∈ P. y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
      using assms
      by (simp only: particion_def)
    then obtain C where "C ∈ P"
                    and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
      by (rule bexE)
    have hC' : "∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D"
      using hC by (rule conjunct2)
    have "C = A"
      using ‹A ∈ P› hA hC' by simp
    moreover have "C = B"
      using ‹B ∈ P› hB hC by simp
    ultimately show "A = B"
      by (rule subst)
  qed
  then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"
    using hA hB by simp
  then have "∃A∈P. x ∈ A ∧ z ∈ A"
    using ‹A ∈ P› by (rule bexI)
  then show "relacion P x z"
    using ‹A = B› ‹A ∈ P›
    by (unfold relacion_def)
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "transp (relacion P)"
proof (rule transpI)
  fix x y z
  assume "relacion P x y" and "relacion P y z"
  obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"
    using ‹relacion P x y›
    by (meson relacion_def)
  obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"
    using ‹relacion P y z›
    by (meson relacion_def)
  have "A = B"
  proof -
    obtain C where "C ∈ P" and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
      using assms particion_def
      by metis
    have "C = A"
      using ‹A ∈ P› hA hC by auto
    moreover have "C = B"
      using ‹B ∈ P› hB hC by auto
    ultimately show "A = B"
      by simp
  qed
  then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"
    using hA hB by auto
  then show "relacion P x z"
    using ‹A = B› ‹A ∈ P› relacion_def
    by metis
qed
 
(* 3ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "transp (relacion P)"
  using assms particion_def relacion_def
  by (smt (verit) transpI)
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →