Si R es un retículo y x, y ∈ R, entonces x ⊓ (x ⊔ y) = x
Demostrar que si R es un retículo y x, y ∈ R, entonces
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x ⊓ (x ⊔ y) = x |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import order.lattice variables {R : Type*} [lattice R] variables x y : R example : x ⊓ (x ⊔ y) = x := sorry |
Soluciones con Lean
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import order.lattice variables {R : Type*} [lattice R] variables x y : R -- 1ª demostración -- =============== example : x ⊓ (x ⊔ y) = x := begin have h1 : x ⊓ (x ⊔ y) ≤ x, finish, have h2 : x ≤ x ⊓ (x ⊔ y), finish, show x ⊓ (x ⊔ y) = x, by exact le_antisymm h1 h2, end -- 2ª demostración -- =============== example : x ⊓ (x ⊔ y) = x := begin have h1 : x ⊓ (x ⊔ y) ≤ x := inf_le_left, have h2 : x ≤ x ⊓ (x ⊔ y), { have h2a : x ≤ x := rfl.ge, have h2b : x ≤ x ⊔ y := le_sup_left, show x ≤ x ⊓ (x ⊔ y), by exact le_inf h2a h2b, }, show x ⊓ (x ⊔ y) = x, by exact le_antisymm h1 h2, end -- 3ª demostración -- =============== example : x ⊓ (x ⊔ y) = x := begin apply le_antisymm, { apply inf_le_left }, { apply le_inf, { apply le_refl }, { apply le_sup_left }}, end -- 4ª demostración example : x ⊓ (x ⊔ y) = x := -- by library_search inf_sup_self -- 5ª demostración -- =============== example : x ⊓ (x ⊔ y) = x := -- by hint by simp |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 22.
