Límite con suma de constante
En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.
Se define que a es el límite de la sucesión u, por
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def limite : (ℕ → ℝ) → ℝ → Prop := λ u a, ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - a| < ε |
donde se usa la notación |x| para el valor absoluto de x
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notation `|`x`|` := abs x |
Demostrar que si el límite de la sucesión u(i) es a y c ∈ ℝ, entonces el límite de u(i)+c es a+c.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic import tactic variables {u : ℕ → ℝ} variables {a c : ℝ} notation `|`x`|` := abs x def limite : (ℕ → ℝ) → ℝ → Prop := λ u c, ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - c| < ε example (h : limite u a) : limite (λ i, u i + c) (a + c) := sorry |
[expand title=»Soluciones con Lean»]
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import data.real.basic import tactic variables {u : ℕ → ℝ} variables {a c : ℝ} notation `|`x`|` := abs x def limite : (ℕ → ℝ) → ℝ → Prop := λ u c, ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - c| < ε -- 1ª demostración -- =============== example (h : limite u a) : limite (λ i, u i + c) (a + c) := begin intros ε hε, dsimp, cases h ε hε with k hk, use k, intros n hn, calc |u n + c - (a + c)| = |u n - a| : by norm_num ... < ε : hk n hn, end -- 2ª demostración -- =============== example (h : limite u a) : limite (λ i, u i + c) (a + c) := begin intros ε hε, dsimp, cases h ε hε with k hk, use k, intros n hn, convert hk n hn using 2, ring, end -- 3ª demostración -- =============== example (h : limite u a) : limite (λ i, u i + c) (a + c) := begin intros ε hε, convert h ε hε, by norm_num, end -- 4ª demostración -- =============== example (h : limite u a) : limite (λ i, u i + c) (a + c) := λ ε hε, (by convert h ε hε; norm_num) |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]
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theory Limite_cuando_se_suma_una_constante imports Main HOL.Real begin definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool" where "limite u c ⟷ (∀ε>0. ∃k::nat. ∀n≥k. ¦u n - c¦ < ε)" (* 1ª demostración *) lemma assumes "limite u a" shows "limite (λ i. u i + c) (a + c)" proof (unfold limite_def) show "∀ε>0. ∃k. ∀n≥k. ¦u n + c - (a + c)¦ < ε" proof (intro allI impI) fix ε :: real assume "0 < ε" then have "∃k. ∀n≥k. ¦u n - a¦ < ε" using assms limite_def by simp then obtain k where "∀n≥k. ¦u n - a¦ < ε" by (rule exE) then have "∀n≥k. ¦u n + c - (a + c)¦ < ε" by simp then show "∃k. ∀n≥k. ¦u n + c - (a + c)¦ < ε" by (rule exI) qed qed (* 2ª demostración *) lemma assumes "limite u a" shows "limite (λ i. u i + c) (a + c)" using assms limite_def by simp end |
En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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