La suma de una cota inferior de f y una cota inferior de g es una cota inferior de f+g
Demostrar que la suma de una cota inferior de f y una cota inferior de g es una cota inferior de f+g.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic -- (cota_inferior f a) se verifica si a es una cota inferior de f. def cota_inferior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop := ∀ x, a ≤ f x variables (f g : ℝ → ℝ) variables (a b : ℝ) example (hfa : cota_inferior f a) (hgb : cota_inferior g b) : cota_inferior (λ x, f x + g x) (a + b) := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.real.basic -- (cota_inferior f a) se verifica si a es una cota inferior de f. def cota_inferior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop := ∀ x, a ≤ f x variables (f g : ℝ → ℝ) variables (a b : ℝ) -- 1ª demostración -- =============== example (hfa : cota_inferior f a) (hgb : cota_inferior g b) : cota_inferior (λ x, f x + g x) (a + b) := begin have h1 : ∀ x, a + b ≤ f x + g x, { intro x, have h1a : a ≤ f x := hfa x, have h1b : b ≤ g x := hgb x, show a + b ≤ f x + g x, by exact add_le_add (hfa x) (hgb x), }, show cota_inferior (λ x, f x + g x) (a + b), by exact h1, end -- 2ª demostración -- =============== example (hfa : cota_inferior f a) (hgb : cota_inferior g b) : cota_inferior (λ x, f x + g x) (a + b) := begin intro x, dsimp, change a + b ≤ f x + g x, apply add_le_add, apply hfa, apply hgb end -- 3ª demostración -- =============== example (hfa : cota_inferior f a) (hgb : cota_inferior g b) : cota_inferior (λ x, f x + g x) (a + b) := λ x, add_le_add (hfa x) (hgb x) |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 27.
