La suma de dos funciones acotadas inferiormente también lo está
Demostrar con Lean4 que la suma de dos funciones acotadas inferiormente también lo está.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import src.Suma_de_cotas_inferiores variable {f g : ℝ → ℝ} -- (acotadaInf f) afirma que f tiene cota inferior. def acotadaInf (f : ℝ → ℝ) := ∃ a, CotaInferior f a example (hf : acotadaInf f) (hg : acotadaInf g) : acotadaInf (f + g) := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Del ejercicio «La suma de una cota inferior de \(f\) y una cota inferior de \(g\) es una cota inferior de \(f+g\)» usaremos la definición de cota inferior (CotaInferior) y el lema sumaCotaInf.
Puesto que \(f\) está acotada inferiormente, tiene una cota inferior. \(a\) una de dichas cotas. Análogamentte, puesto que \(g\) está acotada inferiormente, tiene una cota inferior. Sea \(b\) una de dichas cotas. Por el lema sumaCotaInf, a+b es una cota inferior de \(f+g\). Por consiguiente, \(f+g\) está acotada inferiormente.
Demostraciones con Lean4
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import src.Suma_de_cotas_inferiores variable {f g : ℝ → ℝ} -- (acotadaInf f) afirma que f tiene cota inferior. def acotadaInf (f : ℝ → ℝ) := ∃ a, CotaInferior f a -- 1ª demostración example (hf : acotadaInf f) (hg : acotadaInf g) : acotadaInf (f + g) := by cases' hf with a ha -- a : ℝ -- ha : CotaInferior f a cases' hg with b hb -- b : ℝ -- hb : CotaInferior g b have h1 : CotaInferior (f + g) (a + b) := sumaCotaInf ha hb have h2 : ∃ z, CotaInferior (f + g) z := Exists.intro (a + b) h1 show acotadaInf (f + g) exact h2 -- 2ª demostración example (hf : acotadaInf f) (hg : acotadaInf g) : acotadaInf (f + g) := by cases' hf with a ha -- a : ℝ -- ha : FnLb f a cases' hg with b hgb -- b : ℝ -- hgb : FnLb g b use a + b -- ⊢ FnLb (f + g) (a + b) apply sumaCotaInf ha hgb -- 3ª demostración example (hf : acotadaInf f) (hg : acotadaInf g) : acotadaInf (f + g) := by rcases hf with ⟨a, ha⟩ -- a : ℝ -- ha : FnLb f a rcases hg with ⟨b, hb⟩ -- b : ℝ -- hb : FnLb g b exact ⟨a + b, sumaCotaInf ha hb⟩ -- 4ª demostración example : acotadaInf f → acotadaInf g → acotadaInf (f + g) := by rintro ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩ -- a : ℝ -- ha : FnLb f a -- b : ℝ -- hb : FnLb g b exact ⟨a + b, sumaCotaInf ha hb⟩ -- 5ª demostración example : acotadaInf f → acotadaInf g → acotadaInf (f + g) := fun ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩ ↦ ⟨a + b, sumaCotaInf ha hb⟩ -- Lemas usados -- ============ -- #check (sumaCotaInf : FnLb f a → FnLb g b → FnLb (f + g) (a + b)) |
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.
