Si (∃x)¬P(x), entonces ¬(∀x)P(x)
Demostrar con Lean4 que si \((∃x)¬P(x)\), entonces \(¬(∀x)P(x)\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Tactic variable {α : Type _} variable (P : α → Prop) example (h : ∃ x, ¬ P x) : ¬ ∀ x, P x := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Supongamos que \((∀x)P(x)\) y tenemos que demostrar contradicción. Por hipótesis, \((∃x)¬P(x)\). Sea \(y\) tal que \(¬P(y)\). Entonces, como \((∀x)P(x)\), se tiene \(P(y)\) que es una contradicción con \(¬P(y)\).
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Tactic variable {α : Type _} variable (P : α → Prop) -- 1ª demostración -- =============== example (h : ∃ x, ¬ P x) : ¬ ∀ x, P x := by intro h1 -- h1 : ∀ (x : α), P x -- ⊢ False cases' h with y hy -- y : α -- hy : ¬P y apply hy -- ⊢ P y exact (h1 y) -- 2ª demostración -- =============== example (h : ∃ x, ¬ P x) : ¬ ∀ x, P x := by intro h1 -- h1 : ∀ (x : α), P x -- ⊢ False rcases h with ⟨y, hy : ¬P y⟩ apply hy -- ⊢ P y exact (h1 y) -- 3ª demostración -- =============== example (h : ∃ x, ¬ P x) : ¬ ∀ x, P x := by intro h1 -- h1 : ∀ (x : α), P x -- ⊢ False rcases h with ⟨y, hy : ¬P y⟩ exact hy (h1 y) -- 4ª demostración -- =============== example (h : ∃ x, ¬ P x) : ¬ ∀ x, P x := not_forall.mpr h -- 5ª demostración -- =============== example (h : ∃ x, ¬ P x) : ¬ ∀ x, P x := not_forall_of_exists_not h -- 6ª demostración -- =============== example (h : ∃ x, ¬ P x) : ¬ ∀ x, P x := by aesop -- Lemas usados -- ============ -- #check (not_forall : (¬∀ x, P x) ↔ ∃ x, ¬P x) -- #check (not_forall_of_exists_not : (∃ x, ¬P x) → ¬∀ x, P x) |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 33.
