Si c ≥ 0 y f está acotada superiormente, entonces c * f también lo está
Demostrar que si c ≥ 0 y f está acotada superiormente, entonces c * f también lo está.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic variables {f : ℝ → ℝ} variables {a c : ℝ} -- (cota_superior f a) se verifica si a es una cota superior de f. def cota_superior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop := ∀ x, f x ≤ a -- (acotada_sup f) se verifica si f tiene cota superior. def acotada_sup (f : ℝ → ℝ) := ∃ a, cota_superior f a example (hf : acotada_sup f) (h : c ≥ 0) : acotada_sup (λ x, c * f x) := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.real.basic variables {f : ℝ → ℝ} variables {a c : ℝ} -- (cota_superior f a) se verifica si a es una cota superior de f. def cota_superior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop := ∀ x, f x ≤ a -- (acotada_sup f) se verifica si f tiene cota superior. def acotada_sup (f : ℝ → ℝ) := ∃ a, cota_superior f a -- Lema auxiliar -- ============ lemma cota_superior_mul (hfa : cota_superior f a) (h : c ≥ 0) : cota_superior (λ x, c * f x) (c * a) := λ x, mul_le_mul_of_nonneg_left (hfa x) h -- 1ª demostración -- =============== example (hf : acotada_sup f) (h : c ≥ 0) : acotada_sup (λ x, c * f x) := begin cases hf with a ha, have h1 : cota_superior (λ x, c * f x) (c * a) := cota_superior_mul ha h, have h2 : ∃ z, ∀ x, (λ x, c * f x) x ≤ z, by exact Exists.intro (c * a) h1, show acotada_sup (λ x, c * f x), by exact h2, end -- 2ª demostración -- =============== example (hf : acotada_sup f) (h : c ≥ 0) : acotada_sup (λ x, c * f x) := begin cases hf with a ha, use c * a, apply cota_superior_mul ha h, end -- 3ª demostración -- =============== example (hf : acotada_sup f) (h : c ≥ 0) : acotada_sup (λ x, c * f x) := begin rcases hf with ⟨a, ha⟩, exact ⟨c * a, cota_superior_mul ha h⟩, end -- 4ª demostración -- =============== example (h : c ≥ 0) : acotada_sup f → acotada_sup (λ x, c * f x) := begin rintro ⟨a, ha⟩, exact ⟨c * a, cota_superior_mul ha h⟩, end -- 5ª demostración -- =============== example (h : c ≥ 0) : acotada_sup f → acotada_sup (λ x, c * f x) := λ ⟨a, ha⟩, ⟨c * a, cota_superior_mul ha h⟩ |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 31.
