Demostrar con Lean4 que. en ℝ, x≤y∧x≠y→x≤y∧y≰x.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Data.Real.Basic variable (x y : ℝ) example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Supongamos que
x≤yx≠y
Entonces, se tiene x≤y (por (1)) y, para probar y≰x, supongamos que
y≤x
Aplicando la propiedad antimétrica a (1) y (3), se obtiene que x=y, en contradicción con (2).
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Data.Real.Basic variable (x y : ℝ) -- 1ª demostración -- =============== example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x := by rintro ⟨h1 : x ≤ y, h2 : x ≠ y⟩ constructor . show x ≤ y exact h1 . show ¬ y ≤ x rintro h3 : y ≤ x -- ⊢ False have h4 : x = y := le_antisymm h1 h3 show False exact h2 h4 -- 2ª demostración -- =============== example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x := by rintro ⟨h1 : x ≤ y, h2 : x ≠ y⟩ -- ⊢ x ≤ y ∧ ¬y ≤ x constructor . show x ≤ y exact h1 . show ¬ y ≤ x rintro h3 : y ≤ x -- ⊢ False show False exact h2 (le_antisymm h1 h3) -- 3ª demostración -- =============== example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x := by rintro ⟨h1 : x ≤ y, h2 : x ≠ y⟩ constructor . show x ≤ y exact h1 . show ¬ y ≤ x exact fun h3 ↦ h2 (le_antisymm h1 h3) -- 4ª demostración -- =============== example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x := by rintro ⟨h1, h2⟩ exact ⟨h1, fun h3 ↦ h2 (le_antisymm h1 h3)⟩ -- 5ª demostración -- =============== example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x := fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨h1, fun h3 ↦ h2 (le_antisymm h1 h3)⟩ -- 6ª demostración -- =============== example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x := by rintro ⟨h1 : x ≤ y, h2 : x ≠ y⟩ use h1 exact fun h3 ↦ h2 (le_antisymm h1 h3) -- 7ª demostración -- =============== example : x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ ¬ y ≤ x := by rintro ⟨h1, h2⟩ -- h1 : x ≤ y -- h2 : x ≠ y -- ⊢ x ≤ y ∧ ¬y ≤ x use h1 -- ¬y ≤ x contrapose! h2 -- h2 : y ≤ x -- ⊢ x = y apply le_antisymm h1 h2 -- Lemas usados -- ============ -- #check (le_antisymm : x ≤ y → y ≤ x → x = y) |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias