Si f es monótona y f(a) < f(b), entonces a < b
Demostrar con Lean4 que si \(f\) es monótona y \(f(a) < f(b)\), entonces \(a < b\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f : ℝ → ℝ) variable (a b : ℝ) example (h1 : Monotone f) (h2 : f a < f b) : a < b := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Usaremos los lemas
\begin{align}
&a ≱ b → a < b \tag{L1} \\
&a ≥ b → a ≮ b \tag{L2}
\end{align}
Por el lema L1, basta demostrar que \(a ≱ b\). Lo haremos reducción al absurdo. Para ello, supongamos que \(a ≥ b\). Como \(f\) es monótona, se tiene \(f(a) ≥ f(b)\) y, aplicando el lema L2, \(f(a) ≮ f(b)\), que contradice a la hipótesis.
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f : ℝ → ℝ) variable (a b : ℝ) -- 1ª demostración -- =============== example (h1 : Monotone f) (h2 : f a < f b) : a < b := by apply lt_of_not_ge -- ⊢ ¬a ≥ b intro h3 -- h3 : a ≥ b -- ⊢ False have h4 : f a ≥ f b := h1 h3 have h5 : ¬ f a < f b := not_lt_of_ge h4 exact h5 h2 -- 2ª demostración -- =============== example (h1 : Monotone f) (h2 : f a < f b) : a < b := by apply lt_of_not_ge -- ⊢ ¬a ≥ b intro h3 -- h3 : a ≥ b -- ⊢ False have h5 : ¬ f a < f b := not_lt_of_ge (h1 h3) exact h5 h2 -- 3ª demostración -- =============== example (h1 : Monotone f) (h2 : f a < f b) : a < b := by apply lt_of_not_ge -- ⊢ ¬a ≥ b intro h3 -- h3 : a ≥ b -- ⊢ False exact (not_lt_of_ge (h1 h3)) h2 -- 4ª demostración -- =============== example (h1 : Monotone f) (h2 : f a < f b) : a < b := by apply lt_of_not_ge -- ⊢ ¬a ≥ b exact fun h3 ↦ (not_lt_of_ge (h1 h3)) h2 -- 5ª demostración -- =============== example (h1 : Monotone f) (h2 : f a < f b) : a < b := lt_of_not_ge (fun h3 ↦ (not_lt_of_ge (h1 h3)) h2) -- Lemas usados -- ============ -- #check (lt_of_not_ge : ¬ a ≥ b → a < b) -- #check (not_lt_of_ge : a ≥ b → ¬ a < b) |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 32.
