Si f es par y g es impar, entonces (f ∘ g) es par
Demostrar con Lean4 que si \(f\) es par y \(g\) es impar, entonces \(f ∘ g\) es par.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f g : ℝ → ℝ) -- (esPar f) expresa que f es par. def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) -- (esImpar f) expresa que f es impar. def esImpar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = - f (-x) example (h1 : esPar f) (h2 : esImpar g) : esPar (f ∘ g) := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Supongamos que \(f\) es una función par y \(g\) lo es impar. Tenemos que demostrar que \(f ∘ g\) es par; es decir, que
\[ (∀ x ∈ ℝ) (f ∘ g)(x) = (f ∘ g)(-x) \]
Sea \(x ∈ ℝ\). Entonces,
\begin{align}
(f ∘ g)(x) &= f(g(x)) \\
&= f(-g(-x)) &&\text{[porque \(g\) es impar]} \\
&= f(g(-x)) &&\text{[porque \(f\) es par]} \\
&= (f ∘ g)(-x)
\end{align}
Demostraciones con Lean4
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 |
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f g : ℝ → ℝ) -- (esPar f) expresa que f es par. def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) -- (esImpar f) expresa que f es impar. def esImpar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = - f (-x) -- 1ª demostración example (h1 : esPar f) (h2 : esImpar g) : esPar (f ∘ g) := by intro x calc (f ∘ g) x = f (g x) := rfl _ = f (-g (-x)) := congr_arg f (h2 x) _ = f (g (-x)) := (h1 (g (-x))).symm _ = (f ∘ g) (-x) := rfl -- 2ª demostración example (h1 : esPar f) (h2 : esImpar g) : esPar (f ∘ g) := by intro x calc (f ∘ g) x = f (g x) := rfl _ = f (-g (-x)) := by rw [h2] _ = f (g (-x)) := by rw [← h1] _ = (f ∘ g) (-x) := rfl -- 3ª demostración example (h1 : esPar f) (h2 : esImpar g) : esPar (f ∘ g) := by intro x calc (f ∘ g) x = f (g x) := rfl _ = f (g (-x)) := by rw [h2, ← h1] |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 26.
