Una curiosa propiedad del 123 en Haskell
Esta semana se ha publicado en Gaussianos el artículo Una curiosa propiedad del 123. A partir de dicho artículo he elaborado la siguiente relación de ejercicios de Haskell para la asignatura de Informática de 1º del Grado en Matemáticas.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- cifras :: Integer -> [Int] -- tal que (cifras n) es la lista de las cifras del número n. Por -- ejemplo, -- cifras 325352 == [3,2,5,3,5,2] -- --------------------------------------------------------------------- cifras :: Integer -> [Int] cifras n = [read [d] | d <- show n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- siguiente :: Integer -> Integer -- tal que (siguiente n) es el número obtenido a partir de n colocando -- primero la cantidad de cifras pares de n, después la cantidad de -- cifras impares de n y después la cantidad total de cifras de n. Por -- ejemplo, -- siguiente 863113 == 246 -- siguiente 246 == 303 -- siguiente 303 == 123 -- siguiente 123 == 123 -- --------------------------------------------------------------------- siguiente :: Integer -> Integer siguiente x = 100*p + 10*(n-p) + n where cs = cifras x n = genericLength cs p = genericLength [c | c <- cs, even c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- esFijo :: Integer -> Bool -- tal que (esFijo n) se verifica si n es un punto fijo; es decir, si n -- es igual que (siguiente n). Por ejemplo, -- esFijo 123 == True -- esFijo 303 == False -- --------------------------------------------------------------------- esFijo :: Integer -> Bool esFijo n = n == siguiente n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- puntoFijo :: Integer -> Integer -- tal que (puntoFijo n) es el primer punto fijo al que se llega a -- partir de n aplicando la función siguiente. Por ejemplo, -- puntoFijo 863113 == 123 -- ya que, aplicando siguiente, se tiene la siguiente sucesión -- 863113 -> 246 -> 303 -> 123 -- y 123 es un punto fijo. -- --------------------------------------------------------------------- puntoFijo :: Integer -> Integer puntoFijo n | esFijo n = n | otherwise = puntoFijo (siguiente n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Calcular el punto fijo de los 15 primeros números -- naturales. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [puntoFijo n | n <- [0..14]] -- [123,123,123,123,123,123,123,123,123,123,123,123,123,123,123] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. A partir del cálculo anterior, conjeturar el valor de -- (puntoFijo n) y verificarlo con QuickCheck. -- --------------------------------------------------------------------- -- La conjetura es que para todo número natural n, el valor de -- (puntoFijo n) es 123. Su expresión es prop_puntoFijo :: Integer -> Property prop_puntoFijo n = n >= 0 ==> puntoFijo n == 123 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_puntoFijo -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- pasos :: Integer -> [Integer] -- tal que (pasos n) es una lista de números tal que el primero es n, el -- 2º es el siguiente del 1º, el 3º es el siguiente de 2º y así -- sucesivamente hasta que se llega a un punto fijo. Por ejemplo, -- pasos 863113 == [863113,246,303,123] -- --------------------------------------------------------------------- pasos :: Integer -> [Integer] pasos n | esFijo n = [n] | otherwise = n : pasos (siguiente n) -- Otra definición equivalente es pasos' :: Integer -> [Integer] pasos' n = takeWhile (/=123) (iterate siguiente n) ++ [123] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- nPasos :: Integer -> Integer -- tal que (pasos n) es el número de veces que hay que aplicar el -- siguiente, a partir de n, para llegar a un punto fijo. Por ejemplo, -- nPasos 863113 == 3 -- --------------------------------------------------------------------- -- Usando la función pasos nPasos :: Integer -> Integer nPasos n = genericLength (pasos n) - 1 -- Sin usar pasos nPasos' :: Integer -> Integer nPasos' n | esFijo n = 0 | otherwise = 1 + nPasos' (siguiente n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Comprobar, con QuickCheck, que para todo número -- natural n, (nPasos n) es menor que 6. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_nPasos :: Integer -> Property prop_nPasos n = n >= 0 ==> nPasos n < 6 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_nPasos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Demostrar, por evaluación, que para todos los naturales -- n hasta 999 se tiene que (nPasos n) < 6. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_nPasos1 :: Bool prop_nPasos1 = and [nPasos n < 6 | n <- [0..999]] -- La comprobación es -- ghci> prop_nPasos1 -- True -- Otra forma de demostrarlo es mediante la siguiente tabla, donde la 1ª -- columna indica el número de cifras, la 2ª el número de cifras pares, -- la 3ª el número de cifras impares, la 4ª la lista de los pasos y la -- 5ª el número de Pasos: -- cifras | pares | impares | pasos | nPasos -- 1 | 0 | 1 | [n,11,22,202,303,123] | 5 -- | 1 | 0 | [n,101,123] | 3 -- 2 | 0 | 2 | [n,22,202,303,123] | 4 -- | 1 | 1 | [n,112,123] | 3 -- | 2 | 0 | [n,202,303,123] | 3 -- 3 | 0 | 3 | [n,33,22,202,303,123] | 5 -- | 1 | 2 | [n,123] | 1 * -- | 2 | 1 | [n,213,123] | 2 -- | 3 | 0 | [n,303,123] | 2 -- La excepción * es para el 123 ya que (pasos 123) = [1,2,3] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir las funciones -- unidades :: Integer -> Integer -- decenas :: Integer -> Integer -- centenas :: Integer -> Integer -- tales que -- * (unidades x) es la cifra de las unidades de x, -- * (decenas x) es la cifra de las decenas de x, -- * (centenas x) es la cifra de las centenas de x, -- Por ejemplo, -- unidades 1234 == 4 -- decenas 1234 == 3 -- centenas 1234 == 2 -- unidades 34 == 4 -- decenas 34 == 3 -- centenas 34 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- unidades :: Integer -> Integer unidades x = mod x 10 decenas :: Integer -> Integer decenas x = mod (div x 10) 10 centenas :: Integer -> Integer centenas x = mod (div x 100) 10 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- esSiguiente :: Integer -> Bool -- tal que (esSiguiente n) se verifica si existe un x tal que n es el -- siguiente de x. Por ejemplo, -- esSiguiente 134 == True -- esSiguiente 124 == False -- esSiguiente 33 == True -- esSiguiente 34 == False -- --------------------------------------------------------------------- esSiguiente :: Integer -> Bool esSiguiente n = unidades n == decenas n + centenas n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- listaAnumero :: [Integer] -> Integer -- tal que (listaAnumero xs) es el número correspondiente a la lista de -- cifras xs. Por ejemplo, -- listaAnumero [3,0,5] == 305 -- --------------------------------------------------------------------- listaAnumero :: [Integer] -> Integer listaAnumero xs = aux (reverse xs) where aux [x] = x aux (x:xs) = x + 10 * (aux xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- anterior :: Integer -> Integer -- tal que (anterior n) es un número x tal que el siguiente de x -- es n. Por ejemplo, -- anterior 235 == 11122 -- anterior 44 == 1111 -- --------------------------------------------------------------------- anterior :: Integer -> Integer anterior n = listaAnumero ((replicate y 1) ++ (replicate x 2)) where x = fromIntegral (centenas n) y = fromIntegral (decenas n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Comprobar, con QuickCheck, que para todo número -- natural n, -- siguiente (anterior x) == x -- donde x es el siguiente de n. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad prop_anterior :: Integer -> Property prop_anterior n = n >= 0 ==> siguiente (anterior x) == x where x = siguiente n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_anterior -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Demostrar, por evaluación, que para todo número -- natural n menor que 100, si (nPasos n) es 5 entonces no existe ningún -- x tal que n es el siguiente de x. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_largos :: Bool prop_largos = null [n | n <- [0..999], nPasos n == 5, esSiguiente n] -- La comprobación es -- ghci> prop_largos -- True -- Nota. Como consecuencia de los ejercicios 10 y 16 se tiene que para -- todo número natural n, (nPasos n) es menor que 6. |