I1M2012: Ejercicios de evaluación perezosa y listas infinitas
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentando las soluciones de los ejercicios de evaluación perezosa y listas infinitas de las relaciones 16 y 17.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación. Los de la relación 16 son
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir, por recursión, la función -- repite :: a -> [a] -- tal que (repite x) es la lista infinita cuyos elementos son x. Por -- ejemplo, -- repite 5 == [5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,... -- take 3 (repite 5) == [5,5,5] -- Nota: La función repite es equivalente a la función repeat definida -- en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- repite :: a -> [a] repite x = x : repite x -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir, por comprensión, la función -- repiteC :: a -> [a] -- tal que (repiteC x) es la lista infinita cuyos elementos son x. Por -- ejemplo, -- repiteC 5 == [5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,... -- take 3 (repiteC 5) == [5,5,5] -- Nota: La función repiteC es equivalente a la función repeat definida -- en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- repiteC :: a -> [a] repiteC x = [x | _ <- [1..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Definir, por recursión, la función -- repiteFinita :: Int-> a -> [a] -- tal que (repiteFinita n x) es la lista con n elementos iguales a -- x. Por ejemplo, -- repiteFinita 3 5 == [5,5,5] -- Nota: La función repiteFinita es equivalente a la función replicate -- definida en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- repiteFinita :: Int -> a -> [a] repiteFinita 0 x = [] repiteFinita n x = x : repiteFinita (n-1) x -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Definir, por comprensión, la función -- repiteFinitaC :: Int-> a -> [a] -- tal que (repiteFinitaC n x) es la lista con n elementos iguales a -- x. Por ejemplo, -- repiteFinitaC 3 5 == [5,5,5] -- Nota: La función repiteFinitaC es equivalente a la función replicate -- definida en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- repiteFinitaC :: Int -> a -> [a] repiteFinitaC n x = [x | _ <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.3. Definir, usando repite, la función -- repiteFinita' :: Int-> a -> [a] -- tal que (repiteFinita' n x) es la lista con n elementos iguales a -- x. Por ejemplo, -- repiteFinita' 3 5 == [5,5,5] -- Nota: La función repiteFinita' es equivalente a la función replicate -- definida en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- repiteFinita' :: Int -> a -> [a] repiteFinita' n x = take n (repite x) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir, por comprensión, la función -- ecoC :: String -> String -- tal que (ecoC xs) es la cadena obtenida a partir de la cadena xs -- repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición: el -- primer elemento se repite 1 vez, el segundo 2 veces y así -- sucesivamente. Por ejemplo, -- ecoC "abcd" == "abbcccdddd" -- --------------------------------------------------------------------- ecoC :: String -> String ecoC xs = concat [replicate i x | (i,x) <- zip [1..] xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Definir, por recursión, la función -- ecoR :: String -> String -- tal que (ecoR xs) es la cadena obtenida a partir de la cadena xs -- repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición: el -- primer elemento se repite 1 vez, el segundo 2 veces y así -- sucesivamente. Por ejemplo, -- ecoR "abcd" == "abbcccdddd" -- --------------------------------------------------------------------- ecoR :: String -> String ecoR xs = aux 1 xs where aux n [] = [] aux n (x:xs) = replicate n x ++ aux (n+1) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir, usando takeWhile y map, la función -- potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int] -- tal que (potenciasMenores x y) es la lista de las potencias de x -- menores que y. Por ejemplo, -- potenciasMenores 2 1000 == [2,4,8,16,32,64,128,256,512] -- --------------------------------------------------------------------- potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int] potenciasMenores x y = takeWhile (<y) (map (x^) [1..]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. (Problema 303 del proyecto Euler) Definir la función -- multiplosRestringidos :: Int -> (Int -> Bool) -> [Int] -- tal que (multiplosRestringidos n x) es la lista de los múltiplos de n -- tales que todas sus dígitos verifican la propiedad p. Por ejemplo, -- take 4 (multiplosRestringidos 5 (<=3)) == [10,20,30,100] -- take 5 (multiplosRestringidos 3 (<=4)) == [3,12,21,24,30] -- take 5 (multiplosRestringidos 3 even) == [6,24,42,48,60] -- --------------------------------------------------------------------- multiplosRestringidos :: Int -> (Int -> Bool) -> [Int] multiplosRestringidos n p = [y | y <- [n,2*n..], all p (digitos y)] -- (digitos n) es la lista de las dígitos de n, Por ejemplo, -- digitos 327 == [3,2,7] digitos :: Int -> [Int] digitos n = [read [x] | x <- show n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir, por recursión, la función -- itera :: (a -> a) -> a -> [a] -- tal que (itera f x) es la lista cuyo primer elemento es x y los -- siguientes elementos se calculan aplicando la función f al elemento -- anterior. Por ejemplo, -- ghci> itera (+1) 3 -- [3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,{Interrupted!} -- ghci> itera (*2) 1 -- [1,2,4,8,16,32,64,{Interrupted!} -- ghci> itera (`div` 10) 1972 -- [1972,197,19,1,0,0,0,0,0,0,{Interrupted!} -- Nota: La función repite es equivalente a la función iterate definida -- en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- itera :: (a -> a) -> a -> [a] itera f x = x : itera f (f x) -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.1. Definir, por recursión, la función -- agrupa :: Int -> [a] -> [[a]] -- tal que (agrupa n xs) es la lista formada por listas de n elementos -- conscutivos de la lista xs (salvo posiblemente la última que puede -- tener menos de n elementos). Por ejemplo, -- ghci> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7] -- [[3,1],[5,8],[2,7]] -- ghci> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7,9] -- [[3,1],[5,8],[2,7],[9]] -- ghci> agrupa 5 "todo necio confunde valor y precio" -- ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"] -- ---------------------------------------------------------------------------- agrupa :: Int -> [a] -> [[a]] agrupa n [] = [] agrupa n xs = take n xs : agrupa n (drop n xs) -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.2. Definir, de manera no recursiva, la función -- agrupa' :: Int -> [a] -> [[a]] -- tal que (agrupa' n xs) es la lista formada por listas de n elementos -- conscutivos de la lista xs (salvo posiblemente la última que puede -- tener menos de n elementos). Por ejemplo, -- ghci> agrupa' 2 [3,1,5,8,2,7] -- [[3,1],[5,8],[2,7]] -- ghci> agrupa' 2 [3,1,5,8,2,7,9] -- [[3,1],[5,8],[2,7],[9]] -- ghci> agrupa' 5 "todo necio confunde valor y precio" -- ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"] -- ---------------------------------------------------------------------------- agrupa' :: Int -> [a] -> [[a]] agrupa' n = takeWhile (not . null) . map (take n) . iterate (drop n) -- Puede verse su funcionamiento en el siguiente ejemplo, -- iterate (drop 2) [5..10] -- ==> [[5,6,7,8,9,10],[7,8,9,10],[9,10],[],[],... -- map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10]) -- ==> [[5,6],[7,8],[9,10],[],[],[],[],... -- takeWhile (not . null) (map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10])) -- ==> [[5,6],[7,8],[9,10]] -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.3. Definir, y comprobar, con QuickCheck las dos propiedades -- que caracterizan a la función agrupa: -- * todos los grupos tienen que tener la longitud determinada (salvo el -- último que puede tener una longitud menor) y -- * combinando todos los grupos se obtiene la lista inicial. -- ---------------------------------------------------------------------------- -- La primera propiedad es prop_AgrupaLongitud :: Int -> [Int] -> Property prop_AgrupaLongitud n xs = n > 0 && not (null gs) ==> and [length g == n | g <- init gs] && 0 < length (last gs) && length (last gs) <= n where gs = agrupa n xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_AgrupaLongitud -- OK, passed 100 tests. -- La segunda propiedad es prop_AgrupaCombina :: Int -> [Int] -> Property prop_AgrupaCombina n xs = n > 0 ==> concat (agrupa n xs) == xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_AgrupaCombina -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.1. Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier -- número entero positivo: -- * Si el número es par, se divide entre 2. -- * Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1. -- Dado un número cualquiera, podemos considerar su órbita, es decir, -- las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, la órbita -- de 13 es -- 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,... -- Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir, -- se repite indefinidamente a partir de un momento dado). La conjetura -- de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número -- con el que comencemos. Ejemplos: -- * Empezando en n = 6 se obtiene 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. -- * Empezando en n = 11 se obtiene: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, -- 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. -- * Empezando en n = 27, la sucesión tiene 112 pasos, llegando hasta -- 9232 antes de descender a 1: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, -- 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, -- 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, -- 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, -- 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, -- 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, -- 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, -- 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, -- 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, -- 16, 8, 4, 2, 1. -- -- Definir la función -- siguiente :: Integer -> Integer -- tal que (siguiente n) es el siguiente de n en la sucesión de -- Collatz. Por ejemplo, -- siguiente 13 == 40 -- siguiente 40 == 20 -- --------------------------------------------------------------------- siguiente n | even n = n `div` 2 | otherwise = 3*n+1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.2. Definir, por recursión, la función -- collatz :: Integer -> [Integer] -- tal que (collatz n) es la órbita de Collatz de n hasta alcanzar el -- 1. Por ejemplo, -- collatz 13 == [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1] -- --------------------------------------------------------------------- collatz :: Integer -> [Integer] collatz 1 = [1] collatz n = n : collatz (siguiente n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.3. Definir, sin recursión, la función -- collatz' :: Integer -> [Integer] -- tal que (collatz' n) es la órbita de Collatz d n hasta alcanzar el -- 1. Por ejemplo, -- collatz' 13 == [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1] -- Indicación: Usar takeWhile e iterate. -- --------------------------------------------------------------------- collatz' :: Integer -> [Integer] collatz' n = (takeWhile (/=1) (iterate siguiente n)) ++ [1] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.4. Definir la función -- menorCollatzMayor :: Int -> Integer -- tal que (menorCollatzMayor x) es el menor número cuya órbita de -- Collatz tiene más de x elementos. Por ejemplo, -- menorCollatzMayor 100 == 27 -- --------------------------------------------------------------------- menorCollatzMayor :: Int -> Integer menorCollatzMayor x = head [y | y <- [1..], length (collatz y) > x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.5. Definir la función -- menorCollatzSupera :: Integer -> Integer -- tal que (menorCollatzSupera x) es el menor número cuya órbita de -- Collatz tiene algún elemento mayor que x. Por ejemplo, -- menorCollatzSupera 100 == 15 -- --------------------------------------------------------------------- menorCollatzSupera :: Integer -> Integer menorCollatzSupera x = head [y | y <- [1..], maximum (collatz y) > x] -- Otra definición alternativa es menorCollatzSupera' :: Integer -> Integer menorCollatzSupera' x = head [n | n <- [1..], t <- collatz' n, t > x] |
y los de la relación 17 son
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir, usando la criba de Eratóstenes, la constante -- primos :: Integral a => [a] -- cuyo valor es la lista de los números primos. Por ejemplo, -- take 10 primos == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29] -- --------------------------------------------------------------------- primos :: Integral a => [a] primos = criba [2..] where criba [] = [] criba (n:ns) = n : criba (elimina n ns) elimina n xs = [x | x <- xs, x `mod` n /= 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir la función -- primo :: Integral a => a -> Bool -- tal que (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo, -- primo 7 == True -- primo 9 == False -- --------------------------------------------------------------------- primo :: Int -> Bool primo n = head (dropWhile (<n) primos) == n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- sumaDeDosPrimos :: Int -> [(Int,Int)] -- tal que (sumaDeDosPrimos n) es la lista de las distintas -- descomposiciones de n como suma de dos números primos. Por ejemplo, -- sumaDeDosPrimos 30 == [(7,23),(11,19),(13,17)] -- Calcular, usando la función sumaDeDosPrimos, el menor número que -- puede escribirse de 10 formas distintas como suma de dos primos. -- --------------------------------------------------------------------- sumaDeDosPrimos :: Int -> [(Int,Int)] sumaDeDosPrimos n = [(x,n-x) | x <- primosN, x < n-x, elem (n-x) primosN] where primosN = takeWhile (<=n) primos -- El cálculo es -- ghci> head [x | x <- [1..], length (sumaDeDosPrimos x) == 10] -- 114 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- esProductoDeDosPrimos :: Int -> Bool -- tal que (esProductoDeDosPrimos n) se verifica si n es el producto de -- dos primos distintos. Por ejemplo, -- esProductoDeDosPrimos 6 == True -- esProductoDeDosPrimos 9 == False -- --------------------------------------------------------------------- esProductoDeDosPrimos :: Int -> Bool esProductoDeDosPrimos n = [x | x <- primosN, mod n x == 0, div n x /= x, elem (div n x) primosN] /= [] where primosN = takeWhile (<=n) primos -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. [Problema 37 del proyecto Euler] Un número primo es -- truncable si los números que se obtienen eliminado cifras, de derecha -- a izquierda, son primos. Por ejemplo, 599 es un primo truncable -- porque 599, 59 y 5 son primos; en cambio, 577 es un primo no -- truncable porque 57 no es primo. -- -- Definir la función -- primoTruncable :: Int -> Bool -- tal que (primoTruncable x) se verifica si x es un primo -- truncable. Por ejemplo, -- primoTruncable 599 == True -- primoTruncable 577 == False -- --------------------------------------------------------------------- primoTruncable :: Int -> Bool primoTruncable x | x < 10 = primo x | otherwise = primo x && primoTruncable (x `div` 10) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Definir la función -- sumaPrimosTruncables :: Int -> Int -- tal que (sumaPrimosTruncables n) es la suma de los n primeros primos -- truncables. Por ejemplo, -- sumaPrimosTruncables 10 == 249 -- Calcular la suma de los 20 primos truncables. -- --------------------------------------------------------------------- sumaPrimosTruncables :: Int -> Int sumaPrimosTruncables n = sum (take n [x | x <- primos, primoTruncable x]) -- El cálculo es -- ghci> sumaPrimosTruncables 20 -- 2551 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir la función -- intercala :: a -> [a] -> [[a]] -- tal que (intercala x ys) es la lista de las listas obtenidas -- intercalando x entre los elementos de ys. Por ejemplo, -- intercala 1 [2,3] == [[1,2,3],[2,1,3],[2,3,1]] -- --------------------------------------------------------------------- intercala :: a -> [a] -> [[a]] intercala x [] = [[x]] intercala x (y:ys) = (x:y:ys) : [y:zs | zs <- intercala x ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir la función -- permutaciones :: [a] -> [[a]] -- tal que (permutaciones xs) es la lista de las permutaciones de la -- lista xs. Por ejemplo, -- permutaciones "bc" == ["bc","cb"] -- permutaciones "abc" == ["abc","bac","bca","acb","cab","cba"] -- --------------------------------------------------------------------- permutaciones :: [a] -> [[a]] permutaciones [] = [[]] permutaciones (x:xs) = concat [intercala x ys | ys <- permutaciones xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Definir la función -- permutacionesN :: Integer -> [Integer] -- tal que (permutacionesN x) es la lista de los números obtenidos -- permutando las cifras de x. Por ejemplo, -- permutacionesN 352 == [352,532,523,325,235,253] -- --------------------------------------------------------------------- permutacionesN :: Int -> [Int] permutacionesN x = [read ys | ys <- permutaciones (show x)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.4. Un primo permutable es un número primo tal que todos -- los números obtenidos permutando sus cifras son primos. Por ejemplo, -- 337 es un primo permutable ya que 337, 373 y 733 son primos. -- -- Definir la función -- primoPermutable :: Integer -> Bool -- tal que (primoPermutable x) se verifica si x es un primo -- permutable. Por ejemplo, -- primoPermutable 17 == True -- primoPermutable 19 == False -- --------------------------------------------------------------------- primoPermutable :: Int -> Bool primoPermutable x = and [primo y | y <- permutacionesN x] |