“Sorpresa sumando potencias de 2” en Haskell
Recientemente, se publicó en Gaussianos el artículo Sorpresa sumando potencias de 2 en el que se comentaba cómo, a partir de las representaciones de los números naturales como sumas de potencias de 2 se puede obtener una enumeración de los racionales. También se comentaba la equivalencia de la numeración anterior con el recorrido en anchura del árbol de Calkin-Wilf.
A partir de dicho artículo y sus fuentes (el artículo de Neil Calkin y Herbert S. Wilf Recounting the rationals y el artículo de la wikipedia Calkin-Wilf tree), he elaborado la siguiente relación de ejercicios de Haskell para la asignatura de Informática de 1º del Grado en Matemáticas.
En la relación se incluye tanto la construcción de las dos enumeraciones en Haskell como la verificación de sus propiedades con QuickCheck. Finalmente, se incluye el cálculo del número de las representaciones hiperbinarias mediante la función “fucs”.
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import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Numeración de los racionales mediante representaciones hiperbinarias -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la constante -- potenciasDeDos :: [Integer] -- tal que potenciasDeDos es la lista de las potencias de 2. Por -- ejemplo, -- take 10 potenciasDeDos == [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512] -- --------------------------------------------------------------------- potenciasDeDos :: [Integer] potenciasDeDos = [2^n | n <- [0..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- empiezaConDos x (y1:y2:ys) = y1 == x && y2 == x -- tal que (empiezaConDos x ys) se verifica si los dos primeros -- elementos de ys son iguales a x. Por ejemplo, -- empiezaConDos 5 [5,5,3,7] == True -- empiezaConDos 5 [5,3,5,7] == False -- empiezaConDos 5 [5,5,5,7] == True -- --------------------------------------------------------------------- empiezaConDos x (y1:y2:ys) = y1 == x && y2 == x empiezaConDos x _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- representacionesHB :: Integer -> [[Integer]] -- tal que (representacionesHB n) es la lista de las representaciones -- hiperbinarias del número n como suma de potencias de 2 donde cada -- sumando aparece como máximo 2 veces. Por ejemplo -- representacionesHB 5 == [[1,2,2],[1,4]] -- representacionesHB 6 == [[1,1,2,2],[1,1,4],[2,4]] -- --------------------------------------------------------------------- representacionesHB :: Integer -> [[Integer]] representacionesHB n = representacionesHB' n potenciasDeDos representacionesHB' n (x:xs) | n == 0 = [[]] | x == n = [[x]] | x < n = [x:ys | ys <- representacionesHB' (n-x) (x:xs), not (empiezaConDos x ys)] ++ representacionesHB' n xs | otherwise = [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- nRepresentacionesHB :: Integer -> Integer -- tal que (nRepresentacionesHB n) es el número de las representaciones -- hiperbinarias del número n como suma de potencias de 2 donde cada -- sumando aparece como máximo 2 veces. Por ejemplo, -- ghci> [nRepresentacionesHB n | n <- [0..20]] -- [1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2,5,3,4,1,5,4,7,3,8] -- --------------------------------------------------------------------- nRepresentacionesHB :: Integer -> Integer nRepresentacionesHB = genericLength . representacionesHB -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- termino :: Integer -> (Integer,Integer) -- tal que (termino n) es el par formado por el número de -- representaciones hiperbinarias de n y de n+1 (que se interpreta como -- su cociente). Por ejemplo, -- termino 4 == (3,2) -- --------------------------------------------------------------------- termino :: Integer -> (Integer,Integer) termino n = (nRepresentacionesHB n, nRepresentacionesHB (n+1)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- sucesionHB :: [(Integer,Integer)] -- sucesionHB es la la sucesión cuyo témino n-ésimo es (termino n); es -- decir, el par formado por el número de representaciones hiperbinarias -- de n y de n+1. Por ejemplo, -- ghci> take 10 sucesionHB -- [(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,2),(2,3),(3,1),(1,4),(4,3),(3,5)] -- --------------------------------------------------------------------- sucesionHB :: [(Integer,Integer)] sucesionHB = [termino n | n <- [0..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Comprobar con QuickCheck que, para todo n, -- (nRepresentacionesHB n) y (nRepresentacionesHB (n+1)) son primos -- entre sí. -- --------------------------------------------------------------------- prop_irreducibles :: Integer -> Property prop_irreducibles n = n >= 0 ==> gcd (nRepresentacionesHB n) (nRepresentacionesHB (n+1)) == 1 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_irreducibles -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de la -- sucesionHB son distintos. -- --------------------------------------------------------------------- prop_distintos :: Integer -> Integer -> Bool prop_distintos n m = termino n' /= termino m' where n' = abs n m' = n' + abs m + 1 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_distintos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- contenido :: Integer -> Integer -> Bool -- tal que (contenido n) se verifica si la expresiones reducidas de -- todas las fracciones x/y, con x e y entre 1 y n, pertenecen a la -- sucesionHB. Por ejemplo, -- contenidos 5 == True -- --------------------------------------------------------------------- contenido :: Integer -> Bool contenido n = and [pertenece (reducida (x,y)) sucesionHB | x <- [1..n], y <- [1..n]] where pertenece x (y:ys) = x == y || pertenece x ys reducida (x,y) = (x `div` z, y `div` z) where z = gcd x y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- indice :: (Integer,Integer) -> Integer -- tal que (indice (a,b)) es el índice del par (a,b) en la sucesión de -- los racionales. Por ejemplo, -- indice (3,2) == 4 -- --------------------------------------------------------------------- indice :: (Integer,Integer) -> Integer indice (a,b) = head [n | (n,(x,y)) <- zip [0..] sucesionHB, (x,y) == (a,b)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Numeraciones mediante árboles de Calkin-Wilf -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El árbol de Calkin-Wilf es el árbol definido por las siguientes -- reglas: -- * El nodo raíz es el (1,1) -- * Los hijos del nodo (x,y) son (x,x+y) y (x+y,y) -- Por ejemplo, los 4 primeros niveles del árbol de Calkin-Wilf son -- (1,1) -- | -- +-----------+-----------+ -- | | -- (1,2) (2,1) -- | | -- +-----+-----+ +-----+-----+ -- | | | | -- (1,3) (3,2) (2,3) (3,1) -- | | | | -- +--+--+ +--+--+ +--+--+ +--+--+ -- | | | | | | | | -- (1,4) (4,3) (3,5) (5,2) (2,5) (5,3) (3,4) (4,1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- sucesores :: (Integer,Integer) -> [(Integer,Integer)] -- tal que (sucesores (x,y)) es la lista de los hijos del par (x,y) en -- el árbol de Calkin-Wilf. Por ejemplo, -- sucesores (3,2) == [(3,5),(5,2)] -- --------------------------------------------------------------------- sucesores :: (Integer,Integer) -> [(Integer,Integer)] sucesores (x,y) = [(x,x+y),(x+y,y)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- siguiente :: [(Integer,Integer)] -> [(Integer,Integer)] -- tal que (siguiente xs) es la lista formada por los hijos de los -- elementos de xs en el árbol de Calkin-Wilf. Por ejemplo, -- ghci> siguiente [(1,3),(3,2),(2,3),(3,1)] -- [(1,4),(4,3),(3,5),(5,2),(2,5),(5,3),(3,4),(4,1)] -- --------------------------------------------------------------------- siguiente :: [(Integer,Integer)] -> [(Integer,Integer)] siguiente xs = [p | x <- xs, p <- sucesores x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la constante -- nivelesCalkinWilf:: [[(Integer,Integer)]] -- tal que nivelesCalkinWilf es la lista de los niveles del árbol de -- Calkin-Wilf. Por ejemplo, -- ghci> take 4 nivelesCalkinWilf -- [[(1,1)], -- [(1,2),(2,1)], -- [(1,3),(3,2),(2,3),(3,1)], -- [(1,4),(4,3),(3,5),(5,2),(2,5),(5,3),(3,4),(4,1)]] nivelesCalkinWilf:: [[(Integer,Integer)]] nivelesCalkinWilf = iterate siguiente [(1,1)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la constante -- sucesionCalkinWilf :: [(Integer,Integer)] -- tal que sucesionCalkinWilf es la lista correspondiente al recorrido -- en anchura del árbol de Calkin-Wilf. Por ejemplo, -- ghci> take 10 sucesionCalkinWilf -- [(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,2),(2,3),(3,1),(1,4),(4,3),(3,5)] -- --------------------------------------------------------------------- sucesionCalkinWilf :: [(Integer,Integer)] sucesionCalkinWilf = concat nivelesCalkinWilf -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir la función -- igual_sucesion_HB_CalkinWilf :: Int -> Bool -- tal que (igual_sucesion_HB_CalkinWilf n) se verifica si los n -- primeros términos de la sucesión HB son iguales que los de la -- sucesión de Calkin-Wilf. Por ejemplo, -- igual_sucesion_HB_CalkinWilf 20 == True -- --------------------------------------------------------------------- igual_sucesion_HB_CalkinWilf :: Int -> Bool igual_sucesion_HB_CalkinWilf n = take n sucesionCalkinWilf == take n sucesionHB -- --------------------------------------------------------------------- -- Número de representaciones hiperbinarias mediante la función fusc -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- fusc :: Integer -> Integer -- tal que -- fusc(0) = 1 -- fusc(2n+1) = fusc(n) -- fusc(2n+2) = fusc(n+1)+fusc(n) -- Por ejemplo, -- fusc 4 == 3 -- --------------------------------------------------------------------- fusc :: Integer -> Integer fusc 0 = 1 fusc n | odd n = fusc ((n-1) `div` 2) | otherwise = fusc(m+1) + fusc m where m = (n-2) `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Comprobar con QuickCheck que, para todo n, (fusc n) es -- el número de las representaciones hiperbinarias del número n como -- suma de potencias de 2 donde cada sumando aparece como máximo 2 -- veces; es decir, que las funciones fusc y nRepresentacionesHB son -- equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- prop_fusc :: Integer -> Bool prop_fusc n = nRepresentacionesHB n' == fusc n' where n' = abs n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_fusc -- +++ OK, passed 100 tests. |