Reseña: Implementation of Bourbaki’s Elements of Mathematics in Coq: Part One, Theory of Sets
Una de las tareas del razonamiento formalizado consiste en la formalización de textos matemáticos. Un ejemplo es el artículo Implementation of Bourbaki’s Elements of Mathematics in Coq: Part One, Theory of Sets.
El autor del artículo es José Grimm (del INRIA Sophia-Antipolis Méditerranée) y se ha publicado en el Journal of Formalized Reasoning.
El trabajo se enmarca en el proyecto GAIA (Geometry, Algebra, Informatics and Applications), cuyos objetivos son la formalización de las demostraciones del la HDR (Habilitation à diriger des recherches) de A. Quadrat, de las del libro Basic Homological Algebra (de M. Scott Osborne) y la demostración de la corrección de la implementación de estos teoremas como algoritmos en el sistema OreModules.
Dentro del proyecto GAIA, el contenido del artículo es el primer paso y, esencialmente consiste en la formalización en Coq de teoremas del libro Elements of Mathematics: Theory of Sets de N. Bourbaki. La formalización se basa en la realizada por Carlos Simpson y publicada en Set-theoretical mathematics in Coq.
El resumen del artículo es el siguiente
This paper presents a formalization of the first book of the series
Elements of Mathematics” by Nicolas Bourbaki, using the Coq proof assistant.It discusses formalization of mathematics, and explains in which sense a computer proof of a statement corresponds to a proof in the Bourbaki sense, given that the Coq quantifiers are not defined in terms of Hilbert’s epsilon function. The list of axioms and axiom schemes of Bourbaki is compared to the more usual Zermelo-Fraenkel theory, and to those proposed by Carlos Simpson, which form the basis of the Gaia software. Some basic constructions (union, intersection, product, function, equivalence and order relation) are described, as well as some properties; this corresponds to Sections 1 to 6 of Chapter II, and the first two sections of Chapter III. A commented proof of Zermelo’s theorem is also given. The code (including almost all exercises) is available on the Web, under http://www-sop.inria.fr/apics/gaia.