Relación entre el número e y los números primos en Haskell

En el artículo ¿Qué tiene que ver el número e con los números primos? de Gaussianos se comenta una curiosa relación entre los números primos y el número $e$ . Dicha relación se expresa mediante la fórmula

$e = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\sqrt[p_n]{\displaystyle\prod_{i=1}^n p_i}$

donde $p_i$ es el $i$ -ésimo número primo.

A partir del artículo, he diseñado este ejercicio de Haskell para Informática (del Grado de Matemáticas).

El objetivo del ejercicio es la comprobación de la fórmula anterior.

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-- Ejercicio 1. Definir la función
--    criba :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (criba xs) es la lista formada por el primer elemento de xs y
-- los restantes elementos de xs que no son múltiplos del primero. Por
-- ejemplo, 
--    criba [2..20]  ==  [2,3,5,7,11,13,17,19]
-- ---------------------------------------------------------------------

criba :: [Integer] -> [Integer]
criba (p:xs) = p : criba [x | x <- xs, x `mod` p /= 0]
criba []     = []

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la constante
--    primos :: [Integer]
-- tal que primos es la lista de los números primos, obtenida mediante
-- la criba de Erastótenes. Por ejemplo,
--    take 10 primos == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29]
-- ---------------------------------------------------------------------

primos :: [Integer]
primos = criba [2..]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función
--    productos :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (productos xs) es la lista cuyo elemento i-ésimo es el
-- producto de los primeros i elementos de la lista xs. Por ejemplo, 
--    productos [2,5,3]  ==  [2,10,30]
-- ---------------------------------------------------------------------

productos :: [Integer] -> [Integer]
productos = scanl1 (*) 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función
--    raices :: [Integer] -> [Integer] -> [Double]
-- tal que (raices xs ys) es la lista cuyo elemento i-ésimo es la raiz
-- n-ésima (donde n es el elemento i-ésimo) de ys del elemento i-ésimo
-- de xs. Por ejemplo,
--    raices [9,16] [2,4]  ==  [3.0,2.0]
-- ---------------------------------------------------------------------

raices :: [Integer] -> [Integer] -> [Double]
raices xs ys = [raiz x y | (x,y) <- zip xs ys]
    where raiz x y = (fromIntegral x)**(1/fromIntegral y)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la constante
--    aproximaciones :: [Double]
-- tal que aproximaxiones es la lista cuyo elemento n-ésimo es la raiz x
-- de y, donde x es el primo n-ésimo e y es el producto de los n
-- primeros primos. Por ejemplo, 
--    *Main> aproximaciones !! 3º
--    2.1465727583654437
--    *Main> (2*3*5*7)**(1/7)
--    2.1465727583654437
--    *Main> take 10 aproximaciones
--    [1.4142135623730951, 1.8171205928321397, 1.97435048583482,
--     2.1465727583654437, 2.0220081756858095, 2.2101784152470247,
--     2.166531242132804,  2.331976113436929,  2.3066284202455836,
--     2.179246384231885,  2.3152002502547053, 2.2276652067865403]
-- ---------------------------------------------------------------------

aproximaciones :: [Double]
aproximaciones = raices (productos primos) primos

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Definir la función
--    diferencias :: [Double]
-- tal que diferencias es la lista de las diferencias entre el número e
-- y los elementos de aproximaciones. Por ejemplo,
--    *Main> take 9 (drop 100 diferencias)
--    [0.16791998034067301, 0.18180048551530215, 0.17842552082790863,
--     0.17507000227890757, 0.15503537816766544, 0.15187848954545435,
--     0.16517883928217003, 0.16189887057697439, 0.15863750404991395]
-- ---------------------------------------------------------------------

diferencias :: [Double]
diferencias = [e - x | x <- aproximaciones]
              where e = exp 1

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Conjeturar cuál es el límite de las aproximaciones.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Solución: El límite de las aproximaciones es el número e. 

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-- Nota. Una demostración de que el límite de las aproximaciones es el
-- número e se encuentra en el artículo "¿Qué tiene que ver el número e
-- con los números primos?" que se puede leer en
-- http://gaussianos.com/¿que-tiene-que-ver-el-numero-e-con-los-numeros-primos 
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-- Ejercicio 1. Definir la función

-- criba :: [Integer] -> [Integer]

-- tal que (criba xs) es la lista formada por el primer elemento de xs y

-- los restantes elementos de xs que no son múltiplos del primero. Por

-- ejemplo,

-- criba [2..20] == [2,3,5,7,11,13,17,19]

-- ---------------------------------------------------------------------

criba :: [Integer] -> [Integer]

criba (p:xs) = p : criba [x | x <- xs, x `mod` p /= 0]

criba [] = []

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-- Ejercicio 2. Definir la constante

-- primos :: [Integer]

-- tal que primos es la lista de los números primos, obtenida mediante

-- la criba de Erastótenes. Por ejemplo,

-- take 10 primos == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29]

-- ---------------------------------------------------------------------

primos :: [Integer]

primos = criba [2..]

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-- Ejercicio 3. Definir la función

-- productos :: [Integer] -> [Integer]

-- tal que (productos xs) es la lista cuyo elemento i-ésimo es el

-- producto de los primeros i elementos de la lista xs. Por ejemplo,

-- productos [2,5,3] == [2,10,30]

-- ---------------------------------------------------------------------

productos :: [Integer] -> [Integer]

productos = scanl1 (*)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- raices :: [Integer] -> [Integer] -> [Double]

-- tal que (raices xs ys) es la lista cuyo elemento i-ésimo es la raiz

-- n-ésima (donde n es el elemento i-ésimo) de ys del elemento i-ésimo

-- de xs. Por ejemplo,

-- raices [9,16] [2,4] == [3.0,2.0]

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raices :: [Integer] -> [Integer] -> [Double]

raices xs ys = [raiz x y | (x,y) <- zip xs ys]

where raiz x y = (fromIntegral x)**(1/fromIntegral y)

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-- Ejercicio 5. Definir la constante

-- aproximaciones :: [Double]

-- tal que aproximaxiones es la lista cuyo elemento n-ésimo es la raiz x

-- de y, donde x es el primo n-ésimo e y es el producto de los n

-- primeros primos. Por ejemplo,

-- *Main> aproximaciones !! 3º

-- 2.1465727583654437

-- *Main> (2*3*5*7)**(1/7)

-- 2.1465727583654437

-- *Main> take 10 aproximaciones

-- [1.4142135623730951, 1.8171205928321397, 1.97435048583482,

-- 2.1465727583654437, 2.0220081756858095, 2.2101784152470247,

-- 2.166531242132804, 2.331976113436929, 2.3066284202455836,

-- 2.179246384231885, 2.3152002502547053, 2.2276652067865403]

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aproximaciones :: [Double]

aproximaciones = raices (productos primos) primos

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-- Ejercicio 6. Definir la función

-- diferencias :: [Double]

-- tal que diferencias es la lista de las diferencias entre el número e

-- y los elementos de aproximaciones. Por ejemplo,

-- *Main> take 9 (drop 100 diferencias)

-- [0.16791998034067301, 0.18180048551530215, 0.17842552082790863,

-- 0.17507000227890757, 0.15503537816766544, 0.15187848954545435,

-- 0.16517883928217003, 0.16189887057697439, 0.15863750404991395]

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diferencias :: [Double]

diferencias = [e - x | x <- aproximaciones]

where e = exp 1

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-- Ejercicio 7. Conjeturar cuál es el límite de las aproximaciones.

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-- Solución: El límite de las aproximaciones es el número e.

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-- Nota. Una demostración de que el límite de las aproximaciones es el

-- número e se encuentra en el artículo "¿Qué tiene que ver el número e

-- con los números primos?" que se puede leer en

-- http://gaussianos.com/¿que-tiene-que-ver-el-numero-e-con-los-numeros-primos

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