RA2019: Verificación de la ordenación por inserción con Isabelle/HOL
En segunda parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha estudiado cómo verificar con Isabelle/HOL la corrección del algoritmo de ordenación por inserción.
La correspondiente teoría Isabelle/HOL se muestra a continuación
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chapter ‹T11: Verificación de la ordenación por inserción› theory T11_Verificacion_de_la_ordenacion_por_insercion imports Main begin text ‹En este de tema se define el algoritmo de ordenación de listas por inserción y se demuestra que es correcto.› text ‹----------------------------------------------------------------- Ejercicio 1. Definir la función inserta :: int ⇒ int list ⇒ int list tal que (inserta a xs) es la lista obtenida insertando a delante del primer elemento de xs que es mayor o igual que a. Por ejemplo, inserta 3 [2,5,1,7] = [2,3,5,1,7] ------------------------------------------------------------------› fun inserta :: "int ⇒ int list ⇒ int list" where "inserta a [] = [a]" | "inserta a (x#xs) = (if a ≤ x then a # x # xs else x # inserta a xs)" value "inserta 3 [2,5,1,7] = [2,3,5,1,7]" text ‹----------------------------------------------------------------- Ejercicio 2. Definir la función ordena :: int list ⇒ int list tal que (ordena xs) es la lista obtenida ordenando xs por inserción. Por ejemplo, ordena [3,2,5,3] = [2,3,3,5] ------------------------------------------------------------------› fun ordena :: "int list ⇒ int list" where "ordena [] = []" | "ordena (x#xs) = inserta x (ordena xs)" value "ordena [3,2,5,3] = [2,3,3,5]" text ‹----------------------------------------------------------------- Ejercicio 3. Definir la función menor :: int ⇒ int list ⇒ bool tal que (menor a xs) se verifica si a es menor o igual que todos los elementos de xs.Por ejemplo, menor 2 [3,2,5] = True menor 2 [3,0,5] = False ------------------------------------------------------------------› fun menor :: "int ⇒ int list ⇒ bool" where "menor a [] = True" | "menor a (x#xs) = (a ≤ x ∧ menor a xs)" value "menor 2 [3,2,5] = True" value "menor 2 [3,0,5] = False" text ‹----------------------------------------------------------------- Ejercicio 4. Definir la función ordenada :: int list ⇒ bool tal que (ordenada xs) se verifica si xs es una lista ordenada de manera creciente. Por ejemplo, ordenada [2,3,3,5] = True ordenada [2,4,3,5] = False ------------------------------------------------------------------› fun ordenada :: "int list ⇒ bool" where "ordenada [] = True" | "ordenada (x#xs) = (menor x xs ∧ ordenada xs)" value "ordenada [2,3,3,5] = True" value "ordenada [2,4,3,5] = False" text ‹----------------------------------------------------------------- Ejercicio 5. Demostrar que si y es una cota inferior de zs y x ≤ y, entonces x es una cota inferior de zs. ------------------------------------------------------------------› ― ‹La demostración automática es› lemma menor_menor: assumes "x ≤ y" shows "menor y zs ⟶ menor x zs" using assms by (induct zs) auto ― ‹La demostración detallada es› lemma menor_menor_2: assumes "x ≤ y" shows "menor y zs ⟶ menor x zs" proof (induct zs) show "menor y [] ⟶ menor x []" by (simp only: menor.simps(1) simp_thms(17)) next fix z zs assume HI: "menor y zs ⟶ menor x zs" show "menor y (z # zs) ⟶ menor x (z # zs)" proof (rule impI) assume sup: "menor y (z # zs)" show "menor x (z # zs)" proof (simp only: menor.simps(2)) show "x ≤ z ∧ menor x zs" proof (rule conjI) have "x ≤ y" using assms by this also have "y ≤ z" using sup by (simp only: menor.simps(2)) finally show "x ≤ z" by this next have "menor y zs" using sup by (simp only: menor.simps(2)) with HI show "menor x zs" by (rule mp) qed qed qed qed text ‹----------------------------------------------------------------- Ejercicio 6. Demostrar el siguiente teorema de corrección: x es una cota inferior de la lista obtenida insertando y en zs syss x ≤ y y x es una cota inferior de zs. ------------------------------------------------------------------› ― ‹La demostración automática es› lemma menor_inserta: "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)" by (induct zs) auto ― ‹La demostración detallada es› lemma menor_inserta_2: "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)" proof (induct zs) show "menor x (inserta y []) = (x ≤ y ∧ menor x [])" by (simp only: menor.simps(2) inserta.simps(1)) next fix z zs assume HI: "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)" show "menor x (inserta y (z#zs)) = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" proof (cases "y ≤ z") assume "y ≤ z" then have "menor x (inserta y (z#zs)) = menor x (y#z#zs)" by (simp only: inserta.simps(2) if_True) also have "… = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" by (simp only: menor.simps(2)) finally show ?thesis by this next assume "¬(y ≤ z)" then have "menor x (inserta y (z#zs)) = menor x (z # inserta y zs)" by (simp only: inserta.simps(2) if_False) also have "… = (x ≤ z ∧ menor x (inserta y zs))" by (simp only: menor.simps(2)) also have "… = (x ≤ z ∧ (x ≤ y ∧ menor x zs))" by (simp only: HI) also have "… = ((x ≤ z ∧ x ≤ y) ∧ menor x zs)" by (simp only: conj_assoc) also have "… = ((x ≤ y ∧ x ≤ z) ∧ menor x zs)" by (simp only: conj_commute) also have "… = (x ≤ y ∧ (x ≤ z ∧ menor x zs))" by (simp only: conj_assoc) also have "… = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" by (simp only: menor.simps(2)) finally show ?thesis by this qed qed text ‹----------------------------------------------------------------- Ejercicio 6. Demostrar que al insertar un elemento la lista obtenida está ordenada syss lo estaba la original. ------------------------------------------------------------------› ― ‹La demostración automática es› lemma "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs" by (induct xs) (auto simp add: menor_menor menor_inserta) ― ‹La demostración estructurada es› lemma "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs" proof (induct xs) case Nil then show ?case try by simp next case (Cons a xs) then show ?case using menor_inserta menor_menor by auto qed lemma ordenada_inserta: "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs" proof (induct xs) show "ordenada (inserta a []) = ordenada []" proof - have "ordenada (inserta a []) = ordenada [a]" by (simp only: inserta.simps(1)) also have "… = (menor a [] ∧ ordenada [])" by (simp only: ordenada.simps(2)) also have "… = (True ∧ ordenada [])" by (simp only: menor.simps(1)) also have "… = ordenada []" by (simp only: simp_thms(22)) finally show ?thesis by this qed next fix x xs assume HI: "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs" show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" proof (cases "a ≤ x") assume "a ≤ x" then show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" using menor_menor by auto next assume "¬(a ≤ x)" then have "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # inserta a xs)" by simp also have "… = (menor x (inserta a xs) ∧ ordenada (inserta a xs))" by simp also have "… = (menor x (inserta a xs) ∧ ordenada xs)" using HI by simp also have "… = (menor x xs ∧ ordenada xs)" using ‹¬(a ≤ x)› by (simp add: menor_inserta) also have "… = ordenada (x # xs)" by simp finally show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" by simp qed qed text ‹---------------------------------------------------------------- Ejercicio 7. Demostrar que, para toda lista xs, (ordena xs) está ordenada. ------------------------------------------------------------------› ― ‹La demostración automática es› theorem "ordenada (ordena xs)" by (induct xs) (auto simp add: ordenada_inserta) ― ‹La demostración estructurada es› theorem "ordenada (ordena xs)" proof (induct xs) case Nil then show ?case by simp next case (Cons a xs) then show ?case by (simp add: ordenada_inserta) qed theorem ordenada_ordena: "ordenada (ordena xs)" proof (induct xs) show "ordenada (ordena [])" by simp next fix x xs assume "ordenada (ordena xs)" then have "ordenada (inserta x (ordena xs))" by (simp add: ordenada_inserta) then show "ordenada (ordena (x # xs))" by simp qed text ‹------------------------------------------------------------------ Nota. El teorema anterior no garantiza que ordena sea correcta, ya que puede que (ordena xs) no tenga los mismos elementos que xs. Por ejemplo, si se define (ordena xs) como [] se tiene que (ordena xs) está ordenada pero no es una ordenación de xs. Para garantizarlo, definimos la función cuenta. ------------------------------------------------------------------› text ‹----------------------------------------------------------------- Ejercicio 8. Definir la función cuenta :: int list ⇒ int ⇒ nat tal que (cuenta xs y) es el número de veces que aparece el elemento y en la lista xs. Por ejemplo, cuenta [1,3,4,3,5] 3 = 2 ------------------------------------------------------------------› fun cuenta :: "int list ⇒ int ⇒ nat" where "cuenta [] y = 0" | "cuenta (x#xs) y = (if x=y then Suc (cuenta xs y) else cuenta xs y)" value "cuenta [1,3,4,3,5] 3 = 2" text ‹----------------------------------------------------------------- Ejercicio 9. Demostrar que el número de veces que aparece y en (inserta x xs) es * uno más el número de veces que aparece en xs, si y = x; * el número de veces que aparece en xs, si y ≠ x; ------------------------------------------------------------------› ― ‹La demostración automática es› lemma cuenta_inserta: "cuenta (inserta x xs) y = (if x=y then Suc (cuenta xs y) else cuenta xs y)" by (induct xs) auto text ‹----------------------------------------------------------------- Ejercicio 10. Demostrar que el número de veces que aparece y en (ordena xs) es el número de veces que aparece en xs. ------------------------------------------------------------------› ― ‹La demostración automática es› theorem "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y" by (induct xs) (auto simp add: cuenta_inserta) ― ‹La demostración estructurada es› theorem "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y" proof (induct xs) case Nil then show ?case by simp next case (Cons a xs) then show ?case by (simp add: cuenta_inserta) qed ― ‹La demostración estructurada es› theorem cuenta_ordena: "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y" proof (induct xs) show "cuenta (ordena []) y = cuenta [] y" by simp next fix x xs assume HI: "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y" show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" proof (cases "x = y") assume "x = y" have "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (inserta x (ordena xs)) y" by simp also have "… = Suc (cuenta (ordena xs) y)" using ‹x = y› by (simp add: cuenta_inserta) also have "… = Suc (cuenta xs y)" using HI by simp also have "… = cuenta (x # xs) y" using ‹x = y› by simp finally show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" by simp next assume "x ≠ y" have "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (inserta x (ordena xs)) y" by simp also have "… = cuenta (ordena xs) y" using ‹x ≠ y› by (simp add: cuenta_inserta) also have "… = cuenta xs y" using HI by simp also have "… = cuenta (x # xs) y" using ‹x ≠ y› by simp finally show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" by simp qed qed text ‹Para exportar el código Haskell de la función snoc se usa› export_code ordena in Haskell module_name OrdInsercion file_prefix "CodigoGenerado/" end |