RA2019: Razonamiento por casos y por inducción en Isabelle/HOL
En la clase de hoy del curso de Razonamiento automático hemos profundizado en el estudio de las demostraciones por casos y por inducción. En concreto, se ha estudiado
- el razonamiento por casos booleanos,
- el razonamiento por casos booleanos sobre una variable,
- el razonamiento por casos sobre listas,
- el razonamiento por inducción sobre números naturales con patrones,
- el razonamiento sobre definiciones con existenciales,
- el uso de librerías auxiliares (como Parity) y
- el uso de otros métodos de demostración (como presburg).
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 |
chapter ‹Tema 4: Razonamiento por casos y por inducción› theory T4_Razonamiento_por_casos_y_por_induccion imports Main HOL.Parity begin text ‹En este tema se amplían los métodos de demostración por casos y por inducción iniciados en el tema anterior.› section ‹Razonamiento por distinción de casos› subsection ‹Distinción de casos booleanos› text ‹Ejemplo de demostración por distinción de casos booleanos: Demostrar "¬A ∨ A".› ― ‹La demostración estructurada es› lemma "¬A ∨ A" proof cases assume "A" then show "¬A ∨ A" .. next assume "¬A" then show "¬A ∨ A" .. qed text ‹Comentarios de la demostración anterior: · "proof cases" indica que el método de demostración será por distinción de casos. · Se generan 2 casos: 1. ?P ⟹ ¬A ∨ A 2. ¬?P ⟹ ¬A ∨ A donde ?P es una variable sobre las fórmulas. · (assume "A") indica que se está usando "A" en lugar de la variable ?P. · "then" indica usando la fórmula anterior. · ".." indica usando la regla lógica necesaria (las reglas lógicas se estudiarán en los siguientes temas). · "next" indica el siguiente caso (se puede observar cómo ha sustituido ¬?P por ¬A.› ― ‹La demostración aplicativa es› lemma "¬A ∨ A" apply cases apply simp apply simp done ― ‹La demostración automática es› lemma "¬A ∨ A" by auto text ‹Ejemplo de demostración por distinción de casos booleanos con nombres: Demostrar "¬A ∨ A".› ― ‹La demostración estructurada es› lemma "¬A ∨ A" proof (cases "A") case True then show "¬A ∨ A" .. next case False thus "¬A ∨ A" .. qed text ‹Comentarios sobre la demostración anterior: · (cases "A") indica que la demostración se hará por casos según los distintos valores de "A". · Como "A" es una fórmula, sus posibles valores son verdadero o falso. · "case True" indica que se está suponiendo que A es verdadera. Es equivalente a "assume A". · "case False" indica que se está suponiendo que A es falsa. Es equivalente a "assume ¬A". · En general, · el método (cases F) es una abreviatura de la aplicación de la regla ⟦F ⟹ Q; ¬F ⟹ Q⟧ ⟹ Q · La expresión "case True" es una abreviatura de F. · La expresión "case False" es una abreviatura de ¬F. · Ventajas de "cases" con nombre: · reduce la escritura de la fórmula y · es independiente del orden de los casos.› subsection ‹Distinción de casos sobre otros tipos de datos› text ‹Ejemplo de distinción de casos sobre listas: Demostrar que la longitud del resto de una lista es la longitud de la lista menos 1.› ― ‹La demostración detallada es› lemma "length (tl xs) = length xs - 1" proof (cases xs) assume "xs = []" then have "length (tl xs) = 0" by simp also have "… = 0 - 1" by (simp only: natural_zero_minus_one) also have "… = length xs - 1" using ‹xs = []› by simp finally show "length (tl xs) = length xs - 1" by this next fix y ys assume "xs = y#ys" then have "length (tl xs) = length ys" by simp also have "… = (1 + length ys) - 1" by simp also have "… = length (y#ys) - 1" by (simp only: length_Cons) also have "… = length xs - 1" using ‹xs = y#ys› by simp finally show "length (tl xs) = length xs - 1" by this qed text ‹ Comentarios sobre la demostración anterior: · "(cases xs)" indica que la demostración se hará por casos sobre los posibles valores de xs. · Como xs es una lista, sus posibles valores son la lista vacía ([]) o una lista no vacía (de la forma (y#ys)). · Se generan 2 casos: 1. xs = [] ⟹ length (tl xs) = length xs - 1 2. ⋀a list. xs = a # list ⟹ length (tl xs) = length xs - 1› ― ‹La demostración simplificada es› lemma "length (tl xs) = length xs - 1" proof (cases xs) case Nil then show ?thesis by simp next case Cons then show ?thesis by simp qed text ‹Comentarios sobre la demostración anterior: · "case Nil" es una abreviatura de "assume xs =[]". · "case Cons" es una abreviatura de "fix y ys assume xs = y#ys" · ?thesis es una abreviatura de la conclusión del lema.› ― ‹La demostración aplicativa es› lemma "length (tl xs) = length xs - 1" apply (cases xs) apply simp apply simp done ― ‹La demostración automática es› lemma "length (tl xs) = length xs - 1" by (cases xs) simp_all text ‹En el siguiente ejemplo vamos a demostrar una propiedad de la función drop que está definida en la teoría List de forma que (drop n xs) es la lista obtenida eliminando en xs los n primeros elementos. Su definición es la siguiente drop_Nil: "drop n [] = []" drop_Cons: "drop n (x#xs) = (case n of 0 => x#xs | Suc(m) => drop m xs)" › text ‹ Ejemplo de análisis de casos: Demostrar que el resultado de eliminar los n+1 primeros elementos de xs es el mismo que eliminar los n primeros elementos del resto de xs.› ― ‹La demostración estructurada es› lemma "drop (n + 1) xs = drop n (tl xs)" proof (cases xs) case Nil then show ?thesis by simp next case Cons then show ?thesis by simp qed ― ‹La demostración aplicativa es› lemma "drop (n + 1) xs = drop n (tl xs)" apply (cases xs) apply simp apply simp done ― ‹La demostración automática es› lemma "drop (n + 1) xs = drop n (tl xs)" by (cases xs) simp_all section ‹Inducción matemática› text ‹[Principio de inducción matemática] Para demostrar una propiedad P para todos los números naturales basta probar que el 0 tiene la propiedad P y que si n tiene la propiedad P, entonces n+1 también la tiene. ⟦P 0; ⋀n. P n ⟹ P (Suc n)⟧ ⟹ P m En Isabelle el principio de inducción matemática está formalizado en el teorema nat.induct y puede verse con thm nat.induct › text ‹Ejemplo de demostración por inducción: Usaremos el principio de inducción matemática para demostrar que 1 + 3 + ... + (2n-1) = n^2 Definición. [Suma de los primeros impares] (suma_impares n) la suma de los n números impares. Por ejemplo, suma_impares 3 = 9 › fun suma_impares :: "nat ⇒ nat" where "suma_impares 0 = 0" | "suma_impares (Suc n) = (2*(Suc n) - 1) + suma_impares n" value "suma_impares 3" text ‹ Ejemplo de demostración por inducción matemática: Demostrar que la suma de los n primeros números impares es n^2.› ― ‹Demostración del lema anterior por inducción y razonamiento ecuacional› lemma "suma_impares n = n * n" proof (induct n) show "suma_impares 0 = 0 * 0" by simp next fix n assume HI: "suma_impares n = n * n" have "suma_impares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + suma_impares n" by simp also have "… = (2 * (Suc n) - 1) + n * n" using HI by simp also have "… = n * n + 2 * n + 1" by simp finally show "suma_impares (Suc n) = (Suc n) * (Suc n)" by simp qed ― ‹Demostración del lema anterior con patrones y razonamiento ecuacional› lemma "suma_impares n = n * n" (is "?P n") proof (induct n) show "?P 0" by simp next fix n assume HI: "?P n" have "suma_impares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + suma_impares n" by simp also have "… = (2 * (Suc n) - 1) + n * n" using HI by simp also have "… = n * n + 2 * n + 1" by simp finally show "?P (Suc n)" by simp qed text ‹Comentario sobre la demostración anterior: · Con la expresión "suma_impares n = n * n" (is "?P n") se abrevia "suma_impares n = n * n" como "?P n". Por tanto, "?P 0" es una abreviatura de "suma_impares 0 = 0 * 0" "?P (Suc n)" es una abreviatura de "suma_impares (Suc n) = (Suc n) * (Suc n)" · En general, cualquier fórmula seguida de (is patrón) equipara el patrón con la fórmula. › ― ‹La demostración usando patrones es› lemma "suma_impares n = n * n" (is "?P n") proof (induct n) show "?P 0" by simp next fix n assume "?P n" then show "?P (Suc n)" by simp qed ― ‹La demostración aplicativa es› lemma "suma_impares n = n * n" apply (induct n) apply simp apply simp done ― ‹La demostración automática es› lemma "suma_impares n = n * n" by (induct n) simp_all text ‹Ejemplo de definición con existenciales. Un número natural n es par si existe un natural m tal que n=m+m.› definition par :: "nat ⇒ bool" where "par n ≡ ∃m. n=m+m" text ‹ Ejemplo de inducción y existenciales: Demostrar que para todo número natural n, se verifica que n*(n+1) es par.› ― ‹Demostración detallada por inducción› lemma "par (n*(n+1))" proof (induct n) have "(0::nat) = 0 + 0" by (simp only: add_0) then have "∃m. (0::nat) = m + m" by (rule exI) then have "par 0" by (simp only: par_def) then show "par (0*(0+1))" by (simp only: mult_0) next fix n assume "par (n*(n+1))" then have "∃m. n*(n+1) = m+m" by (simp only: par_def) then obtain m where m: "n*(n+1) = m+m" by (rule exE) then have "(Suc n)*((Suc n)+1) = (m+n+1)+(m+n+1)" by simp then have "∃p. (Suc n)*((Suc n)+1) = p+p" by (rule exI) then show "par ((Suc n)*((Suc n)+1))" by (simp only: par_def) qed ― ‹Demostración aplicativa por inducción› lemma "par (n*(n+1))" apply (induct n) apply (simp add: par_def) apply (simp add: par_def) apply arith done ― ‹Demostración automática› lemma "par (n*(n+1))" by (induct n) (auto simp add: par_def, arith) text ‹En Isabelle puede demostrarse de manera más simple un lema equivalente usando en lugar de la función "par" la función "even" definida en la teoría Parity por even x ⟷ x mod 2 = 0 › lemma fixes n :: "nat" shows "even (n*(n+1))" by auto text ‹Comentarios sobre la demostración anterior: · Para poder usar la función "even" de la librería Parity es necesario importar dicha librería. Por ello, antes del inicio de la teoría aparece imports Main HOL.Parity › text ‹Para completar la demostración basta demostrar la equivalencia de las funciones "par" y "even".› lemma "par n = even n" proof - have "par n = (∃m. n = m+m)" by (simp only: par_def) then show "par n = even n" (* try0 *) by presburger qed text ‹Comentarios sobre la demostración anterior: · "by presburger" indica que se use como método de demostración el algoritmo de decisión de la aritmética de Presburger.› ― ‹Demostración declarativa› lemma "par n = even n" apply (unfold par_def) apply presburger done ― ‹Demostración automática› lemma "par n = even n" by (simp only: par_def, presburger) section ‹Recursión general. La función de Ackermann› text ‹El objetivo de esta sección es mostrar el uso de las definiciones recursivas generales y sus esquemas de inducción. Como ejemplo se usa la función de Ackermann (se puede consultar información sobre dicha función en http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function). Definición. La función de Ackermann se define por A(m,n) = n+1, si m=0, A(m-1,1), si m>0 y n=0, A(m-1,A(m,n-1)), si m>0 y n>0 para todo los números naturales. La función de Ackermann es recursiva, pero no es primitiva recursiva.› fun ack :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where "ack 0 n = n+1" | "ack (Suc m) 0 = ack m 1" | "ack (Suc m) (Suc n) = ack m (ack (Suc m) n)" ― ‹Ejemplo de evaluación› value "ack 2 3" (* devuelve 9 *) text ‹Esquema de inducción correspondiente a una función: · Al definir una función recursiva general se genera una regla de inducción. En la definición anterior, la regla generada es ack.induct: ⟦⋀n. P 0 n; ⋀m. P m 1 ⟹ P (Suc m) 0; ⋀m n. ⟦P (Suc m) n; P m (ack (Suc m) n)⟧ ⟹ P (Suc m) (Suc n)⟧ ⟹ P a b › text ‹Ejemplo de demostración por la inducción correspondiente a una función: Demostrar que para todos m y n, A(m,n) > n.› ― ‹La demostración detallada es› lemma "ack m n > n" proof (induct m n rule: ack.induct) fix n show "ack 0 n > n" by (simp only: ack.simps(1)) next fix m assume "ack m 1 > 1" then show "ack (Suc m) 0 > 0" by (simp only: ack.simps(2)) next fix m n assume "n < ack (Suc m) n" and "ack (Suc m) n < ack m (ack (Suc m) n)" then show "Suc n < ack (Suc m) (Suc n)" by (simp only: ack.simps(3)) qed text ‹Comentarios sobre la demostración anterior: · (induct m n rule: ack.induct) indica que el método de demostración es el esquema de recursión correspondiente a la definición de (ack m n). · Se generan 3 casos: 1. ⋀n. n < ack 0 n 2. ⋀m. 1 < ack m 1 ⟹ 0 < ack (Suc m) 0 3. ⋀m n. ⟦n < ack (Suc m) n; ack (Suc m) n < ack m (ack (Suc m) n)⟧ ⟹ Suc n < ack (Suc m) (Suc n) › ― ‹La demostración automática es› lemma "ack m n > n" by (induct m n rule: ack.induct) auto end |