RA2017: Razonamiento por casos y por inducción en Isabelle/HOL
En la segunda parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático hemos profundizado en el estudio de las demostraciones por casos y por inducción. En concreto, se ha estudiado
- el razonamiento por casos booleanos,
- el razonamiento por casos booleanos sobre una variable,
- el razonamiento por casos sobre listas,
- el razonamiento por inducción sobre números naturales con patrones,
- el razonamiento sobre definiciones con existenciales,
- el uso de librerías auxiliares (como Parity) y
- el uso de otros métodos de demostración (como presburg).
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
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chapter {* Tema 4: Razonamiento por casos y por inducción *} theory T4_Razonamiento_por_casos_y_por_induccion imports Main Parity begin text {* En este tema se amplían los métodos de demostración por casos y por inducción iniciados en el tema anterior. *} section {* Razonamiento por distinción de casos *} subsection {* Distinción de casos booleanos *} text {* Ejemplo de demostración por distinción de casos booleanos: Demostrar "¬A ∨ A". *} -- "La demostración estructurada es" lemma "¬A ∨ A" proof cases assume "A" then show "¬A ∨ A" .. next assume "¬A" then show "¬A ∨ A" .. qed text {* Comentarios de la demostración anterior: · "proof cases" indica que el método de demostración será por distinción de casos. · Se generan 2 casos: 1. ?P ⟹ ¬A ∨ A 2. ¬?P ⟹ ¬A ∨ A donde ?P es una variable sobre las fórmulas. · (assume "A") indica que se está usando "A" en lugar de la variable ?P. · "then" indica usando la fórmula anterior. · ".." indica usando la regla lógica necesaria (las reglas lógicas se estudiarán en los siguientes temas). · "next" indica el siguiente caso (se puede observar cómo ha sustituido ¬?P por ¬A. *} -- "La demostración automática es" lemma "¬A ∨ A" by auto text {* Ejemplo de demostración por distinción de casos booleanos con nombres: Demostrar "¬A ∨ A". *} -- "La demostración estructurada es" lemma "¬A ∨ A" proof (cases "A") case True then show "¬A ∨ A" .. next case False thus "¬A ∨ A" .. qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · (cases "A") indica que la demostración se hará por casos según los distintos valores de "A". · Como "A" es una fórmula, sus posibles valores son verdadero o falso. · "case True" indica que se está suponiendo que A es verdadera. Es equivalente a "assume A". · "case False" indica que se está suponiendo que A es falsa. Es equivalente a "assume ¬A". · En general, · el método (cases F) es una abreviatura de la aplicación de la regla ⟦F ⟹ Q; ¬F ⟹ Q⟧ ⟹ Q · La expresión "case True" es una abreviatura de F. · La expresión "case False" es una abreviatura de ¬F. · Ventajas de "cases" con nombre: · reduce la escritura de la fórmula y · es independiente del orden de los casos. *} subsection {* Distinción de casos sobre otros tipos de datos *} text {* Ejemplo de distinción de casos sobre listas: Demostrar que la longitud del resto de una lista es la longitud de la lista menos 1. *} -- "La demostración detallada es" lemma "length (tl xs) = length xs - 1" proof (cases xs) assume "xs = []" then show "length (tl xs) = length xs - 1" by simp next fix y ys assume "xs = y#ys" then show "length(tl xs) = length xs - 1" by simp qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · "(cases xs)" indica que la demostración se hará por casos sobre los posibles valores de xs. · Como xs es una lista, sus posibles valores son la lista vacía ([]) o una lista no vacía (de la forma (y#ys)). · Se generan 2 casos: 1. xs = [] ⟹ length (tl xs) = length xs - 1 2. ⋀a list. xs = a # list ⟹ length (tl xs) = length xs - 1 *} -- "La demostración simplificada es" lemma "length (tl xs) = length xs - 1" proof (cases xs) case Nil then show ?thesis by simp next case Cons then show ?thesis by simp qed text {* Comentarios sobre la dmostración anterior: · "case Nil" es una abreviatura de "assume xs =[]". · "case Cons" es una abreviatura de "fix y ys assume xs = y#ys" · ?thesis es una abreviatura de la conclusión del lema. *} -- "La demostración automática es" lemma "length (tl xs) = length xs - 1" by auto text {* Een el siguiente ejemplo vamos a demostrar una propiedad de la función drop que está definida en la teoría List de forma que (drop n xs) la lista obtenida eliminando en xs} los n primeros elementos. Su definición es la siguiente drop_Nil: "drop n [] = []" drop_Cons: "drop n (x#xs) = (case n of 0 => x#xs | Suc(m) => drop m xs)" *} text {* Ejemplo de análisis de casos: Demostrar que el resultado de eliminar los n+1 primeros elementos de xs es el mismo que eliminar los n primeros elementos del resto de xs. *} -- "La demostración detallada es" lemma "drop (n + 1) xs = drop n (tl xs)" proof (cases xs) case Nil then show ?thesis by simp next case Cons then show ?thesis by simp qed -- "La demostración automática es" lemma "drop (n + 1) xs = drop n (tl xs)" by (cases xs) auto section {* Inducción matemática *} text {* [Principio de inducción matemática] Para demostrar una propiedad P para todos los números naturales basta probar que el 0 tiene la propiedad P y que si n tiene la propiedad P, entonces n+1 también la tiene. ⟦P 0; ⋀n. P n ⟹ P (Suc n)⟧ ⟹ P m En Isabelle el principio de inducción matemática está formalizado en el teorema nat.induct y puede verse con thm nat.induct *} text {* Ejemplo de demostración por inducción: Usaremos el principio de inducción matemática para demostrar que 1 + 3 + ... + (2n-1) = n^2 Definición. [Suma de los primeros impares] (suma_impares n) la suma de los n números impares. Por ejemplo, suma_impares 3 = 9 *} fun suma_impares :: "nat ⇒ nat" where "suma_impares 0 = 0" | "suma_impares (Suc n) = (2*(Suc n) - 1) + suma_impares n" value "suma_impares 3" text {* Ejemplo de demostración por inducción matemática: Demostrar que la suma de los n primeros números impares es n^2. *} -- "Demostración del lema anterior por inducción y razonamiento ecuacional" lemma "suma_impares n = n * n" proof (induct n) show "suma_impares 0 = 0 * 0" by simp next fix n assume HI: "suma_impares n = n * n" have "suma_impares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + suma_impares n" by simp also have "… = (2 * (Suc n) - 1) + n * n" using HI by simp also have "… = n * n + 2 * n + 1" by simp finally show "suma_impares (Suc n) = (Suc n) * (Suc n)" by simp qed -- "Demostración del lema anterior con patrones y razonamiento ecuacional" lemma "suma_impares n = n * n" (is "?P n") proof (induct n) show "?P 0" by simp next fix n assume HI: "?P n" have "suma_impares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + suma_impares n" by simp also have "… = (2 * (Suc n) - 1) + n * n" using HI by simp also have "… = n * n + 2 * n + 1" by simp finally show "?P (Suc n)" by simp qed text {* Comentario sobre la demostración anterior: · Con la expresión "suma_impares n = n * n" (is "?P n") se abrevia "suma_impares n = n * n" como "?P n". Por tanto, "?P 0" es una abreviatura de "suma_impares 0 = 0 * 0" "?P (Suc n)" es una abreviatura de "suma_impares (Suc n) = (Suc n) * (Suc n)" · En general, cualquier fórmula seguida de (is patrón) equipara el patrón con la fórmula. *} -- "La demostración usando patrones es" lemma "suma_impares n = n * n" (is "?P n") proof (induct n) show "?P 0" by simp next fix n assume "?P n" then show "?P (Suc n)" by simp qed -- "La demostración automática es" lemma "suma_impares n = n * n" by (induct n) auto text {* Ejemplo de definición con existenciales. Un número natural n es par si existe un natural m tal que n=m+m. *} definition par :: "nat ⇒ bool" where "par n ≡ ∃m. n=m+m" text {* Ejemplo de inducción y existenciales: Demostrar que para todo número natural n, se verifica que n*(n+1) par. *} -- "Demostración detallada por inducción" lemma fixes n :: "nat" shows "par (n*(n+1))" proof (induct n) show "par (0*(0+1))" by (simp add: par_def) next fix n assume "par (n*(n+1))" then have "∃m. n*(n+1) = m+m" by (simp add:par_def) then obtain m where m: "n*(n+1) = m+m" .. then have "(Suc n)*((Suc n)+1) = (m+n+1)+(m+n+1)" by auto then have "∃m. (Suc n)*((Suc n)+1) = m+m" .. then show "par ((Suc n)*((Suc n)+1))" by (simp add:par_def) qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · (fixes n :: "nat") es una abreviatura de "sea n un número natural". *} text {* En Isabelle puede demostrarse de manera más simple un lema equivalente usando en lugar de la función "par" la función "even" definida en la teoría Parity por even x ⟷ x mod 2 = 0" *} lemma fixes n :: "nat" shows "even (n*(n+1))" by auto text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · Para poder usar la función "even" de la librería Parity es necesario importar dicha librería. Por ello, antes del inicio de la teoría aparece imports Main Parity *} text {* Para completar la demostración basta demostrar la equivalencia de las funciones "par" y "even". *} lemma fixes n :: "nat" shows "par n = even n" proof - have "par n = (∃m. n = m+m)" by (simp add:par_def) then show "par n = even n" by presburger qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · "by presburger" indica que se use como método de demostración el algoritmo de decisión de la aritmética de Presburger. *} section {* Inducción estructural *} text {* Inducción estructural: · En Isabelle puede hacerse inducción estructural sobre cualquier tipo recursivo. · La inducción matemática es la inducción estructural sobre el tipo de los naturales. · El esquema de inducción estructural sobre listas es · list.induct: ⟦P []; ⋀x ys. P ys ⟹ P (x # ys)⟧ ⟹ P zs · Para demostrar una propiedad para todas las listas basta demostrar que la lista vacía tiene la propiedad y que al añadir un elemento a una lista que tiene la propiedad se obtiene una lista que también tiene la propiedad. · En Isabelle el principio de inducción sobre listas está formalizado mediante el teorema list.induct que puede verse con thm list.induct *} text {* Concatenación de listas: En la teoría List.thy está definida la concatenación de listas (que se representa por @) como sigue append_Nil: "[]@ys = ys" append_Cons: "(x#xs)@ys = x#(xs@ys)" *} text {* Lema. [Ejemplo de inducción sobre listas] Demostrar que la concatenación de listas es asociativa. *} -- "La demostración estructurada es" lemma conc_asociativa: "xs @ (ys @ zs) = (xs @ ys) @ zs" proof (induct xs) show "[] @ (ys @ zs) = ([] @ ys) @ zs" proof - have "[] @ (ys @ zs) = ys @ zs" by simp also have "… = ([] @ ys) @ zs" by simp finally show ?thesis . qed next fix x xs assume HI: "xs @ (ys @ zs) = (xs @ ys) @ zs" show "(x#xs) @ (ys @ zs) = ((x#xs) @ ys) @ zs" proof - have "(x#xs) @ (ys @ zs) = x#(xs @ (ys @ zs))" by simp also have "… = x#((xs @ ys) @ zs)" using HI by simp also have "… = (x#(xs @ ys)) @ zs" by simp also have "… = ((x#xs) @ ys) @ zs" by simp finally show ?thesis . qed qed -- "La demostración automática es" lemma conc_asociativa_1: "xs @ (ys @ zs) = (xs @ ys) @ zs" by (induct xs) auto section {* Heurísticas para la inducción *} text {* Definición. [Definición recursiva de inversa] (inversa xs) la inversa de la lista xs. Por ejemplo, inversa [a,b,c] = [c,b,a] *} fun inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where "inversa [] = []" | "inversa (x#xs) = (inversa xs) @ [x]" value "inversa [a,b,c]" text {* Definición. [Definición de inversa con acumuladores] (inversaAc xs) es la inversa de la lista xs calculada con acumuladores. Por ejemplo, inversaAc [a,b,c] = [c,b,a] inversaAcAux [a,b,c] [] = [c,b,a] *} fun inversaAcAux :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "inversaAcAux [] ys = ys" | "inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)" definition inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list" where "inversaAc xs ≡ inversaAcAux xs []" value "inversaAcAux [a,b,c] []" value "inversaAc [a,b,c]" text {* Lema. [Ejemplo de equivalencia entre las definiciones] La inversa de [a,b,c] es lo mismo calculada con la primera definición que con la segunda. *} lemma "inversaAc [a,b,c] = inversa [a,b,c]" by (simp add: inversaAc_def) text {* Nota. [Ejemplo fallido de demostración por inducción] El siguiente intento de demostrar que para cualquier lista xs, se tiene que "inversaAc xs = inversa xs" falla. *} lemma "inversaAc xs = inversa xs" proof (induct xs) show "inversaAc [] = inversa []" by (simp add: inversaAc_def) next fix a xs assume HI: "inversaAc xs = inversa xs" have "inversaAc (a#xs) = inversaAcAux (a#xs) []" by (simp add: inversaAc_def) also have "… = inversaAcAux xs [a]" by simp also have "… = inversa (a#xs)" -- "Problema: la hipótesis de inducción no es aplicable." oops text {* Nota. [Heurística de generalización] Cuando se use demostración estructural, cuantificar universalmente las variables libres (o, equivalentemente, considerar las variables libres como variables arbitrarias). Lema. [Lema con generalización] Para toda lista ys se tiene inversaAcAux xs ys = (inversa xs) @ ys *} -- "La demostración estructurada es" lemma inversaAcAux_es_inversa: "inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys" proof (induct xs arbitrary: ys) show "⋀ys. inversaAcAux [] ys = (inversa [])@ys" by simp next fix a xs assume HI: "⋀ys. inversaAcAux xs ys = inversa xs@ys" show "⋀ys. inversaAcAux (a#xs) ys = inversa (a#xs)@ys" proof - fix ys have "inversaAcAux (a#xs) ys = inversaAcAux xs (a#ys)" by simp also have "… = inversa xs@(a#ys)" using HI by simp also have "… = inversa (a#xs)@ys" using [[simp_trace]] by simp finally show "inversaAcAux (a#xs) ys = inversa (a#xs)@ys" by simp qed qed -- "La demostración automática es" lemma inversaAcAux_es_inversa_1: "inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys" by (induct xs arbitrary: ys) auto text {* Corolario. Para cualquier lista xs, se tiene que inversaAc xs = inversa xs *} corollary "inversaAc xs = inversa xs" by (simp add: inversaAcAux_es_inversa inversaAc_def) text {* Nota. En el paso "inversa xs@(a#ys) = inversa (a#xs)@ys" se usan lemas de la teoría List. Se puede observar, insertano using [[simp_trace]] entre la igualdad y by simp, que los lemas usados son · List.append_simps_1: []@ys = ys · List.append_simps_2: (x#xs)@ys = x#(xs@ys) · List.append_assoc: (xs @ ys) @ zs = xs @ (ys @ zs) Las dos primeras son las ecuaciones de la definición de append. En la siguiente demostración se detallan los lemas utilizados. *} lemma "(inversa xs)@(a#ys) = (inversa (a#xs))@ys" proof - have "(inversa xs)@(a#ys) = (inversa xs)@(a#([]@ys))" by (simp only: append.simps(1)) also have "… = (inversa xs)@([a]@ys)" by (simp only: append.simps(2)) also have "… = ((inversa xs)@[a])@ys" by (simp only: append_assoc) also have "… = (inversa (a#xs))@ys" by (simp only: inversa.simps(2)) finally show ?thesis . qed end |