RA2017: Razonamiento estructurado sobre programas con Isabelle/HOL

En la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha presentado cómo se puede demostrar propiedades de programas funcionales con Isabelle/HOL.

Para ello, se ha visto cómo representar en Isabelle/HOL las demostraciones de propiedades de programas estudiadas en el tema 8 del curso de Informática.

Los métodos de demostración utilizados son razonamiento ecuacional, inducción sobre los números naturales, inducción sobre listas e inducción sobre esquemas correspondientes a definiciones recursivas.

La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:

chapter {* Tema 3: Razonamiento estructurado sobre programas *}

theory T3_Razonamiento_sobre_programas
imports Main 
begin

text {* 
  En este tema se demuestra con Isabelle las propiedades de los
  programas funcionales como se expone en el tema 2a y se demostraron
  automáticamente en el tema 2b. A diferencia del tema 2b, ahora
  nos fijamos no sólo en el método de demostración sino en la estructura
  de la prueba resaltando su semejanza con las del tema 2a. *}

section {* Razonamiento ecuacional *}

text {* ----------------------------------------------------------------
  Ejemplo 1. Definir, por recursión, la función
     longitud :: 'a list ⇒ nat
  tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo,
     longitud [a,c,d] = 3
  ------------------------------------------------------------------- *}

fun longitud :: "'a list ⇒ nat" where
  "longitud []     = 0"
| "longitud (x#xs) = 1 + longitud xs"
   
value "longitud [a,c,d]" -- "= 3"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 2. Demostrar que 
     longitud [a,c,d] = 3
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "longitud [a,c,d] = 3"
by simp

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 3. Definir la función
     fun intercambia :: 'a × 'b ⇒ 'b × 'a
  tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las
  componentes del par p. Por ejemplo,
     intercambia (u,v) = (v,u)
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun intercambia :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a" where
  "intercambia (x,y) = (y,x)"

value "intercambia (u,v)" -- "= (v,u)"

text {*
  La definición de la función intercambia genera una regla de
  simplificación
  · intercambia.simps: intercambia (x,y) = (y,x)
  
  Se puede ver con 
  · thm intercambia.simps 
*}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 4. (p.6) Demostrar que 
     intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* Demostración aplicativa *)
lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)"
apply (simp only: intercambia.simps)
done

(* Demostración declarativa *)
lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)"
proof -
  have "intercambia (intercambia (x,y)) = intercambia (y,x)"  
    by (simp only: intercambia.simps)
  also have "... = (x,y)" 
    by (simp only: intercambia.simps)
  finally show "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)" by simp
qed

text {*
  Notas sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "proof" para iniciar la prueba,
  · "-" (después de "proof") para no usar el método por defecto,
  · "have" para establecer un paso,
  · "by (simp only:  intercambia.simps)" para indicar que sólo se usa
    como regla de escritura la correspondiente a la definición de
    intercambia,
  · "also" para encadenar pasos ecuacionales,
  · "..." para representar la igualdad anterior en un razonamiento
    ecuacional,
  · "finally" para indicar el último pasa de un razonamiento ecuacional,
  · "show" para establecer la conclusión.
  · "by simp" para indicar el método de demostración por simplificación y 
  · "qed" para terminar la pruebas,
*}

(* Demostración declarativa simplificada *)
lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)"
proof -
  have "intercambia (intercambia (x,y)) = intercambia (y,x)"  by simp
  also have "... = (x,y)" by simp 
  finally show "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)" by simp
qed

text {*
  Nota: La diferencia entre las dos demostraciones es que en los dos
  primeros pasos no se explicita la regla de simplificación.
*}

-- "La demostración automática es"
lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)"
by simp

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 5. Definir, por recursión, la función
     inversa :: 'a list ⇒ 'a list
  tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los
  elementos de xs. Por ejemplo,
     inversa [a,d,c] = [c,d,a]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversa []     = []"
| "inversa (x#xs) = inversa xs @ [x]"

value "inversa [a,d,c]" -- "= [c,d,a]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 6. (p. 9) Demostrar que 
     inversa [x] = [x]
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "La demostración aplicativa es"
lemma "inversa [x] = [x]"
apply simp
done

text {*
  En la demostración anterior se usaron las siguientes reglas:
  · inversa.simps(1): inversa [] = []
  · inversa.simps(2): inversa (x#xs) = inversa xs @ [x]
  · append_Nil:       [] @ ys = ys
  Vamos a explicitar su aplicación.
*}
  
-- "La demostración aplicativa detallada es"
lemma "inversa [x] = [x]"
apply (simp only: inversa.simps(2))
apply (simp only: inversa.simps(1))
apply (simp only: append_Nil)
done

-- "La demostración declarativa es"
lemma "inversa [x] = [x]"
proof -
  have "inversa [x] = inversa (x#[])" by simp
  also have "... = (inversa []) @ [x]" by (simp only: inversa.simps(2))
  also have "... = [] @ [x]" by (simp only: inversa.simps(1))
  also have "... = [x]" by (simp only: append_Nil) 
  finally show "inversa [x] = [x]" by simp
qed

-- "La demostración declarativa simplificada es"
lemma "inversa [x] = [x]"
proof -
  have "inversa [x] = inversa (x#[])" by simp
  also have "... = (inversa []) @ [x]" by simp
  also have "... = [] @ [x]" by simp
  also have "... = [x]" by simp 
  finally show "inversa [x] = [x]" by simp
qed

-- "La demostración automática es"
lemma "inversa [x] = [x]"
by simp

section {* Razonamiento por inducción sobre los naturales *}

text {*
  [Principio de inducción sobre los naturales] Para demostrar una
  propiedad P para todos los números naturales basta probar que el 0
  tiene la propiedad P y que si n tiene la propiedad P, entonces n+1
  también la tiene.  
     ⟦P 0; ⋀n. P n ⟹ P (Suc n)⟧ ⟹ P m

  En Isabelle el principio de inducción sobre los naturales está
  formalizado en el teorema nat.induct y puede verse con
     thm nat.induct
*}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 7. Definir la función
     repite :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (repite n x) es la lista formada por n copias del elemento
  x. Por ejemplo, 
     repite 3 a = [a,a,a]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun repite :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "repite 0 x       = []"
| "repite (Suc n) x = x # (repite n x)"

value "repite 3 a" -- "= [a,a,a]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 8. (p. 18) Demostrar que 
     longitud (repite n x) = n
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "La demostración aplicativa es"
lemma "longitud (repite n x) = n"
apply (induct n)
apply auto
done

-- "La demostración estructurada es"
lemma "longitud (repite n x) = n"
proof (induct n)
  show "longitud (repite 0 x) = 0" by simp
next 
  fix n
  assume HI: "longitud (repite n x) = n"
  have "longitud (repite (Suc n) x) = longitud (x # (repite n x))" 
    by simp
  also have "... = 1 + longitud (repite n x)" by simp
  also have "... = 1 + n" using HI by simp
  finally show "longitud (repite (Suc n) x) = Suc n" by simp
qed

text {*
  Comentarios sobre la demostración anterior:
  · A la derecha de proof se indica el método de la demostración.
  · (induct n) indica que la demostración se hará por inducción en n.
  · Se generan dos subobjetivos correspondientes a la base y el paso de
    inducción:
    1. longitud (repite 0 x) = 0
    2. ⋀n. longitud (repite n x) = n ⟹ longitud (repite (Suc n) x) = Suc n
    donde ⋀n se lee "para todo n".  
  · "next" indica el siguiente subobjetivo.
  · "fix n" indica "sea n un número natural cualquiera"
  · assume HI: "longitud (repite n x) = n" indica «supongamos que 
    "longitud (repite n x) = n" y sea HI la etiqueta de este supuesto».
  · "using HI" usando la propiedad etiquetada con HI. 
*}

-- "La demostración automática es"
lemma "longitud (repite n x) = n"
by (induct n) auto

section {* Razonamiento por inducción sobre listas *}

text {*
  Para demostrar una propiedad para todas las listas basta demostrar
  que la lista vacía tiene la propiedad y que al añadir un elemento a una
  lista que tiene la propiedad se obtiene otra lista que también tiene la
  propiedad. 

  En Isabelle el principio de inducción sobre listas está formalizado
  mediante el teorema list.induct 
     ⟦P []; 
      ⋀x xs. P xs ⟹ P (x#xs)⟧ 
     ⟹ P xs
*}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 9. Definir la función
     conc :: 'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list
  tal que (conc xs ys) es la concatención de las listas xs e ys. Por
  ejemplo, 
     conc [a,d] [b,d,a,c] = [a,d,b,d,a,c]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "conc []     ys = ys"
| "conc (x#xs) ys = x # (conc xs ys)"

value "conc [a,d] [b,d,a,c]" -- "= [a,d,b,d,a,c]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 10. (p. 24) Demostrar que 
     conc xs (conc ys zs) = (conc xs ys) zs
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "La demostración estructurada es"
lemma "conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs"
proof (induct xs)
  show "conc [] (conc ys zs) = conc (conc [] ys) zs" by simp
next
  fix x xs
  assume HI: "conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs" 
  have "conc (x # xs) (conc ys zs) = x # (conc xs (conc ys zs))" by simp
  also have "... = x # (conc (conc xs ys) zs)" using HI by simp
  also have "... = conc (conc (x # xs) ys) zs" by simp
  finally show "conc (x # xs) (conc ys zs) = conc (conc (x # xs) ys) zs" by simp
qed

text {*
  Comentario sobre la demostración anterior
  · (induct xs) genera dos subobjetivos:
    1. conc [] (conc ys zs) = conc (conc [] ys) zs
    2. ⋀a xs. conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs ⟹
              conc (a#xs) (conc ys zs) = conc (conc (a#xs) ys) zs
*}

-- "La demostración automática es"
lemma "conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs"
by (induct xs) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 11. Refutar que 
     conc xs ys = conc ys xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "conc xs ys = conc ys xs"
quickcheck
oops

text {* Encuentra el contraejemplo, 
  xs = [a2]
  ys = [a1] *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 12. (p. 28) Demostrar que 
     conc xs [] = xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "La demostración estructurada es"
lemma "conc xs [] = xs"
proof (induct xs)
  show "conc [] [] = []" by simp
next 
  fix x xs
  assume HI: "conc xs [] = xs" 
  have "conc (x # xs) [] = x # (conc xs [])" by simp
  also have "... = x # xs" using HI by simp
  finally show "conc (x # xs) [] = x # xs" by simp
qed

-- "La demostración automática es"
lemma "conc xs [] = xs"
by (induct xs) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 13. (p. 30) Demostrar que 
     longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "La demostración automática es"
lemma "longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys"
proof (induct xs)
  show "longitud (conc [] ys) = longitud [] + longitud ys" by simp
next
  fix x xs
  assume HI: "longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys"
  have "longitud (conc (x # xs) ys) = longitud (x # (conc xs ys))" 
    by simp
  also have "... = 1 + longitud (conc xs ys)" by simp
  also have "... = 1 + longitud xs + longitud ys" using HI by simp
  also have "... = longitud (x # xs) + longitud ys" by simp
  finally show "longitud (conc (x # xs) ys) = 
                longitud (x # xs) + longitud ys" by simp
qed

-- "La demostración automática es"
lemma "longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys"
by (induct xs) auto

section {* Inducción correspondiente a la definición recursiva *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 14. Definir la función
     coge :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list
  tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por 
  ejemplo, 
     coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "coge n []           = []"
| "coge 0 xs           = []"
| "coge (Suc n) (x#xs) = x # (coge n xs)"

value "coge 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [a,c]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 15. Definir la función
     elimina :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list
  tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando los n primeros
  elementos de xs. Por ejemplo, 
     elimina 2 [a,c,d,b,e] = [d,b,e]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "elimina n []           = []"
| "elimina 0 xs           = xs"
| "elimina (Suc n) (x#xs) = elimina n xs"

value "elimina 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [d,b,e]"

text {* 
  La definición coge genera el esquema de inducción coge.induct:
     ⟦⋀n. P n []; 
      ⋀x xs. P 0 (x#xs); 
      ⋀n x xs. P n xs ⟹ P (Suc n) (x#xs)⟧
     ⟹ P n x

  Puede verse usando "thm coge.induct". *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejemplo 16. (p. 35) Demostrar que 
     conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "La demostración estructurada es"
lemma "conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs"
proof (induct rule: coge.induct)
  fix n
  show "conc (coge n []) (elimina n []) = []" by simp
next
  fix x xs
  show "conc (coge 0 (x#xs)) (elimina 0 (x#xs)) = x#xs" by simp
next
  fix n x xs
  assume HI: "conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs"
  have "conc (coge (Suc n) (x#xs)) (elimina (Suc n) (x#xs)) = 
        conc (x#(coge n xs)) (elimina n xs)" by simp
  also have "... = x#(conc (coge n xs) (elimina n xs))" by simp
  also have "... = x#xs" using HI by simp  
  finally show "conc (coge (Suc n) (x#xs)) (elimina (Suc n) (x#xs)) = 
                x#xs"
    by simp
qed

text {*
  Comentario sobre la demostración anterior:
  · (induct rule: coge.induct) indica que el método de demostración es
    por el esquema de inducción correspondiente a la definición de la
    función coge.
  · Se generan 3 subobjetivos:
    · 1. ⋀n. conc (coge n []) (elimina n []) = []
    · 2. ⋀x xs. conc (coge 0 (x#xs)) (elimina 0 (x#xs)) = x#xs
    · 3. ⋀n x xs. 
            conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs ⟹
            conc (coge (Suc n) (x#xs)) (elimina (Suc n) (x#xs)) = x#xs
*}

-- "La demostración automática es"
lemma "conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs"
by (induct rule: coge.induct) auto

section {* Referencias *}

text {*
  · J.A. Alonso. "Razonamiento sobre programas" http://goo.gl/R06O3
  · G. Hutton. "Programming in Haskell". Cap. 13 "Reasoning about
    programms". 
  · S. Thompson. "Haskell: the Craft of Functional Programming, 3rd
    Edition. Cap. 8 "Reasoning about programms". 
  · L. Paulson. "ML for the Working Programmer, 2nd Edition". Cap. 6. 
    "Reasoning about functional programs". 
*}

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chapter {* Tema 3: Razonamiento estructurado sobre programas *}

theory T3_Razonamiento_sobre_programas

imports Main

begin

text {*

En este tema se demuestra con Isabelle las propiedades de los

programas funcionales como se expone en el tema 2a y se demostraron

automáticamente en el tema 2b. A diferencia del tema 2b, ahora

nos fijamos no sólo en el método de demostración sino en la estructura

de la prueba resaltando su semejanza con las del tema 2a. *}

section {* Razonamiento ecuacional *}

text {* ----------------------------------------------------------------

Ejemplo 1. Definir, por recursión, la función

longitud :: 'a list ⇒ nat

tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo,

longitud [a,c,d] = 3

------------------------------------------------------------------- *}

fun longitud :: "'a list ⇒ nat" where

"longitud [] = 0"

| "longitud (x#xs) = 1 + longitud xs"

value "longitud [a,c,d]" -- "= 3"

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 2. Demostrar que

longitud [a,c,d] = 3

------------------------------------------------------------------- *}

lemma "longitud [a,c,d] = 3"

by simp

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 3. Definir la función

fun intercambia :: 'a × 'b ⇒ 'b × 'a

tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las

componentes del par p. Por ejemplo,

intercambia (u,v) = (v,u)

------------------------------------------------------------------ *}

fun intercambia :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a" where

"intercambia (x,y) = (y,x)"

value "intercambia (u,v)" -- "= (v,u)"

text {*

La definición de la función intercambia genera una regla de

simplificación

· intercambia.simps: intercambia (x,y) = (y,x)

Se puede ver con

· thm intercambia.simps

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 4. (p.6) Demostrar que

intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)

------------------------------------------------------------------- *}

(* Demostración aplicativa *)

lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)"

apply (simp only: intercambia.simps)

done

(* Demostración declarativa *)

lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)"

proof -

have "intercambia (intercambia (x,y)) = intercambia (y,x)"

by (simp only: intercambia.simps)

also have "... = (x,y)"

by (simp only: intercambia.simps)

finally show "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)" by simp

qed

text {*

Notas sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "proof" para iniciar la prueba,

· "-" (después de "proof") para no usar el método por defecto,

· "have" para establecer un paso,

· "by (simp only: intercambia.simps)" para indicar que sólo se usa

como regla de escritura la correspondiente a la definición de

intercambia,

· "also" para encadenar pasos ecuacionales,

· "..." para representar la igualdad anterior en un razonamiento

ecuacional,

· "finally" para indicar el último pasa de un razonamiento ecuacional,

· "show" para establecer la conclusión.

· "by simp" para indicar el método de demostración por simplificación y

· "qed" para terminar la pruebas,

(* Demostración declarativa simplificada *)

lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)"

proof -

have "intercambia (intercambia (x,y)) = intercambia (y,x)" by simp

also have "... = (x,y)" by simp

finally show "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)" by simp

qed

text {*

Nota: La diferencia entre las dos demostraciones es que en los dos

primeros pasos no se explicita la regla de simplificación.

-- "La demostración automática es"

lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)"

by simp

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 5. Definir, por recursión, la función

inversa :: 'a list ⇒ 'a list

tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los

elementos de xs. Por ejemplo,

inversa [a,d,c] = [c,d,a]

------------------------------------------------------------------ *}

fun inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where

"inversa [] = []"

| "inversa (x#xs) = inversa xs @ [x]"

value "inversa [a,d,c]" -- "= [c,d,a]"

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 6. (p. 9) Demostrar que

inversa [x] = [x]

------------------------------------------------------------------- *}

-- "La demostración aplicativa es"

lemma "inversa [x] = [x]"

apply simp

done

text {*

En la demostración anterior se usaron las siguientes reglas:

· inversa.simps(1): inversa [] = []

· inversa.simps(2): inversa (x#xs) = inversa xs @ [x]

· append_Nil: [] @ ys = ys

Vamos a explicitar su aplicación.

-- "La demostración aplicativa detallada es"

lemma "inversa [x] = [x]"

apply (simp only: inversa.simps(2))

apply (simp only: inversa.simps(1))

apply (simp only: append_Nil)

done

-- "La demostración declarativa es"

lemma "inversa [x] = [x]"

proof -

have "inversa [x] = inversa (x#[])" by simp

also have "... = (inversa []) @ [x]" by (simp only: inversa.simps(2))

also have "... = [] @ [x]" by (simp only: inversa.simps(1))

also have "... = [x]" by (simp only: append_Nil)

finally show "inversa [x] = [x]" by simp

qed

-- "La demostración declarativa simplificada es"

lemma "inversa [x] = [x]"

proof -

have "inversa [x] = inversa (x#[])" by simp

also have "... = (inversa []) @ [x]" by simp

also have "... = [] @ [x]" by simp

also have "... = [x]" by simp

finally show "inversa [x] = [x]" by simp

qed

-- "La demostración automática es"

lemma "inversa [x] = [x]"

by simp

section {* Razonamiento por inducción sobre los naturales *}

text {*

[Principio de inducción sobre los naturales] Para demostrar una

propiedad P para todos los números naturales basta probar que el 0

tiene la propiedad P y que si n tiene la propiedad P, entonces n+1

también la tiene.

⟦P 0; ⋀n. P n ⟹ P (Suc n)⟧ ⟹ P m

En Isabelle el principio de inducción sobre los naturales está

formalizado en el teorema nat.induct y puede verse con

thm nat.induct

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 7. Definir la función

repite :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list

tal que (repite n x) es la lista formada por n copias del elemento

x. Por ejemplo,

repite 3 a = [a,a,a]

------------------------------------------------------------------ *}

fun repite :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where

"repite 0 x = []"

| "repite (Suc n) x = x # (repite n x)"

value "repite 3 a" -- "= [a,a,a]"

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 8. (p. 18) Demostrar que

longitud (repite n x) = n

------------------------------------------------------------------- *}

-- "La demostración aplicativa es"

lemma "longitud (repite n x) = n"

apply (induct n)

apply auto

done

-- "La demostración estructurada es"

lemma "longitud (repite n x) = n"

proof (induct n)

show "longitud (repite 0 x) = 0" by simp

fix n

assume HI: "longitud (repite n x) = n"

have "longitud (repite (Suc n) x) = longitud (x # (repite n x))"

by simp

also have "... = 1 + longitud (repite n x)" by simp

also have "... = 1 + n" using HI by simp

finally show "longitud (repite (Suc n) x) = Suc n" by simp

qed

text {*

Comentarios sobre la demostración anterior:

· A la derecha de proof se indica el método de la demostración.

· (induct n) indica que la demostración se hará por inducción en n.

· Se generan dos subobjetivos correspondientes a la base y el paso de

inducción:

1. longitud (repite 0 x) = 0

2. ⋀n. longitud (repite n x) = n ⟹ longitud (repite (Suc n) x) = Suc n

donde ⋀n se lee "para todo n".

· "next" indica el siguiente subobjetivo.

· "fix n" indica "sea n un número natural cualquiera"

· assume HI: "longitud (repite n x) = n" indica «supongamos que

"longitud (repite n x) = n" y sea HI la etiqueta de este supuesto».

· "using HI" usando la propiedad etiquetada con HI.

-- "La demostración automática es"

lemma "longitud (repite n x) = n"

by (induct n) auto

section {* Razonamiento por inducción sobre listas *}

text {*

Para demostrar una propiedad para todas las listas basta demostrar

que la lista vacía tiene la propiedad y que al añadir un elemento a una

lista que tiene la propiedad se obtiene otra lista que también tiene la

propiedad.

En Isabelle el principio de inducción sobre listas está formalizado

mediante el teorema list.induct

⟦P [];

⋀x xs. P xs ⟹ P (x#xs)⟧

⟹ P xs

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 9. Definir la función

conc :: 'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list

tal que (conc xs ys) es la concatención de las listas xs e ys. Por

ejemplo,

conc [a,d] [b,d,a,c] = [a,d,b,d,a,c]

------------------------------------------------------------------ *}

fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where

"conc [] ys = ys"

| "conc (x#xs) ys = x # (conc xs ys)"

value "conc [a,d] [b,d,a,c]" -- "= [a,d,b,d,a,c]"

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 10. (p. 24) Demostrar que

conc xs (conc ys zs) = (conc xs ys) zs

------------------------------------------------------------------- *}

-- "La demostración estructurada es"

lemma "conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs"

proof (induct xs)

show "conc [] (conc ys zs) = conc (conc [] ys) zs" by simp

fix x xs

assume HI: "conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs"

have "conc (x # xs) (conc ys zs) = x # (conc xs (conc ys zs))" by simp

also have "... = x # (conc (conc xs ys) zs)" using HI by simp

also have "... = conc (conc (x # xs) ys) zs" by simp

finally show "conc (x # xs) (conc ys zs) = conc (conc (x # xs) ys) zs" by simp

qed

text {*

Comentario sobre la demostración anterior

· (induct xs) genera dos subobjetivos:

1. conc [] (conc ys zs) = conc (conc [] ys) zs

2. ⋀a xs. conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs ⟹

conc (a#xs) (conc ys zs) = conc (conc (a#xs) ys) zs

-- "La demostración automática es"

lemma "conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs"

by (induct xs) auto

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 11. Refutar que

conc xs ys = conc ys xs

------------------------------------------------------------------- *}

lemma "conc xs ys = conc ys xs"

quickcheck

oops

text {* Encuentra el contraejemplo,

xs = [a2]

ys = [a1] *}

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 12. (p. 28) Demostrar que

conc xs [] = xs

------------------------------------------------------------------- *}

-- "La demostración estructurada es"

lemma "conc xs [] = xs"

proof (induct xs)

show "conc [] [] = []" by simp

fix x xs

assume HI: "conc xs [] = xs"

have "conc (x # xs) [] = x # (conc xs [])" by simp

also have "... = x # xs" using HI by simp

finally show "conc (x # xs) [] = x # xs" by simp

qed

-- "La demostración automática es"

lemma "conc xs [] = xs"

by (induct xs) auto

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 13. (p. 30) Demostrar que

longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys

------------------------------------------------------------------- *}

-- "La demostración automática es"

lemma "longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys"

proof (induct xs)

show "longitud (conc [] ys) = longitud [] + longitud ys" by simp

fix x xs

assume HI: "longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys"

have "longitud (conc (x # xs) ys) = longitud (x # (conc xs ys))"

by simp

also have "... = 1 + longitud (conc xs ys)" by simp

also have "... = 1 + longitud xs + longitud ys" using HI by simp

also have "... = longitud (x # xs) + longitud ys" by simp

finally show "longitud (conc (x # xs) ys) =

longitud (x # xs) + longitud ys" by simp

qed

-- "La demostración automática es"

lemma "longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys"

by (induct xs) auto

section {* Inducción correspondiente a la definición recursiva *}

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 14. Definir la función

coge :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list

tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por

ejemplo,

coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c]

------------------------------------------------------------------ *}

fun coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where

"coge n [] = []"

| "coge 0 xs = []"

| "coge (Suc n) (x#xs) = x # (coge n xs)"

value "coge 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [a,c]"

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 15. Definir la función

elimina :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list

tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando los n primeros

elementos de xs. Por ejemplo,

elimina 2 [a,c,d,b,e] = [d,b,e]

------------------------------------------------------------------ *}

fun elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where

"elimina n [] = []"

| "elimina 0 xs = xs"

| "elimina (Suc n) (x#xs) = elimina n xs"

value "elimina 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [d,b,e]"

text {*

La definición coge genera el esquema de inducción coge.induct:

⟦⋀n. P n [];

⋀x xs. P 0 (x#xs);

⋀n x xs. P n xs ⟹ P (Suc n) (x#xs)⟧

⟹ P n x

Puede verse usando "thm coge.induct". *}

text {* ---------------------------------------------------------------

Ejemplo 16. (p. 35) Demostrar que

conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs

------------------------------------------------------------------- *}

-- "La demostración estructurada es"

lemma "conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs"

proof (induct rule: coge.induct)

fix n

show "conc (coge n []) (elimina n []) = []" by simp

fix x xs

show "conc (coge 0 (x#xs)) (elimina 0 (x#xs)) = x#xs" by simp

fix n x xs

assume HI: "conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs"

have "conc (coge (Suc n) (x#xs)) (elimina (Suc n) (x#xs)) =

conc (x#(coge n xs)) (elimina n xs)" by simp

also have "... = x#(conc (coge n xs) (elimina n xs))" by simp

also have "... = x#xs" using HI by simp

finally show "conc (coge (Suc n) (x#xs)) (elimina (Suc n) (x#xs)) =

x#xs"

by simp

qed

text {*

Comentario sobre la demostración anterior:

· (induct rule: coge.induct) indica que el método de demostración es

por el esquema de inducción correspondiente a la definición de la

función coge.

· Se generan 3 subobjetivos:

· 1. ⋀n. conc (coge n []) (elimina n []) = []

· 2. ⋀x xs. conc (coge 0 (x#xs)) (elimina 0 (x#xs)) = x#xs

· 3. ⋀n x xs.

conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs ⟹

conc (coge (Suc n) (x#xs)) (elimina (Suc n) (x#xs)) = x#xs

-- "La demostración automática es"

lemma "conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs"

by (induct rule: coge.induct) auto

section {* Referencias *}

text {*

· J.A. Alonso. "Razonamiento sobre programas" http://goo.gl/R06O3

· G. Hutton. "Programming in Haskell". Cap. 13 "Reasoning about

programms".

· S. Thompson. "Haskell: the Craft of Functional Programming, 3rd

Edition. Cap. 8 "Reasoning about programms".

· L. Paulson. "ML for the Working Programmer, 2nd Edition". Cap. 6.

"Reasoning about functional programs".

end

Como tarea para la próxima clase se propuso la resolución de los ejercicios de la 3ª relación

Se puede imprimir o compartir con